关于“三角函数的诱导公式”的教材和教学比较，本文主要内容关键词为：诱导论文,公式论文,函数论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者曾主持过扬州市教育科学“十五”规划课题《中学数学教学策略比较研究》的研究，目前正在进行江苏省教育科学“十二五”规划专项立项课题《基于MPCK的高中数学教学策略研究》的研究.本话题是基于课题的研究，本文就是我们开展了“同课异构”的教研活动，通过课堂的实际情况和教学效果进行的比较分析和反思总结.
一、教材比较
1.基于人教版老教材[1]中“正、余弦的诱导公式”的推导.假定α为任意角，其终边与单位圆相交于点P（x，y），由于角180°+α的终边就是角α终边的反向延长线，其终边与单位圆相交于点P'，点P'与点P关于原点O对称，则点P'的坐标是（-x，-y）.又因为单位圆的半径r=1，由正、余弦函数的定义，可得sinα=y,cosα=x，sin（180°+α）=-y，cos（180°+α）=-x，所以，sin（180°+α）=-sinα，cos（180°+α）=-cosα.
类似的，根据α与-α的终边关于x轴的对称性以及三角函数的定义，得到sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosa并由此推得其他诱导公式.
这节课上下来，除了怎么想到和运用角
-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，及其两对称点坐标之间的关系有难度外（这是难点，原教材是放在后面两角和与差的三角函数中讲的，我们按新课程标准的要求进行了调整），学生没感觉有什么困难.
2.基于人教版A版新教材[2]中“三角函数的诱导公式”的导入.先要求学生思考：我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性，能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x轴、y轴、直线y=x的轴对称性，以及关于原点O的对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？
给定一个角α.角π-α、π+α、-α、-α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
由单位圆上具有某对称性的点的坐标之间的关系，任意角三角函数的定义，同上可推出相应的诱导公式.
这节课的特色是导入的问题串设计得比较好，击中要点.其余情况同上面基本一样，如难点，教材中虽说根据图形不难发现，其实学生还是有困难的.
3.基于人教版B版新教材[3]中“诱导公式”的传授.除指出了角α与α+k·2π（k∈Z）的三角函数间的关系（根据定义），以及讨论了角α与-α的三角函数间的关系（同上）外，特别研究了：
（1）角α与α+（2k+1）π（k∈Z）的三角函数间的关系，由角α+π与α-π，α+3π，α-3π，…，α+（2k+1）π（k∈Z）的终边相同，则它们的三角函数值也相等，得出cos[α+（2k+1）π]=-cosα，sin[α+（2k+1）π]=-sinα，tan[α+（2k+1）π]=tanα，并总结得
进而再特殊化：两个互为补角的正弦值相等sin（π-α）=sinα，余弦值互为相反数cos（π-α）=-cosα.这是一种侧重于代数方法的新思路.
这节课的特点是突出了角α与α+nπ（n∈Z）的三角函数间的关系.推陈出新“化解”了一个难点，当然怎么想到的对于学生而言也是个疑问.
4.基于北师大版新教材[4]中的有关三角函数诱导公式的特别安排.诱导公式被分散安排在正弦、余弦函数的定义及其图象之后，即在性质中渗透，别具一格.一方面通过角±α、2π±α、π±α的终边与单位圆的交点间的对称性及坐标之间的关系（同上）发现，另一方面当α为锐角时也可通过图象（如图2）直观看出，如sin（π-α）=sinα等.
再通过“思考交流”要求学生根据三角函数的定义，或验证，或根据“信息技术建议”绘出三角函数图形后归纳得出诱导公式.
这节课是我们在苏教版新教材[5]讲过正切函数后进行的一次试验课（因为内容分散安排，且在“同角三角函数的基本关系”前，所以放到了这个时候实验研究一下），其与众不同的地方是利用了三角函数线和三角函数的图象即数形结合的思想，特殊到一般、归纳推理等令人耳目一新的方法推导出诱导公式，通过验证、不完全归纳化解了难点.
5.基于苏教版新教材[5]中“三角函数的诱导公式”的设计.是这样推出的：如果α的终边与角β的终边关于x轴对称，那么α与β的三角函数值之间有什么关系？
设角α、β的终边分别与单位圆交于点P、P'，则点P和P'关于x轴对称（如图3）.又根据三角函数的定义，点P的坐标是（cosα，sinα），点P'的坐标是（cosβ，sinβ）.故有sinβ=-sinα，cosβ=cosα.
特别地，角-α与角α的终边关于x轴对称，故有sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα.π±α的诱导公式由学生自己推导.
难点：若角α的终边与角β的终边关于直线y=x对称（如图4），则有点P和P'关于直线y=x对称.
这节课的实际情况是，在用一般三角函数关系式刻画任意角α的终边与角β的终边具有某对称性时有难度，学生一时难以到位.如关于直线y=x对称的两点间的坐标关系，苏教版必修2P94第20题已给出了结论，本节课是必修4中的内容，所以教材[5]用斜率来处理就很自然.问题是现在大多数学校对必修教材是按照1、4、5、2、3的顺序，而非按照1、2、3、4、5的顺序来教学的.我们是通过几个特例及其几何直观引导学生得到公式的，回避了用斜率的方法.后来重温这种方法，感觉似乎“兜了个小圈子”.
6.基于湘教版新教材[6]中“诱导公式”的引出.这是通过6个例题（当中有通过求具体三角函数值提炼的）而得出的：
如例1求下列三角函数值：
其他公式由学生根据课本中的“想一想”，“请尝试自己推导”.
这节课的亮点是问题引出自然，从特殊到一般，也给出了一个“解决难点”的方法，同样学生如何理解也是个疑问.
二、笔者的教学设计
基于上述对比分析，这节内容突出了对称的思想，任意角三角函数的定义.让学生感受和体验用三角函数的语言刻画圆上点的对称性等！因而笔者的教学设计是：
（1）先通过教材[6]中例1求有关具体三角函数值的实际需要，自然提炼出一般的问题；
（2）用教材[2]中的问题串来启发引导学生进行思考、讨论、发现；
（3）然后在教材[5]中选择一个对称性，如探究出任意角α的终边与角β的终边关于y轴对称的三角函数之间的代数关系，让学生理解数学的本质，再用特殊角代换；
（4）最后将其他的诱导公式用教材[1]、[2]、[4]中的方法简单直接得到，或由学生根据其他三角函数公式及已推得的诱导公式等推出.
三、课题研究与活动体会
三角函数诱导公式的实质是“单位圆的对称性的解析表达”，而且是“特殊的对称性”——关于圆心（原点）、坐标轴、直线y=x、直线y=-x对称.这样诱导公式的整体性（以单位圆为载体）是一个需要关注的问题，这正是教材[2]等的主要关注点.教材[1]、[2]与[4]直接明了、简单快捷！教材[5]虽然间接了点，“绕了点弯”，但后来就水到渠成了.教学的处理可以有多样性，不过最终要让学生形成完整的认知结构，所以各有特色，这也在扬州市高中数学教研员公开课比赛的活动中得到了体现.所以不能简单地说“哪个方法好，我就用，哪个方法不好，我就不用”，或将
放后讲等，事实说明重新设计后的课教学更有灵活性.
现在不少教师甚至是骨干教师，认为教研活动难搞，课题研究更是空的；集体备课活动难开展，好一点是备课者带着材料来，其他人带着材料走.笔者认为目前有效的方式是案例比较研究，如“同课异构”；评议某老师的一节课；讨论某老师编写的一份教案；研究一份试卷；学习制作一个课件；讨论一两个学科难题（典型问题、考题）、学生易错或难以理解和接受的问题（实验等）；弄几道优秀的试题、考题大家做做、讨论、欣赏、谈谈感受等；学一篇学科期刊上的理论文章、解题教学文章、课例点评文章等；也可以请外出参观、开会、学习回来的老师汇报情况，谈感受体会等.