应用课应体现完整的数学建模过程，本文主要内容关键词为：建模论文,完整论文,过程论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、研究背景
让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并加以解决与应用的过程，培养学生应用数学的意识和能力，提高学生的数学素养，是数学教学的重要任务.
各种版本的普通高中课程标准实验教科书都没有开设“应用题专题”这一章，而是将数学应用教学渗透于整套教材中，特别是，在大部分章的最后都安排了“××的应用”一节.如何处理这种应用课的教学，反映了教师对数学的理解和对教学的理解，更反映了教师对新课程基本理念的理解.从教学效益和高考得分的角度出发，有的教师在新课教学中忽略这部分，等到高考复习时再作“集中归纳”、“专题突破”等，这种做法学生收获的是分数而非解决实际问题的能力、学习数学的兴趣和对数学文化价值的认同.而事实上，高考中的应用题学生得分情况并不乐观；也有教师将应用课上成了习题演练课.所谓应用，无非就是数学公式的直接套用，学生没有真正经历数学建模的过程，其目的仍然是高考的“得分”，“发展学生的数学应用意识”也就无从谈起.
2012年12月7日，笔者参加了与本省某县中的学术交流活动，选取典型的“应用课”——苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）》第1.3.4节“三角函数的应用”，展开同课异构教学研讨活动，探讨三角函数数学建模的过程，以及如何让学生经历数学建模的过程，以此研究章节应用课型的教学理念、模式和效益，两地教师凝聚智慧，碰撞思想，收获颇丰.下面首先与读者分享我区教师的教学设计，在其后的讨论中，再分析两地教师的得失，从中感悟应用课教学的方法.
二、教法分析
教材共有三章内容，第1章“三角函数”，第2章“平面向量”，第3章“三角恒等变换”.各章内容均围绕着对同一个背景进行数学研究的过程而逐层展开，这个背景就是圆周运动.其中第1章的结构如图1.
因此，本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的数学（思维）过程”.具体而言，图1的“数学地研究”的主线为：问题（圆周运动）—建立模型（三角函数）—研究模型（图象与性质）—解释、应用与拓展（三角函数的应用）.特别地，建立“三角函数”的数学模型是本章的重点与难点，而研究“三角函数”则是置于“函数”的大背景之下进行的，侧重“模型化”数学思想的运用，使学生在学会数学建模的同时逐步学会学习数学.
“三角函数的应用”一节是本章的结束，共两课时.第一课时的教学目标是：（1）回顾圆周运动的数学模型的建立过程，了解三角函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型；（2）解释三角函数y=Asin（ωt+φ）的实际背景和数学、物理等意义；（3）能用数学模型y=Asin（ωt+φ）研究周期性现象.也就是说，通过本课时的学习，学生能够再次经历数学建模的过程，提升提出问题、分析问题和解决问题的能力.
三、教学简录
1.引入课题
（呈现下页图2.）
师：我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，它对中国古代的各项技术进行了系统地总结，图2中的水车就是古代劳动人民智慧的结晶.我们学习的“三角函数”这一章的引言中就有水轮模型（如图3），水轮运动的特点是什么？
：周而复始.
师：用什么函数描述这种运动？
：三角函数.
师：前面学习了三角函数的图象和性质，这节课我们用所学知识揭示水轮的运动规律.（给出课题.）
【评注】章头图通过水轮引入圆周运动的数学模型，因而在本章的结尾，教师再引导学生回到水轮，揭示水轮运动的规律，前后呼应，回到三角函数这一基本数学模型的建立过程，完成一段完整的知识构建过程.
2.寻找意义
活动1：如图4，点P在以O为圆心、A为半径的圆上，如何刻画点P的位置？
：以圆心O为原点，建立坐标系，用坐标（x，y）表示点P.
（教师在图4中建立平面直角坐标系.）
：用角，在刚才的坐标系中，点P是角θ的终边与圆的交点.
师：这两种表示方法有什么关系？
师：能任意取值吗？为什么？
：能，这是任意角的三角函数定义.
活动2：如图5，在平面直角坐标系xOy中，一质点P在半径为A的圆O上从
处按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为ω（rad/s）（单位时间内转过的角），如何确定t（s）后点P的位置？
活动3：设点P在y轴上的投影为H，则点H的运动规律是什么？
师：在物理中，这样的运动方程代表什么？让我们用《几何画板》动态地演示一下.
【评注】在本章引言中，由章头图提出了“用什么样的数学模型刻画‘周而复始’的点P的运动”的问题，从而得到“探究（r，α）与（x，y）的内在联系”这一三角函数的本源问题，所以说应用课的起点应该是本章知识的本源.函数y=Asin（ωt+φ）不是人为编造的，它是描述客观世界变量之间依赖关系的有效工具，三个活动为本节课的学习建立了有意义的学习心向，也为解决水轮问题做足了铺垫.
3.建构意义
（教师用《几何画板》演示简谐振动.）
如图6所示，当点P在以O为圆心、A为半径的圆上作匀速圆周运动时，投影到y轴上的点H的运动路径为：O→M→O→N→O，点H作循环往复的振动，振动的平衡点为O，M、N为离开平衡位置的最远位置.
（观察课件后要求学生说出振幅、周期、频率、相位和初相等概念及其含义.）
【评注】虽然在“1.3.3函数y=Asin（ωt+φ）的图象”的一开始，教材就立即定义或解释了这些变量的物理意义，但由于简谐振动是物理的选学内容，学生并不明白模型的意义，这里通过回顾和溯源，一方面对前面“给出”的物理名词作补充解释，另一方面也为例1的学习提供了“先行组织者”.
4.函数应用
例1 在图7中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.
（1）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系；
（2）求该物体在t=5s时的位置.
（1）略.
师：该物体在t=5s时的位置在哪？
：点O的左边，距O点1.5cm处.
师：怎么判断出在点O的左边？
：因为x是负的，而向右为正，向左为负.
【评注】例1 是函数y=Asin（ωt+φ）的直接运用，是此模型的一种解释.问题难度不大，解决过程使学生体会到面对实际问题建立数学模型是一项重要的基本技能，此过程并不神秘，如例1，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的，也是数学建模的基本要求之一.
例2 一半径为3m的水轮如图8所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P在最高点（图中点处）时开始计算时间.
（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最低点大约要多长时间？
（3）在水轮转动的一周内，有多长时间点P距离地面超过3.5m？
（1）略.
师：很不错的想法，他把数学与物理紧密地联系起来，解题时相辅相成.那么，请用上面的两种思路解答（3）.
【评注】由于例题前的三个活动，学生理解了通过建立平面直角坐标系建立三角函数y=A·sin（ωt+φ）模型的方法，并用这个模型解释水轮运动的规律，拓展了模型的数学应用；不仅如此，物理和数学知识的结合，增强了学生解决实际问题的能力，这正是数学应用课的教学目标之一.
变式：一半径为3m的水轮如图9所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间，将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数.
【评注】这个变式实际上就是教材中的例2.教学经验告诉我们，初相φ的确定是难点，为了削支强干，不妨将初始位置定在最高点，先避开这个难点，以建立简谐运动的模型为核心问题，当突破这个核心问题后，通过“变式”的形式再来处理细枝末节问题，学习重点得到了保证.
练习：略.
四、课后研讨
作为“同课异构”教学研讨活动，县中的徐老师也上了这个课题.两节课后，两地数学教师展开了充分的交流，有互相赏识，也有观点争议.
1.重视应用课的教学，培养学生的数学应用意识是共识
文献研究表明，很多研究课、示范课和赛课等几乎都是数学概念、法则和定理的教学，重视概念、法则和定理的教学是理所当然的，但“××的应用”课例研究案例很少见.这类课是研究的价值不大，还是教师可发挥的空间有限？不得而知.
本次两地联合教研，开展同课异构，以“三角函数的应用”为题进行教学研讨，是一种应用课教学的大胆尝试，同时本身也说明了重视数学应用课的教学是两地数学教师的共识.老师们认识到，在数学学习中，学习形式化的表达式是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.通过本课例的学习，学生受到了把实际问题抽象为数学问题的训练，培养了学生从实际生活中提出数学问题或将实际问题数学化的能力，使之逐步形成“用数学”的意识.
2.应用课是否就是习题课，争议较大，做法不同
张奠宙先生等学者认为，数学应用题主要是“从社会生活中所提出的、由学生运用已有数学知识去解决的一类实际问题”.因此，三角函数的应用就是利用三角函数的图象与性质解决生活、物理和工程技术等方面的实际问题.正如绝大部分的高考题那样，这些问题也是经过“加工”的，条件是封闭的，结论是确定的.
基于这样的认识，县中徐老师的课的流程设计为三个环节.课前热身：三个预习题（均为函数图象与性质的应用）→课堂探究：例1（图象的直接应用），例2（港口水深问题），例3（水轮问题）→随堂演练.这样的课在老师们看来比较实在，除例2“港口水深问题”（课本中“探究案例”）外，其他问题基本上都是图象与性质的直接应用，学生学会了解这方面的应用题，教学效益比较高，一节课基本上完成了两课时的教学内容.其中例2“港口水深问题”体现了探究思想，教师用Excel画出散点图后让学生先猜想数学模型，并处理近似数据，得到函数模型后在“进港”和“出港”上体现模型的应用.
笔者认为，这么上实际上就是一节习题课.在教材的每一章结束时，都有“××的应用”一节，无论从落实课程标准的理念，还是从教材编写者的意图来看，“××的应用”都应该是本章的高潮.在本章引言中，提出了“用什么样的数学模型刻画‘周而复始’的点P的运动”这一三角函数的本源问题，这是教学的起点.三角函数的应用是三角函数这部分的核心内容，也是本章的高潮部分，让学生经历建立模型、运用模型、欣赏模型的完整数学学习过程则起到了前呼后应、画龙点睛的作用.所以，应用题的教学重在理解问题、建立模型、欣赏和应用模型的过程，而不是简单地套用，更不是题量大、题型多的习题训练课，也许这才是张奠宙先生对应用题教学的本意.
3.“水轮问题”反映了两种教学设计的直接效果
县中的徐老师没有采用教材中的例1，课后讨论认为，由于简谐振动是物理中的选学内容，一是学生（其实是物理教师）不一定选，二是因为采用“14523”的数学必修内容学习顺序，而物理中即使选也还没有学到，学生不明白模型的意义，所以直接回避了，教无定法！实际教学中，由于教师没有回到“探究（r，α）与（x，y）的内在联系”，学生不明白函数y=Asin（ωt+φ）的背景和本质，徐老师在他的例3“水轮问题”的教学中，出现了困境.
师：赞成他的解法的请举手.（全班大部分学生举手.）你们认为这样计算出来的∠POM是锐角吗？
（经过教师提醒，多数学生恍然大悟.）
生：不一定，要分类讨论.
教师意识到，通过构造直角三角形求PM，必须分四类（即四个象限），算式“
”不一定正确，但经过诱导公式变化后其结果形式是一样的，如果这样“绕”下去，将费时费力；而且即使分类讨论也不能解释“任意角的三角函数”问题，于是教师果断地推出“建系”的解法.
与前面的教学设计相比，由于学生没有真正经历建模的过程，碰到新问题时，思维仍然停留在解直角三角形的套路中.更令人担心的是，虽然这一章快学完了，但“任意角及任意角的三角函数”概念在学生的知识结构中仍然没有真正建立起来.
五、深化理解
如何上好“三角函数的应用”课？“为理解而教学”.我们必须理解数学，理解“三角函数”.笔者认为，三角函数的“应用”应该回到圆周运动，抓住三角函数的本质.函数是描述客观世界运动变化规律的数学模型，而三角函数是建立圆周运动的数学模型，“正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动、密切配合的周期函数（项武义）”.本章定位在“展示建构刻画周期性现象的数学模型的数学（思维）过程”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归宿.教材中通过如下流程图（图11）呈现知识：
在这条主线下，通过问题链中问题的不断提出和解决，让学生经历和认识“三角函数发生与发展”的生长过程，感受和体验“人类研究和发现数学”的思维过程.在一系列问题的指引下，师生可以主动地参与建构数学的活动，进而发展学生的数学思维，学生的认知结构不断完善.因此，本章最后三角函数的应用理应回到揭示函数y=Asin（ωt+φ）的数学、物理意义和解决实际问题上来，从而回答本章的学习目的.基于这样的深刻理解，本节课不要忙于“港口水深”这样的探究活动，更不能仅仅靠题型演练，而应该从起点到终点让这条线串起来，让学生经历建立模型、运用模型、欣赏模型的完整数学建模过程.