一、数学命题的意义与分类
1.数学命题的意义和常用的逻辑联词
数学中用来表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系的就称为数学命题。如果数学命题所表达的判断符合客观实际（在数学学科领域中经过演绎推理获得结论），则认为该命题是真命题（即：定理）；如果题所表达的判断不符合客观实际，则认为该命题是假命题。一个命题或是真命题或是假命题，二者必居其一。
数学命题中，常用的逻辑联结词及量词有：“如果……那么……”“若……则……”“或”“与”“非”“至少”“至多”“所有”“存在”等。
我们利用这些联结词及量词，就可以组成复合数学命题，它们分别称为：假言命题、选言命题、联言命题及否定命题。数学上使用较多的是假言命题，通常可以写成“若A则B”的形式。
2.数学命题的分类
（1）定义、公理、定理、推论。应用十分广泛的数学命题主要是：定义、公理、定理、推论、公式、一般习题（为巩固学习内容设置，结论正确又不能作为定理或公式使用的数学结论）。其中，数学定义是平凡而常用的命题在数学中有一组已知的真命题作为初始的出发点。这些命题经实践检验是正确的，这部分命题就叫作学命题中的公理，例如：两点确定一条直线；三条边对应相等的两个三角形全等；如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线；经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。都是中学数学教材中的公理根据已知概念和真命题，经过推理得到的真命题叫作定理。
推论是指在求证定理的过程（个别也是公理应用的过程）中或者是由定理（或公理）本身的结论直接产生的正确命题，推论也是定理。
在数学科学系统中，作为公理的一些真命题要求满足不矛盾性、独立性和完备性。但在基础教育实施阶段，相应的教材中，为照顾学生的接受能力，不一定全部要求公理满足上述要求，因而可以将一些可证明的命题扩大为公理。
（2）命题的四种基本形式。数学命题一般都可以写成：“若……则……”或者“如果……那么……”的形式，因而可分为以下四种基本形式：
①原命题：若A，则B。
②逆命题：若B，则A。（条件与结论换位）
③否命题：若A，则B。（条件与结论换质）
④逆否命题：若B，则A。（条件与结论换位又换质）
这里的“A”是“否定A”的意思,读作“非A”。
在命题的四种基本形式中，对于其中的每一种形式都是对原命题而言的。
命题的四种基本形式之间的关系是:
图1
可以证明原命题与逆否命题等价（同真或同假）；逆命题与否命题等价。
互为逆否的两个命题虽然表述不同，但实质是等价的，这种等价性，给数学命题的证明和解决提供了多种途径和方便，有时对某个命题的研究，可以直接考虑其逆否命题。
二、为什么要加强命题的教学
根据基础教育的要求和目的，就是全面发展学生的能力。数学命题的教学能够从数学角度上直接培养他们的语言能力、逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力，也能够发展学生的个性等。所以，加强命题的教学势在必行。
1.由于数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学数学中的概念、公理、定理和公式等构成数学的准科学体系。数学问题的性质是经过命题一一体现出来，然后加以解决或者带动其他问题的发展和解决的。
2.数学命题的教学是获得新知识的必由之路，也是学生全面掌握数学知识，提高数学素养的基础。
3.通过数学命题的教学，能使学生学会判断命题的真假性，帮助确认知识，扩大认知领域。
4.无论是自然科学还是社会科学和技术科学，都遍处于数学化的过程中，现代科技的飞速发展更加快了科学数学化的进程，在数学命题教学的基础上，提高学生的数学思想、逻辑思维能力，培养他们数学思维的特有品质，同时也可以丰富和发展数学学科本身。
在基础教育中，掌握数学命题并灵活应用，寻找解题途径的能力，从某种意义上说，就是数学思维的本质特征之一。
在教学实践中，常常发现在同一个年级，同一个班内，对于任何特定的学习范围，还有为数相当的同学，完全被动地接受数学知识。由于数学基础薄弱，在数学命题的学习中得不到发展。
鉴于上述问题，就要求教师必须重视数学命题的教学研究，探讨命题教学的规律。
三、怎样进行命题的教学
1.重视命题的条件与结论的区分
由于数学命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式，因而一般可把命题划分为两部分，即条件部分和结论部分。每个命题都有各自的条件和结论，正确区分它，是学习命题的必要环节，也是促进解决数学问题的基础。
对于形式为“已知……求证……”或者是“如果……，那么……”以及“若……则……”一类的命题，条件就是“已知……”“如果……”“若……”，结论就是“求证……”“那么……”“则……”，这种类型属于基本的。只需在初学命题阶段给予一定的练习，绝大多数学生是能够掌握的（例题略）。
命题如果没有事先写成上边所谈的三种情况，就要让学生学会改写成这三种情况中的任何一种，这就必须通过对每个命题的结构分析去改写。
例如：“正三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形的高。”我们先把它改写成“如果……那么……”的形式，即：“如果点P是正△ABC内部一点，P到三边的距离为d1，d2，d3，正△ABC的边长为a，那么d1+d2+d3= a。”这一命题的条件是“点P是正△ABC内部一点，P到三边的距离为d1，d2，d3，正△ABC的边长为a”，结论是“d1+d2+d3= a”。对于这类命题，应要求学生学会语句的转化，一律改写为“如果……那么……”或“若……则……”的形式，用这样的方法来明确条件和结论。可安排如下的练习，例如：“对角线都相等的凸多边形，其边数不大于5。”“三角形的三条中线交于一点。”“同一个三角形中，大边对大角。”等等。使学生明确条件和结论，为命题的深入研究打下坚实的基础。
2.重视命题证明的理论基础的教学
（1）在研究命题证明之前，应适时介绍一些证题的基本理论，以助掌握思路的分析方法。证明就是为一个判断（命题）找到充足的理由，并把它叙述出来。数学上所说的“证明”，是指引用定义、公理、定理、已知条件等按照逻辑规则推断一个命题的正确性的过程。证明的推理方法较多，除归纳、类比、推理外，大都是运用演绎推理的方法。下边，我们来看看，究竟什么是演绎法。
（2）演绎法由一般到特殊的推理方法叫作演绎法。演绎法是经常使用的重要方法，利用演绎法进行推理常常采用三段论的形式来实现，根据大前提、小前提作出判断的结论，就是三段论的格式。
（3）证明的几种途径。在数学命题的教学中，要使学生掌握定理或公式的证明方法明确常用的几种证明方法。一般地，直接论证一个命题的真实性的方法，称为直接证法。其中关键在于寻求由已知到求证结论之间的思维途径，从而又可分为综合法（由已知推得求证）、分析法（由求证追溯到已知）和综合与分析相结合的方法。
通过证明一个命题的等效命题来代替原命题的真实性的证明，称为间接证法。其中关键在于寻求它的等效命题。这种方法又分为同一法和反证法。详细内容，读者可参阅高等教育出版社出版的《中学数学教材教法总论》（第二版）（十三院校协编组编）书第三章。
上述的几种证明途径，需要在教学中结合具体实例，突出思路分析，反复细心引导并配以一定数量的练习，才能使学生逐步掌握。
（4）逆命题的制作及其作用。原命题“若A，则B”的逆命题是由条件与结论互换而产生的，即“若B，则A”对于原命题中的条件A与结论B都只含有一个独立事项时，逆命题是容易制作的。
例如，命题“对顶角相等”的逆命题是“凡相等的角是对顶角”。
但是，对于条件、结论中所含独立事项不唯一时，除了将命题中的所有条件与所有结论互换而得到其逆命题之外，还可以采用同样数目的部分条件与结论对换”和“部分不同数目的条件与结论交换”的方法来设计原命题的“逆命题”（也有人称为原命题的偏逆命题）。
例如，平面几何中的垂径定理：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。”这个命题含有两个独立条件：垂直于弦、直径;三个独立结论：平分弦、分弦所对的弧、平分弦所对的另一条弧。除整体条件、结论互换得到它的逆命题之外，从原命题的条件与结论中各取个数相等（不等）的独立事项，经对换后可得到不同的偏逆命题。
通过上例不难看出，把一个命题的题设和结论尽可能剖析为若干个独立的事项，然后交换相同或不同个数的独立事项，都可以产生原命题的逆命题和偏逆命题。
应当注意，原命题正确时，它的逆命题、偏逆命题不一定正确。例如，平面几何中，命题“AB∥直线l，则A、B到l的距离相等”和立体几何中“AB∥平面a，则A、B到a的距离相等”都正确，但它们的逆命题不正确。
逆命题的制作，可以使数学命题的教学增加活力，在各阶段的练习或考查中，教师可根据介绍的方法编写由已知命题产生的逆命题（或偏逆命题）。在教学过程中，不断根据命题所给条件、结论以及数量等关系，改写成等价命题后，设计出命题，往往由此可以发现新的命题或定理。我们用逻辑推理的方法去辨别真假命题，可使命题教学过程灵活，不断去认识命题及其逆命题的本质，提高教学和学习水平。
（5）研究命题的演变与应用，提高分析、概括能力。在命题教学过程中可以适当介绍一些典型命题的演变，提高学生分析、概括能力。
四、命题教学应注意的几个要点
1.重视命题起始课教学和命题证明的思考方法的研究
从起始课开始，对教材上的基本问题，就要详细讲解、认真作图、严格论证、书写规范整洁。
开始时，所选问题以浅显为佳，所布置的练习也要比较容易完成，使学生便于模仿，要允许学生有一个适应和准备的过程。教师在这段时间内，对作业的批改要细致，出现的共性问题应及时在课堂集体纠正，课堂教学语言应表述准确，讲与写在黑板上尽量同时并行。
然后，逐步加入能够开阔学生思路的命题，侧重介绍命题证明的思考方法是什么？为什么又要添这条辅助线？怎样完成证明（或计算）？通过这一阶段的教学，为学生创造地掌握数学命题及其证明方法提供可能的各种数学能力的组合，才能使命题的学习效果比较明显。
例1：如图2经过⊙O外一点T作⊙O的两条切线，切点为A、B。BD是经过B点的⊙O的一条弦，AE⊥BD于E。若TA⊥TB，则EA=ED。
思考方法：图2中有过点T的两条切线，由切线长定理，得TA=TB。如果TA⊥TB，那么连结AB后，△TAB是等腰直角三角形，这就找到了一条可用的辅助线。
图2 图3
欲证EA=ED，发现，连结AD后，如图3，才能使EA、ED位于同一三角形内：注意到∠DAE=90°，从而只需证明∠ADE=45°；要想证明∠ADE=45°，只需找它的等角是45°就可以了。
很明显，∠TAB=45°，∠TAB=∠ADE，所以，∠ADE=45°。
可见，连结AB、AD，就是完成本题的关键辅助线，此线一经画出证明过程易得。
一般而言，命题证明的思考方法应当是“分析与综合相结合的方法”。从假定结论成立看其应具备什么充分条件，或由已知条件看其能推得什么结果。前后结合，想想这个条件或结果有无必然联系和依赖性，最后进一步考虑已知条件与上述若干事项及结论之间的联系，通过这样的尝试，找到必要的辅助条件（泛指引入公式定理、辅助线等），揭示出所证命题的思路和规律。命题的证明（解题）过程，也应强调题目中所给条件的必用性，证明方法的完整性，类似的过程可用“同理”等语句代替，以求简捷。
2.在命题教学中积极发展学生的思维能力和创造能力，注重知识的有效迁移。教学中，对一些综合性命题不要总是由教师给学生进行化难为易的讲解，也不必步步提示或做一些铺垫。应积极引导学生经历这种化难为易的思维训练，进行学习的有效迁移，并引导学生勤奋、独立、目的明确、坚持不懈等良好的个性品质的发展。因而，对一些力所能及的综合问题，应倡导学生知难而进，进行适当的扩展、拓广。
3.引导学有余力的优秀学生适时进行专题研究是加强命题教学的重要组成部分。在命题教学中，对学有余力的学生而言，适时对他们进行专题研究的训练，揭示知识间的内在联系，获得超出原有知识的认识水平，有益于把命题研究和所学知识重新组合，形成新的认知结构。
这种方法可适用的内容较为广泛，题材多样。
以上几例，知识点较多，覆盖面大，对平面几何与圆有关的证题（特别是综合题）有启发和参考价值。学有余力的同学可以在教师指导下进行这样的学习，完全深入到命题研究中去，扩大认识领域。
但要注意，对命题的深入探究要适度，无论是课内或课外，都应围绕基础教育的目标量力而行，绝不能超过学生的承受能力，违背基础教育的宗旨。
论文作者:彭素媛
论文发表刊物:《教育学》2019年4月总第175期
论文发表时间:2019/5/28
标签：命题论文; 逆命题论文; 数学论文; 结论论文; 条件论文; 定理论文; 公理论文; 《教育学》2019年4月总第175期论文;