休谟问题与动态大弃赌定理，本文主要内容关键词为：定理论文,动态论文,休谟论文,大弃赌论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
休谟问题是关于归纳合理性的。归纳法是从个别现象推出一般结论、从过去事件推出未来事件的思维过程。归纳法的合理性受到十八世纪英国哲学家休谟的质疑以后，便成为哲学认识论关注的焦点之一。相当多的哲学家都对归纳合理性问题亦即休谟问题发表了见解，真可谓仁者见仁，智者见智；直到今天，情况仍然如此。笔者曾在一些文章中介绍和讨论了当代概率归纳逻辑的一个颇有影响的派别即主观主义或私人主义对休谟问题的“解决”，本文将对此方案中的一个基本原则即“大弃赌定理”（Dutch Book Theorem，有文献译为“荷兰赌定理”）作进一步的探讨，分析其成功和失误之处，并从中得出一些重要的启示。
一、概率、置信度与公平赌商
主观主义概率归纳逻辑把一个命题或事件A的概率Pr（A）解释为某一个人对A的置信度，在这种解释下，概率具有私人性和主观性。于是，这种概率是否具有某种程度的公共性和客观性便成为一个异常尖锐的问题呈现出来。主观主义的回答是肯定的，其理由主要有两点。其一，主观主义概率并不是一成不变的，而是根据经验证据不断地加以修正的，修正的逻辑依据是概率演算的一个定理即贝叶斯定理。主观主义概率论的“意见收敛定理”表明，随着证据逐渐地增加，最初人们对某一命题所具有的彼此不同的主观置信度最终将趋于一致从而显示出这种概率的公共性和客观性来。其二，主观置信度具有某种客观的可测度性，即所谓的“公平赌商”（fair betting—puotient）。具体地说，一个人对一个命题A的置信度愈高，那么，当他为A的真实性进行赌博时，他愿下的赌注就愈高；反之，愈低。公平赌博是一种特殊的赌博，即它事先在赌者看来既不输又不赢的赌博。正因为此，在公平赌博中，赌者愿意在结果揭晓之前随时与对方交换位置。如果在一个赌博中，赌者在结果揭晓之前不愿意与对方交换位置，那就意味着此赌博在他看来并不是公平的。对一个赌者X来说， 决定一个赌博是否公平取决于他的赌商是否公平。赌商是赌者X所下的赌注d[,1]与全部赌注S＝d[,1]+d[2]的比值，其中d[,2]是其对手Y所下的赌注。如果赌商d[,1]／S使X愿意与其对手Y交换位置，那么，这一赌商便是一个公平赌商。显然，赌商是客观可测度的，赌者是否愿意与其对手随时交换位置即赌博的公平性也是客观可测度的。这便决定了公平赌商是客观可测度的。
主观主义把概率解释为置信度，又把置信度解释为公平赌商，这一作法得到一个定理的有力支持，这就是所谓的“大弃赌定理”。大弃赌（Dutch Book）指这样一种赌博，即无论所赌的那个命题是真是假，赌者都将输钱。大弃赌定理后来又被分为静态大弃赌定理和动态大弃赌定理。静态大弃赌定理说的是：一个人要想在一组赌博中避免大弃赌，当且仅当，他的公平赌商满足概率演算公理。静态大弃赌定理是非常有趣的，它将概率演算公理与公平赌商进而与置信度紧密地联系在一起。不过，静态大弃赌定理与归纳合理性并无直接关系，因为它并不涉及置信度与经验之间的关系。与归纳合理性亦即与休谟问题直接相关的是动态大弃赌定理。下面我们将着重讨论动态大弃赌定理。在此之前，我们有必要介绍一下使大弃赌定理得以成立的模型即公平赌博的规则，其内容如下：
1.一个赌博体系是由一组赌博a[,1]a[,2]……a[,n]构成的，其中每一个a[,i]是关于一个命题A[,i]的真实性或虚假性的赌博，赌者X对每一个A[,1]的公平赌商等于他对A[,1]的置信度，即
d[,1]（A[,1]）
──────────────＝Pr（A[,1]）。其对手Y对A[,1]
d[1]（A[1]）+d[2]（A[1]）
d[,2]（A[,1]）
的赌商为────────＝1－Pr（A[,1]）。
d[,1]（A[,1]）+d[,2]（A[,1]）
2.在一赌博a[,1]中，赌者X同意与对手 Y随时交换位置，并且同意Y提出的任何赌金总额S（A[,1]）＝d[,1]（A[,1]）+d[,2]（A[,1]）。
3.当X为A[,i]的真实性进行赌博时，其对手Y就为A[,i]虚假性进行赌博。如果A[,i]为真，X得到全部赌金S（A[,i]），其纯收益就是Y 所出的赌金d[,2]（A[,1]）＝S（A[,1]）（1－Pr（A[,1]））。如果A[,i]为假，全部赌金归Y，X输掉自己所出的赌金，其纯收益为－d[,1]（A[,1]）＝－S（A[,1]）Pr（A[,1]）。不难看出，无论A[,i]是真是假，Y所获纯收益与X的纯收益的绝对值相同而正负号相反。
二、动态大弃赌定理
动态大弃赌定理是在静态大赌定理提出四十年之后才被提出的。静态大弃赌定理是由拉姆齐（F.P.Ramsey）和菲耐蒂（B.de Finetti）于本世纪三十年代分别独立地提出和证明的。拉姆齐认为，静态大弃赌定理表明，一个人的置信度只要遵守概率演算公理就是合理的，而不需要另外的合理性原则。然而，遵守概率公理尽管能够使人避免大弃赌，但却不能保证合理置信度的唯一性。例如，对命题A及其否定A，满足概率演算公理的置信度可以是Pr（A）＝0.9和Pr（A）＝0.1，也可以是Pr（A）＝0.5和Pr（A）＝0.5，还可以是Pr（A）＝0和Pr（A）＝1，等等。总之，只要Pr（A）+Pr（A）＝1，关于A和A 的置信度都满足概率演算公理。据此，拉姆齐认为，对于基本概率的确定具有主观任意性，并不需要通过归纳原则与经验发生联系，他进而全盘接受休谟的怀疑主义或心理主义认识论。与之不同，菲耐蒂以及大多数主观主义者虽然承认初始概率具有一定的主观任意性，但是初始概率必须受到随后经验事实的不断修正，此种修正的依据就是概率演算的一条定理即贝叶斯公式。
贝叶斯公式是关于由无条件概率向条件概率过渡的定理。在相当长的时期内，人们把假设h相对于证据e的条件概率Pr（h／e）理解为验后概率，即得到证据e之后关于h的置信度，于是理所当然地把贝叶斯定理看作根据证据由验前置信度，过渡到验后置信度的合理性规则。特别是在菲耐蒂等人提出和证明了“意见收敛定理”之后，贝叶斯定理在主观主义概率归纳逻辑中占据着核心地位，以致“贝叶斯主义”成为“主观主义”或“私人主义”的代名词。菲耐蒂及其后继者乐观地认为，休谟提出的归纳合理性问题——即由已知事实决定有关未来事件的置信度的合理性问题——就此得以解决。然而，哈金（Ian Hacking）指出， 条件概率Pr（h／e）和验后Pre（h）之间有着根本性的区别：Pr（h／e）是在证据e出现之前就可确定的概率，即
Pr（h／e）
Pr（h／e）＝───────，
Pr（e）
因此，条件概率是验前概率。而验后概率Pre（h）则是证据e 出现之后才能确定的概率，它与Pr（h／e）在逻辑上是相互独立的，因此，二者不必相等。自此以后，人们开始考虑如何为Pre（h）＝Pr（h／e）进行辩护的问题。 哈金把 Pre（h）＝Pr（h／e）称为“动态假设”（the dynamic assumption）， 另一些人把它称为“更新规则”（ theupdating rule ）或“条件化规则”（the rule of conditionalisation）。为动态假设辩护的一条自然而然的思路就是将静态大弃赌定理加以推广，从而得到动态大弃赌定理。动态大弃赌定理说的是，一个人的置信度一旦违反动态假设，即Pre（h）≠Pr（h／e），那么，他将不可避免地面临大弃赌。最早考虑动态大弃赌定理的是刘易斯（David Lewis），其基本思想在泰勒（Paul Teller）那里得到更充分的表述。（参见〔4〕）下面以较为简捷的方式给出此论证。（参见〔3〕或〔1〕PP.100——101）
首先引入一个概念“条件赌博”：关于h相对于e的条件赌博是在已知e真的情况下关于h的赌博，当e假时，此赌博不进行。关于h相对于e的条件赌博的赌商叫做“条件赌商”，公平条件赌商是相应的条件置信度P（h／e）。
假定某人的验后置信度不满足动态假设，即Pre（h）≠Pr（h／e）。现在让他进行一组赌博：（i）进行一个关于h的真实性相对于e 的条件赌博，赌金总额为1元，公平赌商为Pr（h／e）.（ii）进行一个关于e的真实性的赌博，赌金总额为[Pr（h／e）－Pre（h）]元，公平赌商为Pr（e）且Pr（e）〉0.（iii）在e表明为真之后，进行一个关于h的虚假性的赌博，赌金总额为1元，公平赌商为1－Pre（h）（这是一个验后赌博， 故公平赌商与验后置信度Pre（h）有关，由于它是关于h的虚假性的赌博，故公平赌商不为Pre（h），而为1－Pre（h）赌博体系（i）+（ii）+（iii）的收益矩阵为：
e h h/e
收益：(i)
+ (ii)
+
(iii)
真 真 真(1－Pr(h/e))+(Pr(h/e)－Pre(h))(1－Pr(e))－(1－Pr(h))
＝－Pr(e)(Pr(h/e)－Pre(h))
真 假 假 －Pr(h/e)+(Pr(h/e)－Pre(h))(1)－Pr(e))+Pre(h)
＝－Pr(e)(Pr(h/e)－Pre(h))
假 0
－
(Pr(h/e)－Pre(h))Pr(e)
+0
＝－Pr(e)(Pr(h/e)－Pre(h))
从上表中我们看到，由于Pr（e）〉0，如果Pre（h）〈Pr（h／e），那么，无论结果是什么，该赌博体系的收益总为负值，这使赌者处于大弃赌境地；如果Pre（h）〉（h／e），那么，无论结果是什么，该赌博体系的收益总为正值，让赌者与其对手交换位置后，他仍处于大弃赌境地。这样，动态大弃赌定理便得以证明。
三、克里斯坦森对动态大弃赌定理的批评
对动态大弃赌定理给予批评是不乏其人的，但在笔者看来，克里斯坦森（David Christensen）的批评是正中要害的和致命的。 克里斯坦森指出大弃赌定理的意义在于认识论上的，而不在于实用上的；具体地说，大弃赌定理的意义在于表明所讨论的置信度具有某种不一致性，而不在于它必然导致金钱上的损失。事实上，金钱的损失与大弃赌的认识论意义上是毫无关系的。为说明这一点，克里斯坦森构造了如下两个大弃赌。
一个是所谓的“双人大弃赌”。假定我和我的妻子出门购买东西。我对今天不下雨的置信度是75%，我的妻子比较保守，她对今天不下雨的置信度是50%。我们俩一同来到赌场庄家（a bookie）那里，我以75%的公平赌商为今天不下雨打赌，因此我出3元而庄家出1元。我的妻子以50%的公平赌商为今天下雨打赌，因此，她和庄家各出2元。 尽管这两个赌博分别对我和我的妻子来说是公平的，但庄家却肯定能从这两个赌博中赢得1元钱，而无论今天是否下雨。因为，如果今天下雨， 他赢我3元而输我妻子2元；如果今天不下雨，他输我1元而赢我妻子2元。由于我和我妻子的财产是共有的，这就意味着，我们俩合起来打了一个“大弃赌”。
现在问题是，大弃赌的真正意义何在？如果说大弃赌的真正意义在于显示了一种实用上的不合理性即必然导致金钱上的损失，那么上述双人大弃赌也具有这种不合理性。但是，人们并不会因此指责我的置信度有什么不合理，也不会如此指责我的妻子，而且不会指责我们两人的置信度是不一致的；因为夫妻二人对未来事件持有不同的置信度不仅是常常发生的，而且是在情理之中的。由此可见，双人大弃赌与经典大弃赌（即静态大弃赌）有着本质的不同，其不同点在于，经典大弃赌所显示的是X一个人的置信体系内的不一致性，而双人大弃赌显示的是X两个人的置信体系之间的不一致性。前者是值得关注和避免的，而后者是不值得关注和避免的。这进而表明，大弃赌的真正意义在于，它所显示出的是一个人的置信体系内的不一致性，亦即认识论的不合理性，而不是它所导致的金钱上的损失亦即实用上的不合理性。
另一个赌博例子是所谓的“先知先觉的大弃赌庄家” （ the prescient Dutch Bookie）。让我们设想一个先知先觉的庄家，他比经典大弃赌所设想的庄家具有更强的透视力和预见力。他不仅知道你现在的置信度分布，而且知道你在一个小时之后的置信度分布。又假定你的置信度在一个小时之后确实发生了变化。这个庄家很容易构造一组赌博，其中有些赌博现在进行，并且对你现在的置信体系而言是公平的；有些赌博在一个小时之后进行，并且对你变化后的置信体系是公平的；然而，这组赌博合起来却使你处于必输境地，无论结果如何。
如果上述的先知先觉的大弃赌庄家对我们的置信度的合理性有什么约束力的话，那么，我们的置信度无论在任何时候任何地点发生任何变化都是不合理的，因为只要你的置信度有任何变化，你就不可避免地遭遇这位先知先觉的的庄家所设置的大弃赌。然而，事实上，没有人认为只有一成不变的置信体系是合理的，因而没有人会为这位先知先觉的大弃赌庄家而烦脑。原因何在？也许有人认为，原因在于这位先知先觉的大弃赌庄家离现实太远，与人们的实际赌博行为没有直接关系。然而，经典大弃赌中所设想的庄家也是非常聪明因而是很不现实的，为什么大家却认为经典大弃赌对于置信体系的合理性有很大的约束力呢？克里斯坦森指出， 真正的原因在于经典大弃赌所显示的是一个人在X同一时间所具有的置信体系X之内的不一致性， 而上述先知先觉的大弃赌庄家所显示的是一个在X不同时间所具有的置信体系X之间的不一致性。只有前一种不致性才具有认识论上的不合理性，而后一种不一致性正如两个置信体系之间的不一致性是不足为怪的，根本构不成认识论上的不合理性。
现在让我们回顾前面所表述的刘易斯—泰勒关于动态大弃赌定理的证明。在此证明中，庄家的赌博体系包含三个赌博，其中（i）和（ii）是在获得证据e之前进行的，而（iii）是在获得证据e之后进行的。 可见，刘易斯—泰勒的大弃赌正如先知先觉的庄家所设置的大弃赌是历时性的（diachronic）而不是共时性的（synchronic）。既然置信体系的历时性的不一致性是无害的甚至是必需的，那么，避免这种历时性的不一致性就不能成为一条合理的原则，这也就是说，动态大弃赌定理作为合理性原则的依据是不成立的。克里斯坦森的这一批评主要是针对范·弗拉森（B.van Fraassen）所提出的一种特殊的动态大弃赌原则即“反映原则”（the principle of reflection）的，毫无疑问， 克里斯坦森的这一批评也完全适合刘易斯—泰勒的有关论证。在笔者看来，范·弗拉森的反映原则比起刘易斯—泰勒的动态大弃赌定理更为可疑，故在此从略。（有兴趣的读者可参阅B.van Fraassen文：Belief and thewill.）
刘易斯和泰勒以及后来范·弗拉森和索贝尔（J.H.Sobel ）等人提出动态大弃赌定理是为了给动态假设Pre（h）＝Pr（h／e）提供辩护。既然此定理作为合理性原则的依据不能成立，那么，他们对动态假设的辩护是不成功的。克里斯坦森告戒人们：“如果谁想要使得某些形式的条件化（即动态假设——引者注）成为一个合理性要求，那么，他们必须通过另外的途径来寻求这种辩护。”与此同时，他安慰人们，尽管动态大弃赌定理不成立，但静态大弃赌定理仍然成立；这是因为动态大弃赌是历时性，而静态大弃赌则是共时性的而且是针对同一个人的，而同一个人的共时性置信体系必须保持一致，否则，它在认识论上就是不合理的。
四、为归纳合理性辩护的新思路
克里斯坦森令人信服地否定了作为合理性原则的动态大弃赌定理，并告戒人们要为动态假设（亦即条件化）的合理性进行辩护，就必须另辟新径。对此，豪森（Colin Howson）和厄巴赫（Peter Urbach）作出回应，他们对动态假设给出一个不借助于大弃赌的辩护。（参见〔1〕，PP.103—105）
豪森——厄巴赫指出：X在一定条件的限制下，动态假设P’（h）＝P（h／e）可以成为合理性原则（在这里，P’（h） 相当于验后置信度Pre（h），即在e被证实为真之后对h的置信度。）这个条件是：在你观察到e为真之后，你关于h相对于e的条件概率P’（h／e）与在此之前的条件概率P（h／e）相比没有发生变化，即P’（h／e）＝P（h／e）。其理由是：当e 被证实为真之后，P’（e）＝1，这使得P’（h／e）＝P’（h）。既然P’（h／e）＝P（h／e），所以，P’（h）＝P（h／e）。
不过，在笔者看来，豪森——厄巴赫对于动态假设的这一“辩护”等于什么也没说，因为它相当于同语反复，即：如果P’（h）＝P（h／e），那么，P’（h）＝P（h／e）；既然总有P’（h）＝P’（h／e）。然而，问题的关键在于，X 为什么应当使得P’（h／e）＝P（h／e）。对此，豪森和厄巴赫在其补充说明中有所涉及。他们谈道：“科学证据几乎不可能演绎地将某些条件强加到你未来的置信状态中去。这确实是不可能的，除非一些更为古怪的关于量子力学的解释被证明是正确的。即使如此，条件化规则仅仅描述了这样一种方式，在其中一个理想的推理者——他已经计算出证据e在K（K即背景知识——引者注）下对于h的全部影响并表达为P（h／e）——将对e为真的消息作出回应。当然，我们当中没人是理想的推理者，因而不能看到所考虑命题e的全部后承，但是这并不能阻止我们应用贝叶斯装置的其余部分，对它们的正确应用只需要某种关于演绎关系的知识，举例来说，正如对于加性公理（theadditivity axiom），没有人类的理想推理者——甚至没有非人类的理想推理者——能够把握它们的全体。”
笔者认为，豪森和厄巴赫在这里提出的两点理由都是不妥的。首先，科学证据常常是出人意料的。科学家们在实际观察后所得到的证据往往与他们事先设想的证据有所不同。例如，青霉素的发现完全超出其发现者事先设想的试验方案，完全是意外的收获。豪森—厄巴赫用P ’（h／e）表示在e被观察之后h相对于e的条件置信度，它与e在被观察到之前的条件概率P（h／e）是逻辑独立的，这一点哈金已经明确地指出。因此，豪森—厄巴赫在这里谈论科学证据有无可能演绎地影响未来的置信状态是不着边际的。其次，豪森—厄巴赫借助于一个具有超常预见力的理想推理者来说明P’（h／e）＝P（h／e）的某种必然性，这也是极为不妥的，甚至是无意义的。因为对于这样一个可以预见未来的理想推理者，归纳推理就象演绎推理一样具有必然性，归纳法的合理性问题根本就不会产生，当然也就无需为动态假设作任何辩护。我承认，在关于科学方法论或科学哲学的讨论中，有时需要借助于理想条件；但是，被理想化的那部分内容一定无关于所讨论问题的解决，而仅仅使所讨论的问题更为清晰，正如静态大弃赌定理中所设想的那个聪明的赌博庄家。实际上，正因为那个假想的庄家非常狡滑，才使得大弃赌问题更为突出，更难对付。然而，与此相反，豪森——厄巴赫在这里所设想的理想推理者却使所要解决的问题不成问题了，因此，这种理想化是毫无意义的。鉴于以上原因，我认为豪森——厄巴赫为动态假设所作的辩护是不成功的。
笔者曾提出另一种辩护，此辩护的关键在于给出一个新的合理性原则即“最少初始概率原则”。初始概率是相对于后继概率而言的。后继概率是可以由其他概率逻辑地推出的，而初始概率则不能由其他概率推出，只能凭借人们的直觉、情感等非理性因素加以确定。显然，一个置信体系内的初始概率愈多，其非理性因素愈多，因而愈不合理。据此，最少初始概率原则上便有资格成为一条合理性原则。最少初始概率原则说的是：X关于相同证据和相同假设的两个置信体系， 初始概率较少的那个置信体系较为合理。
笔者还给出一个定理即“条件概率蕴涵化定理”。此定理说的是：如果Pr（h／e）＝P，那么，□e→Pr（h）＝P。在这里，□e解释为e被证实。根据这一定理，当e被证实后，那么便可由Pr（h／e）＝p逻辑地推出Pr（h）＝p，而这时的Pr（h）正是验后概率Pre（h），因此，Pre（h）＝p＝Pr（h／e）。这表明，根据动态假设由条件概率Pr（h／e）得出验后概率Pre（h）是有逻辑依据的，因而这样得出的验后概率属于后继概率。反之，如果不遵守动态假设即Pre（h）≠Pr（h／e），这样的验后概率Pre（h）不是后继概率而是初始概率。根据最少初始概率原则，前者是合理的，而后者是不合理的。
这一方案并不排除实际观察到的证据e’与预想的证据e有所不同的可能性。如果确实如此，那么有必要在得到证据e ’之后重新计算条件概率Pr（h／e’）， 然后使得Pre’（h／e）＝Pr（h／e’）。不过，在特殊情况下，e’与原有的背景知识是相冲突的，从而使得Pr（e’）＝0。在这种情况下，Pr（h／e’）是无意义的，这意味着， 此时条件概率是不存在的，于是，Pre（h）只能是初始概率。尽管如此，这并不违反最少初始概率原则，因为在这种情况下，对于那个推理者来说，并不存在一个具有更少初始概率的置信体系。
以上就是笔者为动态假设进而为归纳合理性进行辩护的基本思路。此方案一方面说明在正常情况下——即有条件概率Pr（h／e）的情况下——遵守动态假设是合理的，另一方面说明在反常情况下——即没有条件概率Pr（h／e）的情况下——动态假设也不会被违反。这两方面合起来便说明，在根据经验事实改变置信度的过程中，遵守动态假设亦即遵守归纳原则是合理的，尽管其作用是有限的。可以看出，这种关于归纳合理性的说明和辩护亦即对休谟问题的解决是介于归纳主义与反归纳主义之间的；具体地说，在承认归纳合理性方面，它同于归纳主义而不同于反归纳主义；在承认归纳作用的局限性方面它同于反归纳主义而异于归纳主义。