折纸活动中的数学发现，本文主要内容关键词为：数学论文,发现论文,活动中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、导言
很少有人相信折纸里会有很多与数学有关的学问，而且世界上有许多数学家正在致力于这方面的研究。折纸科学与教育的国际会议已经召开过五次，第一次于1989年在意大利的费拉拉市召开，之后分别于1994、2001、2006在日本兹贺县大津市、美国的蒙特利以及美国的加利福尼亚召开了第二次、第三次和第四次大会，今年7月又在新加坡召开了第五次折纸科学与教育的国际会议。这几次会议极大地推动了折纸数理这一新学科的发展，也找到了越来越多的应用，比如东京大学的宇宙科学家三浦公亮发明的三浦折法现在已被用于航天器太阳能聚光板的设计，而东京工业大学的萩原教授领导的一个研究小组正在研究利用折纸原理开发新型汽车材料和构造。在日本一个被称为折纸工学的学科已经形成，相关的研究成果也受到了《自然》杂志的关注。
另一方面，数学教师和数学教育研究者很早就意识到了折纸活动的教育价值，并利用折纸活动来改善数学教学，取得了很好的效果。近年来，日本、美国等许多国家在数学课程标准中对折纸活动给予了较多的关注，数学教科书中也加入了许多利用折纸帮助学生学习数学的题材或活动，并出版了许多的相关著作。
在我国的幼儿园，折纸的利用比较普遍。随着对外交流的不断深入，中小学的数学教学中与折纸相关的话题也渐渐多了起来。但笔者在对中国期刊网上相关文献进行调查时发现，尽管已经有少数教师利用折纸来探究如何改进数学学习的指导，整体看还存在一些问题。一是数量少、二是不够系统，仅就某个小问题开展讨论，而对国外的研究进展了解甚少。另外，已发表的文章中有关中考题的内容居多，教学研究类或教材开发类研究偏少。
二、数学课堂里的折纸活动
这是发生在日本岐阜县初中数学教师上村文隆课堂里的一个真实的故事。有如图1的直角三角形的纸一枚，现要求只折一次，使折得的三角形与原三角形相似。
图1
这个问题一提出，班上的学生经积极、认真的思考，提出了各种方案，几乎所有的折法都如同图2中的线段那样，折痕线要么与三角形的某一边平行，要么与某一边垂直。不妨将这一类想法称之为常规的想法
图2
但是班上的一个名为米仓凉子的女孩提出了一种不同的折法。如图3，将点A与三角形斜边的中点合折，得折痕线EF，这时△AEF与△ABC相似。在这里显然折痕线EF既不与图中三角形的任一边平行，也不与三角形的任一边垂直，属于“非常规的”的折痕线。当然女生在之后找到了支持这一折法的理由，比较简单。
图3
如下页图4所示作△ABC的外接圆。由于D为Rt△ABC斜边的中点，可得DA=DB，∠DBA=∠DAB。由条件可知，AD⊥EF，所以∠DAB=∠AFE，从而得到∠DBE=∠AFE，故得△AFE∽△ABC。
米仓凉子提出的方法无疑是独创性的，执教的上村文隆通过查阅资料证实了这一点。为表彰这位学生，也为了提高学生数学学习的兴趣，上村文隆制作了一块木匾，挂在教室后面的墙上，并将之这个结论命名为米仓定理（类似于图5）。匾上写有问题、答案和方法，这一点与《九章算术》中每道题的体例相同，即每道题提供题、答、术三部分内容，这一做法来自于日本的传统。
上村文隆老师巧妙地将这一传统发扬光大，灵活用到了数学学习指导中。
图4
事情并未到此结束，在之后的一轮教学中，上村又向学生提出了同样的问题，并向学生简述了米仓的发现。该班上有个名叫田尻秀吉的男生，试图重复米仓凉子的发现过程，他将直角三角板的直角顶点放置于直角三角形斜边的中点，这一点没有错，本来想在折痕线的地方划线，但却沿三角板的直角边画直线分别与直角三角形的两直角边交于E、F，而后连接E、F，得△EFD（如图6）。这种画法非他本意，但这种看来错误的作法却给出了一种新的作相似三角形的方法。道理很简单，由于△ABC为直角三角形，D为斜边的中点，所以∠B=∠DAE。又∠EAF与∠EDF同为直角，故A、E、D、F四点共圆，可得到∠DFE=∠DAE，所以∠B=∠DFE。
这一结果要比米仓凉子的结果要好得多，更具有一般性，而米仓的结果只是田尻的结果的特例。上村老师异常兴奋，将之命名为田尻定理。并像对待米仓那样，将这一发现做成木匾，悬挂于教室里（图5），以鼓励田尻的发现，同时激励其他学习者。
两位学生有了发现之后，作为教师的上村文隆也试图有所表现，以树立教师在学生面前的形象。他考虑的是如何将米仓的与田尻的结果推广。笔者仅就米仓定理的推广予以说明。
就米仓定理而言，她的结果只针对直角三角形，上村老师考虑的是如何将这一结果推广到更一般的场合。自然地，须考虑任意三角形的情形。类似于米仓的情形，上村老师首先考虑将一顶点翻折至对边的中点，但经过尝试后发现这种折法并不能保证折得的三角形与原三角形相似。上村对米仓定理中斜边中点的属性进行反思，认为中点同时也是该直角三角形的外心，因此他猜想对一般三角形而言，任一顶点折至该三角形的外心时，折得的小三角形应该与原三角形相似，并且从理论上对此进行了证明。
这一结论的证明也比较简单：如图7，M为△ABC的外心，△DMA和△MAB为等腰三角形，DF⊥MA,∠DAF为两三角形的公共底角，故∠MDA=∠AMB。DM=DA,∠ADF=∠MDF。易知，∠ACB=∠AMB/2,∠ADF=∠MDA/2，所以，∠ADF=∠ACB。故△ADE∽△ACB。
当然，故事没有到此结束，当上村在初一年级讲述上述发现后，班上有一名叫渡边的男孩，回家后将上村的一般化过程进行整理，并进一步将三条折痕线延长得到一个新的三角形，发现原三角形的外心就是这个新的三角形的内心（如图8），并且得到新三角形的各个角与原三角形三个内角之间的关系（如图9），即：
图9
∠EDF=∠BAC+∠ACB-∠CBA
∠FED=∠ACB+∠CBA-∠BAC
∠DFE=∠CBA+∠BAC-∠ACB
教师将此发现命名为渡边定理。这些关系的证明也比较容易，证明此处略去。
三、几点启示
类似上述的探究过程，在日本的数学课堂里经常发生。上述故事给了我们一些启示。
(1)素质教育的积极推进
上一世纪80年代开始，世界范围的数学课程改革从未间断，新的理念、教学思想不断涌现。但每8～10年推出的新的学习指导要领总是那么“稳”，变化远没有我国的数学课程改革的步骤大。如果看数学奥赛成绩，也许我国取得的成绩更胜一筹，但当今日本的数学研究水平却已经走在了我们的前面，近几年几乎每年都能问鼎诺贝尔奖也令人羡慕。许多人在探讨这种巨大反差的原因，这不是本文所要讨论的话题。但从日本扎扎实实地推进教养教育（与我国目前提倡的素质教育类似）的做法来看，也许能找到一些答案。自NCTM大力提倡问题解决教学以来，本在所有学科推广、普及问题解决教学模式，现在小学、数学教学基本上普及了问题解决教学，在初中这种教学模式也得到了教师的认可，并在教学中经常使用。以这种模式进行教学，通常一节课只解决一个对学生来说是真正的问题。也许看来这太浪费时间，但正是这种教学模式保证了教养教育的推进。
如何积极推进素质教育是摆在面前的一个难题，现实是许多教师由于升学率的压力等多方面的原因而不能实施真正的素质教育。这也许需要对招生制度作彻底的改革并大力发展优秀教学资源，但在这些问题解决之前，教师应该在数学教学中积极地推进素质教育，这方面日本的经验值得我们借鉴。
(2)探究、发现和创新的指导
新课程标准强调创新教育，教育工作者也在不断地探索和实践着。上村老师的教学实践也许能对如何开展创新教育给予启发。
从故事中，可以看到教师如何从一个简单的数学问题，通过折纸活动，引导学生去探索，从而得到新的发现，有的人也许瞧不起简单问题，但如果能从一个小的或者说一个简单的问题出发，通过不断的探索，求得发现，那么就是成功的。而且，很多事情往往是从一些微不足道的小问题开始，折纸数理学的发展历程也许证明了这一点。
初等数学经过长期的发展，已经成为一门非常成熟的学科，初中学生要在这一学科领域内有所发现还是有相当大的困难，但是由于折纸数理学是一门新的学科，正在不断地发展着，有许多领域有待开拓，也有许多初中生可以通过探索而能取得发现的问题。比如如何用折纸作图将正方形的一条边三等分的问题，到现在已经有8种以上的折法，其中包括著名的芳贺折纸三定理。平时用的较多的是正方形折纸，但如果将正方形的折纸换成圆形折纸或者换成复写纸，那么哪怕是中学生，也会有自己真正的发现。
好的课题往往引导到成功的探究，当然这些探究应该是学生感兴趣的，力所能及的，而且要与数学密切相关，目前这方面的题材越来越多，但远远不够，数学教育工作者在这方面还应做出更大的努力。
(3)文化传统的巧妙利用
文化的传承是教育的目的之一，上村老师为激发学生的学习积极性，将学生的发现命名为“定理”，并按本国的文化传统，将学生的发现做成“算额”，来提高教学效果，也许是一个创举。
在我国，有着许多优秀的文化传统和数学文化，如何运用到教学中去是作为一个数学教师必须考虑的问题。
(4)数学思想和方法的“显性”指导
教学中，有的教师往往教完一个例题就会接着去解决另一个问题。但是，如果将已经解决的问题作进一步的思考，考虑更具一般性的问题，会取得更好的教学效果。实际上，这就“流淌”着数学探究活动过程中的一般化思想。在上述案例中，可以看到，田尻将米仓的结果进行推广，上村将米仓、田尻的结果进行推广，这样的数学活动，正是一般化思想的具体体现。也正是这种一般化的思想，对推动数学的发展发挥了重要作用。
数学思想和方法的传授是数学教育的目的之一，而且内容也极其丰富。在教学活动中，许多教师往往关注知识点及解题的技能、技巧，而数学思想方法的指导被当作一项软任务，其指导是“隐性”的。笔者希望数学思想方法的指导应该是“显性”的，要通过具体的数学活动，切实开展起来。