——以“研究整除的规律”为例
◆ 陈洪珍 浙江省杭州市富阳区东洲中学 311401
摘 要：拓展性课程主要是指基于学生的差异性而设置的不同的学习资源，以培养学生的主体地位，完善学生的认知结构，改善学生的学习方式，提高学生自我管理和选择学习的能力，成为我国基础教育的一个重要组成部分。数学作为一种实用性较强的学科，开发拓展性课程资源，有利于培养学生的数学思维，促进学生数学能力的发展。在面对难以解决的问题时,我们往往需要将其转换形式,转变为容易解决的问题或较熟悉的问题,使原问题得以解决,这就是化归思想（转化思想）。
浙江新课改已经提出将近两年，大部分学校的拓展性课程主要体现在体艺特长、实践活动方面，而知识拓展往往被忽视或者直接被排除在拓展性课程外。实际上，这次提出深化义务教育课改，是对我省深化高中课改，尤其是去年开始实施的高考招生制度改革的一种呼应，而忽视知识拓展明显违背了本次课改的初衷，所以文化课的拓展性课程开发迫在眉睫。探究体验是数学课堂非常重要的一种学习方式，对数学公式的发现过程进行探究体验能很好地培养学生数学学习的能力。
对于数学知识的拓展，老师往往会理解为每一节课都要教学生一个新的知识点，把重点放在知识点本身。而化归思想是数学学习中的重要思想,而在日常的教学工作中，化归思想往往无法作为整个课堂的教学的主要目标和重难点，且化归思想的学习运用，需要学生对这个数学思想有非常深刻的认识，而拓展性课程以其特有的形式，非常有利于培养学生的数学思维。
下面，本文将以一个案例来介绍如果通过拓展性课程培养学生数学化归思想。
一、案例分析
环节一：数字游戏引入。将“123456789”这个9位数翻倍，你会发现什么？再翻倍呢？数字“123456789”依次翻倍后会出现“246913578”“493827156”“987654312”“1975308624”“3950617248”前三个数9位数都还是保持了由1-9这九个数字组成的规律，后两个十位数由0-9这10个数字组成。只有当第六次翻倍后得到“7901234496”这个数才打破之前奇妙的规律。问：上面这8个数都被9整除吗？
[设计说明]本节课作为初一第一节拓展性课程，在课堂的开头引入一个巧妙的数字游戏，可以快速抓住学生的注意力。学生在尝试翻倍计算的过程中，感受代数之美，培养数学数感。学生小学学过“一个整数每一位上的数相加所得到的数能被9整除，那么这个整数就可以被9整除”这个结论，马上能知道这8个数都能被9整除。
环节二：数字谜题提出化归思想。数字谜题：用1-9组成一个九位数，数字不能重复，使得这个数的第一位能被1整除，前两位组成的数能被2整除，前三位组成的数能被3整除，前四位组成的数能被4整除，依次类推，一直到这个九位数能被9整除，你能找到这个数吗？这个谜题一出来，好几个同学就开始着急动笔开始计算。师：有几个同学已经唰唰地在动笔算了，你觉得你盲目地猜测的机会大吗？我们来看看这样的9位数一共有几种可能呢？生：9×8×7×6×5×4×3×2×1种可能。师：这是9的阶乘，老师已经算过这个结果是362880。如果一个人1分钟可以验算一个，把这些数都算一边需要6084个小时，以一天工作8小时为例，需要756天，需要两年多全年无休的工作才能找出来。所以你面对这个复杂的问题，你觉得首先要做什么，让我们事半功倍呢？生：首先要研究被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的数。师：为什么呢？生：因为先研究这些数整除的特征，最后要求的这个数就是都符合这些特征的。而且整除我们学过了，研究起来应该比直接猜更好。师：非常好，这位同学想到了把复杂的问题简单化，把未知转化为已知，这是我们数学学习中非常重要的一种数学思想：化归思想。那我们接下来就来研究一下能被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除的数的特征吧？
环节三：小组合作，探寻整除特征。学生根据小学已有的知识归纳这些数整除的特征。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆学生归纳情况如下表：
表1：学生合作归纳整除特征表
被什么数整除特征
1所有数都能被1整除
2个位是偶数
3每一位数之和能被3整除
4个位和十位组成的数能被4整除
5个位为0或5
6
7
8个位、十位、百位组成的数能被8整除
9每一位数之和能被9整除
环节四：思维严谨性训练。较大整数速算整除的办法：提出问题：为什么个位是偶数的数能被2整除呢？对于这个显而易见的问题，学生由于刚刚学习代数知识，还很难严密的证明。老师可以示范说明：对于一个个位数来说，结果是无需证明的，因此不妨设这个数为a（a大于等于10），个位数为b，b是一个偶数。那么a-b可以被10整除，一个数可以被10整除，因为10有一个因数为2，那么a-b也可以被2整除，b是一个偶数也能被2整除，两个数都能被2整除，那么这两个数的和也能被2整除。接下来可以设计问题串：1.用同样的办法你能说明为什么被5整除的数的特征是个位数是5或0吗？2.还有哪些特征也可以用这个方法来证明呢？（4和8）3.请你判断600619是否可以被6整除，你觉得怎样最简便？根据这几个问题，学生可以归纳出大数速算整除的办法：若要研究一个数是否能被a整除，把一个数分为一大一小两个数，较大的数要能被a整除，此时只要考虑较小的数能否被a整除即可。
[设计说明]学生通过说理，使其逻辑更加的严谨，并逐渐从小学数学的是什么的归纳向中学数学为什么转化。同时较大整数整除问题转化为较小数整除问题，是一种等价的、把复杂问题简单化的化归思想体现。
环节五：小组探究。为什么一个数各位数字相加为3的倍数,它就能被3整除?设计填空题如下：先看两位数字的,如果一个数个位是a，十位为b，可以写成，其中a+b为的倍数，那么10*b+a=b+(a+b)。因为b能被整除,能被整除。所以，这个两位数能被3整除。再看三位数字的, a，b，c是这个三位数的个位、十位、百位则为3的倍数那么。实际上,对于任何一个自然数的个、十、百、千、……、第n位的数字分别为，那么。同样的，你能说明被9整除的数的特征是为什么吗？
[设计说明]把文字表示的数字关系用数学符号语言来说明，能帮助我们更好地理解数字关系所蕴含的数理本质。同时这也是一种把复杂问题简单化的化归思想。
环节六：缩小范围，解出谜题。根据被整除的数的特征，谜题中的9位数的范围马上缩小，各个小组开展合作，使用尝试检验法，最后很快解出了谜题的答案为“381654729”。
环节七：开放式作业。结合今天的课堂和日常生活，谈谈你对化归思想的认识。
[设计说明]著名教育家陶行知先生曾说过：“学习即生活。”数学从现实生活中来，最后也必将应用到生活中去，化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系、相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。这也是辩证唯物主义的基本观点。把复杂的内容简化处理，化整为零就是它的另一层含义。
二、案例反思
1.在实践中寻找课程立题的材料。通过本次拓展性课程，有的同学学会了整除的特征，有的同学领会到了化归思想的本质是化繁为简、化未知为已知，广泛应用到了日常的数学学习，乃至其他科目的学习中。甚至有的同学把生活中碰到的困惑也尝试用化归思想来解决，化归思想融入了学生的学习观、人生观、世界观中。在拓展性课程中，每个学生都得到了适合自己知识水平的知识，让自己的数学素养和能力得到了提升。对于本次拓展性课程，我们还可以做进一步思考：首先，对于大于9的很多整数，他们整除的规律是什么呢？其次，如何快速地对更复杂的计算所得到的结果进行简单快速的检验，让学生的计算能力得到提升？这些都可以在化归的思想方法指导下来开展研究。可见化归思想的运用并不需要多么高深的数学知识，在拓展性课程中，老师需选取恰当的材料和课题，呈现给学生，帮助学生用现有的知识和能力水平来解决问题。我选择通过研究整除来作为初中数学拓展课程的第一课，有两方面的考量：首先，对于初一学生，研究整除能培养计算能力，培养对数字的感觉，对代数研究的兴趣非常重要，对于培养学生逻辑思维的严密性有很大的帮助；其次，整除问题的门槛较低，初一学生在小学对这方面知识有了非常良好的基础，所需要的代数学知识他们也具备，而之后的学习中还要碰到这方面的知识，如方程的整数解问题。
2.围绕探究体验开展教学活动。要让探究拓展性课程受到学生喜爱，我们可以有意识地在恰当的环节设置符合认知的悬念，让学生在课堂中获得教材甚至数学知识以外的收获，避免出现学生认为数学课堂是为了数学而数学、数学课堂是枯燥的现象。在特殊环节让学生明白我们的探究方式是严谨的、合理的，这也是数学魅力体现。
3.在实践中寻找课程探索的价值。在具体的教学过程中，我们发现学生在参与这样的探究体验后对过程中所蕴含的数学思想方法更感兴趣，直观了解了数学思想方法的实用价值，说明探究体验型拓展性课程可以成为初中数学思想方法课堂渗透的有效载体。同时这样的探索能让老师更加重视让学生经历探究体验的过程，而不仅仅重视让学生掌握探究体验出来的结果或者蕴含的知识与技能。教师在课程实践中，特别是预设环节的准备过程中，能对教材的二次开发有更直观的了解。相信这样的探索能让拓展性课程的开展空间变得更宽。
中学数学课程改革的一个主要特点是数学课程更加关注人的发展，关注学生核心素养的提高。因此，引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的化归思想方法既是提高自身素养、建立科学的数学观念的基础；也是发展数学，应用数学的重要保证。拓展性课程倡导在课堂教学过程以学生为中心，倡导学生进行自主性的学习模式。通过拓展性课程和数学思想方法的结合，在学生的心中种下一颗数学思想的种子，让学生通过数学的视角来理解生活，通过他们自身的努力来解决问题，让他们学会学习，学会生活，这不正是我们希望学生所具备的数学核心素养吗？
参考文献
[1]中华人民共和国教育部 制定 义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012。
[2]曹才翰 中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，1990。
[3]仲秀英 名师授课案例对数学活动经验教学的启示[J].中国教育学刊，2009，10，69-72。
论文作者:陈洪珍
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年3月总第258期
论文发表时间:2018/3/21
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