中学数学要加强“形同质异”的辨析教学，本文主要内容关键词为：中学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在数学教学中经常会遇到一类形式相同但本质相异的问题，学生极易受形似的迷惑将他们混为一谈，因此必须加强“形同质异”的辨析教学。具体说来，在平时练习或测试时可将这类问题放在一起讨论，通过认真对比分析，充分暴露出他们之间细微但又属于本质的差异，这必将大大提高学生分析问题、解决问题的能力。现举例说明之
一、定义域与有意义
题组1 设函数
(1)f(x)在区间(-∞，1]上有意义；
(2)f(x)的定义域为(-∞，1]。
请分别求出满足条件(1)和条件(2)的a的取
辨析与解答 不少学生误认为这两道题是一样
的，其实截然不同。条件(1)只说f(x)在(-∞，1]上
有意义，并未说明其定义域就是(-∞，1]。若定义
域为集合A，则只能得到(-∞，1]
A。条件(2)则
明确指出f(x)的定义域就是(-∞，1]，因此这2道
题有着迥然不同的解法。
(1)由题意可得
二、函数值变化范围与函数值域
题组2 (1)函数
的值恒为非负数，求实数m的取值范围；
(2)函数的值域为非负实数，求实数m的取值范围。
辨析与解答 这两道题实在太像了！但经仔细
辨析，发现有本质差异：在第(1)小题中，“函数的值恒为非负数”是指“当
自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函数y的每一个值都必须大于等于0，但不一定要求y必须
取到大于0的一切数”。而在第(2)小题中，“函数的值域为非负实数”是
指“当自变量x在定义域内取一切值时，所对应的函
数值必须且只能取到一切大于等于0的数”。由此可
见，两者貌似相同，实则迥异。
(1)由题意得，≥0(m∈R)恒成立，因此关于x的函数的二次项系数
3＞0，于是
解得-3≤m≤0，故m的取值范围是[-3，0]。
(2)通过上面分析可知，应满足
解得 m=-3或m=0，
即使函数的值域为非负实数的m的值为-3或0。
三、奇数位必须是奇数与奇数必须在奇数位
题组3 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取5个组成无重复数字的5位数。(1)奇数位必须是奇数；(2)奇数必须在奇数位。分别求出满足条件(1)和条件(2)的5位数的个数。
辨析与解答 不少学生误认为这两道题是一样的，其实截然不同。在第(1)小题中，奇数位不能是偶数，但允许偶数位是奇数；而在第(2)小题中，若用奇数，则必须将它排在奇数位，但偶数可随意排。因此满足条件(1)的5位数的个数为
个；满足条件(2)的5位数的个数为
四、对任意x恒成立与存在x成立
题组4 (1)若任意x∈[1，3]，使得不等式
恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若存在x∈[1，3]，使得不等式恒成立，求实数m的取值范围。
辨析与解答 原不等式可化为
对于第(1)小题，由题意可得
=3。而对于第(2)小题，由题意可得=1。这正与恒成立问题相反，很容易混淆，应注意区分，以免出错。
五、函数递增与数列递增
题组5 (1)设函数
在[1，+∞)上是单调递增函数，求k的取值范围；
辨析与解答 乍看2道题似乎一样，我们注意寻求它们的“异”。第(1)小题的图像是连续的，而第(2)小题的图像是离散的，2道题都可以利用二次函数的图像求解，都是考虑对称轴与区间的关系，但是其区间是不同的。
六、单调区间与区间单调
题组6 (1)若函数
在[1，+∞)单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数的单调递增区间是[1，+∞)，求实数a的取值范围。
辨析与解答 单调区间与区间单调是2个截然不同的概念。若函数f(x)在区间M上具有单调性，则在M的任一区间上f(x)具有相同的单调性，单调区间是其中最大的区间。
(1)由题意可得，对称轴为
≤1，解得a≤1。
(2)由题意可得，对称轴为=1，解得a=1。
七、定义域与值域
题组7 (1)若函数
的定义域为R，求实数a的取值范围。
(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围。
辨析与解答 (1)函数的定义域为R，即无论x为何实数，
恒成立。令
，则f(x)的图像应始终在x轴的上方，因此a＞0且
，解得a＞1。
(2)函数的值域为R，就是要取遍一切正实数。当a=0时，f(x)=2x符合要求；当a＞0时，
，解得0＜a≤1；当a＜0时，不符合要求。故a的取值范围是0≤a≤1。
八、主元与次元
题组8 (1)对于任意x∈[0,4]，不等式
恒成立，求实数a的取值范围；
(2)对于任意a∈[0,4]，不等式恒成立，求实数x的取值范围。
辨析与解答 (1)原不等式可转化为
恒成立。
①当
≤0，即a≥4时，要使f(x)在区间[0,4]上单调递增，只要f(0)=-a+3≥0即可，解得a≤3，此时矛盾；
②当≥4，即a≤-4时，要使f(x)在区间[0,4]上单调递减，只要f(4)=3a+3≥0即可，解得a≥-1，此时矛盾；
③当0＜＜4，即-4＜a＜4时，只要
，即
，解得a=2。
综上所述，满足条件的a的取值范围是｛a│a=2│｝。
故满足条件的x的取值范围是｛x│x≤-1或x=1或x≥3｝。
九、以点P为切点的切线方程与过点P的切线方程
题组9 (1)已知
，求以点P(1,1)为切点的切线方程；
(2)已知，求过点P(1,1)的切线方程。
辨析与解答 这2道题的区别在于：第(2)小题包含第(1)小题的情况，而且除此之外，还有经过点P但不以其为切点的切线方程。
(1)
，于是k=-1，切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0为所求。
(2)当点P为切点时，同第(1)小题，可得切线方程为x+y-2=0。
当P不是切点时，设切点为Q(m,n)，依题意
可得 
解得 
因此以点Q为切点的切线方程为5x-4y-1=0。
综上所述，满足条件的切线方程为
x+y-2=0或5x-4y-1=0。
十、函数的自对称与两函数之间的对称
题组10 (1)若函数y=f(x)满足f(x+a)=f(b-x)，则曲线y=f(x)的对称轴方程是＿＿；
(2)函数y=f(x+a)与函数y=f(b-x)的图像关于＿＿对称。
辨析与解答 这2道题目极易混淆。事实上，第(1)小题是考查一个函数自身图像的对称性的。而第(2)小题则是考查2个函数图像之间的对称性的。
(1)在函数y=f(x)的图像上任取一点
，得
题组11 已知函数y=f(x)。
(1)若f(x)的定义域为[2,3]，求f(x+1)的定义域；
(2)若f(x+1)的定义域为[2,3]，求f(x)的定义域。
辨析与解答 对于第(1)小题，学生一般都知道该怎么做，而对于第(2)小题，许多学生不知道由函数f(x+1)的定义域如何求f(x)的定义域。其原因是：他们不明白在同一法则下，作用的对象可以不同，但对象的范围必须相同。
(1)由f(x)的定义域为[2,3]，得
2≤x+1≤3。
从而1≤x≤2，因此f(x+1)的定义域[1,2]。
(2)由f(x+1)的定义域为[2,3]，得
2≤x≤3。
即3≤x+1≤4，
于是f(x)的定义域为[3,4]。
在数学中，“形同质异”的问题是大量存在的，而学生对此往往有一种“亲切”感，易于产生放松麻痹的心态，从而造成解题失误。在教学中，通过对“形同质异”问题的对比与研究，透过“外貌”颇似的表层，必定能使学生逐渐澄清各种模糊概念，深入认识实质，深化巩固并掌握知识，防止知识负迁移，从而能够从各种“形式相同”的问题中抓住“实质不同”的要害，找到解决问题的正确途径。