摘要：本文运用了有特殊子群的群的性质和群的特殊子群的性质，给出了某些非幂零的可解群的群结构。
关键词：特殊子群；幂零群；可解群。
中图分类号：G661.8文献标识码：A文章编号：1671-5691（2018）05-0044-03
MR(2010)：20D25.
THE SOLUBLE GROUPS OF NO NILPOTENT
Li guo zhu
Abstract:This disquisition uses the properties of the group G of containing special subgroup H And the properties of special subgroups of the group to derive the groups structure of the some no nilpotent and soluble groups.
Keywords: special subgroup； nilpotent group；soluble subgroup.
有限群的群结构的研究是近代群论研究的主要分支，本篇文章是对Schwerdtfeger,H.在论文《Über eine spezille Klasse Frobeniusscher Gruppen》中定义的特殊子群做了进一步的研究，给出了群G的特殊子群的一些性质，并且运用这些性质给出了某些非幂零的可解群的群结构。
引理7若H是群G的特殊子群，则有H。任意群G中至多有一个特殊子群。证略。
引理8群G是abelian群的充要条件是群G的特殊子群H存在且是单位群。证略。
命题2 若群G有非平凡的特殊子群H，则非平凡的特殊子群H是幂零子群。
证 因为Frobenius群的核是幂零子群，所以若群G有非平凡的特殊子群H，则群G是Frobenius群，非平凡的特殊子群H是Frobenius群G的核，所以群G的非平凡的特殊子群H是幂零子群。
素数)的群G是幂零群，则群G没有非平凡的特殊子群。
通过上面的讨论知道，如果G是幂零群，且群G有非平凡的特殊子群Ｈ，则G的换位子群G′，Frattini子群，Fitting子群，特殊子群Ｈ是相等的，这时它们的性质都是共有的。
定理2 设非交换群G的阶是pq(p>q),p和q都是质数，则G的p阶子群Cp是群G的非平凡的特殊子群，此时群G是非幂零的可解群。
设正n边形顶点标号分别是1,2,…,n，正n边形对称群Dn(n∈N)是非交换群，Dn由绕正n边形中心点的逆时针角度的旋转和绕过1的对称轴的反转角度生成。Dp(p是素数,p>2)的阶是2p,则 Cp是群Dp 的非平凡的特殊子群和换位子群，从而Dp(p是素数,p>2)是可解群。Dp(p是素数,p>2)不是幂零群，因为若Dp(p是素数,p>2)是幂零群，则有的矛盾结论。同理当非交换群G的阶是pq(p>q,p和q都是质数)时，非交换群G是非幂零的可解群，这样我们知道了一类非幂零的可解群。
构建阶是pq(p>q,p和q都是质数)的非交换群G的办法与构建正n边形对称群Dn(n∈N)的办法类似，由在3维空间中绕正n边形中心点的逆时针角度的旋转和绕过1的对称轴的逆时针旋转角度生成，用Dpq表示。
定理3设非交换群G的阶是pqr(p>qr,q>r),p,q和r都是质数，r不能整除q-1,则G的p阶子群Cp是群G的非平凡的特殊子群，此时群G是非幂零的可解群。
推论1 设非交换群G的阶是p( p)）,p,q都是质数，群G的q-sylow子群是循环群，则G的p阶子群Cp是群G的非平凡的特殊子群。G是非幂零的可解群。
推论2 设非交换群G的阶是pm ( p)m）,p是质数，群G=，则G的p阶子群Cp是群 G的非平凡的特殊子群。G是非幂零的可解群。
随着时间的延续，将会有更多非幂零的可解群的研究结论。
参考文献：
[1]Schwerdtfeger,H.,Über eine spezille Klasse Frobeniusscher Gruppen,Arch.Math.,13(1962),283-289.
[2]Scott,W.R.(1964)Group Theory Prentice-Hall, EngleWood Cliffs .
作者简介：李国竹 汉族 河北省阜城县；高级讲师；理学学士与硕士；研究方向是有限群与分数阶微分方程。
论文作者:李国竹
论文发表刊物:《教学与研究》2018年5期
论文发表时间:2018/5/18
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