武志成
摘要：“三角函数最值问题”既是对学生运用三角函数的概念、图像、性质及三角公式能力的综合考查，也是函数思想的具体体现，在数学考试中有着很大的实际应用价值。本文介绍了几类常见类型的三角函数最值的求解方法，供学生学习参考。
关键词：三角函数；数学思想；求值方法
三角函数将角的变化与函数值的变化紧密地联系起来。我们知道，函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质和约束关系的一种描述。由于角的变化与相应函数值的相依关系，学生可以利用函数来研究角，即利用函数思想解决三角问题。
研究三角函数的最值问题，其方法与求三角函数值域的方法类似。学生可以通过三角恒等变换，使目标函数变量及函数的名称归一，然后利用基本函数的值域，求得原函数的最大值与最小值。另外，在具体解题过程中，学生还要注意换元法的应用及定义域的限制。
例如，关于型三角函数式的最值，学生可以由三角函数的性质直接求出，过程如下： ；
；
与在定义域内无最值。
对于三角函数与常数经加、减、乘、除、乘方、开方运算所组成的三角函数式之最值问题，教师要将其归为一次函数、二次函数、分式函数、无理函数的条件最值问题或对角给以约束条件的最值问题。而对最值问题所附加的约束条件，题中常以三角函数的值域形式给出。
一、求解三角函数最值问题的基本思想
1.教师要让学生认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。
2.学生要根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤，学生具体可考虑以下几点：(1)将函数式化成或形式，再利用正弦函数的有界性求出其最值；(2)通过换元，将函数解析式化成二次函数或二次方程进行求解，学生需要注意的是，在换元后，要注意新变元的取值范围；(3)将其转化为可利用不等式性质，均值不等式来求解的问题；(4)转化为可利用函数的单调性来求解的问题；(5)改变主元，视函数为辅元，从而通过判别式法来分析的最值问题；(6)化归为可利用几何解释来解决的问题。
3.学生通常可以考虑降次，积化和差与和差化积、引入辅助角、万能代换、换元、配方而对函数式进行变形或转化。
二、直接运用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题
例1.求函数＝的最值
分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解：(1)当在第一象限时，有
(2)当在第二象限时，有
(3)当在第三象限时，有
(4)当在第四象限时，
综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2.
说明：在这里学生首先可以观察到函数式的特点，不需要对它进行什么变化，并且由于没有什么条件限制，所以，学生只须对它分象限说明即可。
三、直接运用三角函数的有界性()解题
例2.设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于( )
A. B. C. D.-2
解析：由于的最大值与最小值分别为1，-1，所以，函数的最大值与最小值分别为，，即＝+()=-2，故此题答案选D。
说明：此函数式中只含有，而也没有区间限制，所以，根据不等式，在此不等式基础上进行变形可得的取值范围，也就是的取值范围。
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四、利用数形结合思想
例3.求的最大值与最小值
解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式将原式中的看作是定点与动点连线的斜率，而动点满足单位圆，如上图所示。所以问题可转化为求定点到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得：
，
五、利用三角函数的单调性法
例4.当，函数的最值为：( )
A.最大值是1，最小值是－1 B.最大值是1，最小值是
C.最大值是2，最小值是－2 D.最大值是2，最小值是－1
解析：在本题函数表达式中，既含有正弦函数，又含有余弦函数，那么，学生首先应考虑能否将函数表达式化为只含有正弦函数或只含有余弦函数的表达式，即函数，因为，所以，当时，函数有最小值为－1，最大值为2，因此，本题答案为D。
六、可化为一次函数，的条件极值的三角函数式极值求法
例5.求函数 的极值
分析：由可知，上述问题实质上是求下述一次函数的条件极值问题，即求, ，其中，这里约束条件是由正弦函数的值域暗中给出的。
解： (1)当时, ；
(2)当时, ；
说明：因为该题的函数式中出现了参数，学生须对做分类讨论，即分大于零与小于零两种情况，然后再对正弦函数取值求出最值。
七、可化为二次函数的条件极值的三角函数式的最值求法
对于函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数的题目，当它们的次数都是1 时，学生可以利用它们的有界性解答。 当它们次数是2 时，一般就需要学生通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数来处理。
例6.求函数最值
分析：因为因此，求的最值，实质上是求以为自变量的二次函数。学生可以用配方法或数形结合的思想考虑求解。
即，当设=时，变为在约束条件的条件极值。
解：因为
当
当
说明：此题是运用导出二次函数最值公式的方法，将所求三角函数的最值问题转化为二次函数条件最值去解决，即将函数看作是以为自变量的二次函数，其定义域应为，亦即求二次函数在的约束条件下的条件最值。而一般二次函数的定义域是，所以，求此类函数最值时，学生不能直接套用如下公式：
若，当；若，当。
八、换元法
例7.函数的最大值是______.
分析：如果在同一个代数式中同时出现同角的正余弦函数的和与正余弦函数的积，常用换元法来解决问题，这种方法可简化计算过程。
解：设＝,则＝, 。 函数可化为，时，函数最大值是。
说明：题目中出现与时，常用变形是“设和求积巧代换”，即设＝ 则＝。要特别注意换元后的取值范围。
九、对有约束条件的三角函数的最值求法
例8.设、皆为锐角，，求函数之最大值。
分析：因为，故且
十、总结
以上笔者主要探讨了八种方法来求解三角函数的最值。由于三角函数最值问题形式的多样性，学生在求解此类问题时，不仅要灵活运用三角变换的方法和技巧，还要充分注意对代数知识和方法的应用，以此提高自己解决此类问题的能力。同时，由以上几种形式教师也可归纳得出求解三角函数最值问题的基本方法：一是运用正弦、余弦函数的有界性来求解；二是利用二次函数闭区间求最大、最小值的方法来求解。此外，教师还可以教学生利用重要的不等式公式和数形结合的方法来解决此类问题。具体为：1.求三角函数最值的方法有配方法、化为一个角的三角函数、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。2.由于三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而教师要提醒学生特别要注意题设中所给出的区间。3.求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，因此，教师要告诉学生需注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。4.教师要告诉学生对于含参数函数的最值，解题时要注意参数的作用和影响。
论文作者:武志成
论文发表刊物:《中学课程辅导.教学研究》2015年9月上供稿
论文发表时间:2015/11/13
标签：函数论文; 最大值论文; 学生论文; 条件论文; 求法论文; 极值论文; 正弦论文; 《中学课程辅导.教学研究》2015年9月上供稿论文;