基于过程教育的“初等功能(一班)”的实例与解释_一次函数论文

基于过程教育的“一次函数（第1课时）”课例及说明，本文主要内容关键词为：课时论文,函数论文,过程论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、背景介绍

      《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）倡导过程教育.但在以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第五章第3节“一次函数（第1课时）”为载体的“多人同课异构式”的教研活动中发现，课堂教学普遍与过程教育存在偏差，特别是概念形成与应用的认知过程短暂及获得概念和解决问题之后的反思过程缺失，导致学生失去了发展能力与个性，以及感悟其蕴含的数学思想方法的机会.网上查阅同类课例发现这些现象具有普遍性.基于过程教育的“一次函数（第1课时）”的教学应该怎样操作？笔者通过重复式观课与反思基础上的重建与实践的结果，得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

      二、教学实录

      环节1：经历并感悟一次函数产生的过程——明确研究的问题.

      师：我们知道，许多实际问题可以转化为函数问题，用函数解决实际问题的过程与用方程解决实际问题的过程类似.现在我们一起来解决下列问题.

      问题1：某种储蓄的月利率是0.16%，某人存入1000元本金，若设所存月数为t（月），本息和为m（元）.问：当t=10时，m=？

      师：在这个问题中，哪些量是常量？哪些量是变量？

      生1：月利率0.16%和存入本金数1000元是常量，所存月数t（月）及本息和m（元）是变量.

      师：不错.m关于t的函数解析式是什么？

      生2：m=1.6t+1000.

      师：好的.当t=10时，m=？其实际意义是什么？

      生3：当t=10时，m=1016.其实际意义是1000元钱存10个月可得本息和1016元.

      师：好的.获得这个函数解析式经历了哪几个步骤？

      生4：审题→分析→列式.

      师：不错.函数m=1.6t+1000有何特点？

      生5：它有两个变量t，m，且自变量t的次数是1次.

      生6：右边代数式1.6t+1000是整式.

      师：好的.其实，这种特殊的函数有着丰富的情景.例如，函数“y=40x，y=6x，y=16-2x，Q=-312t+936”等都是从生活问题中抽象出来的.

      师：既然这类函数具有丰富的现实情景，就有研究这类函数的必要.这类函数有何特征？有何性质？本节就来研究这些问题.（揭示课题）

      环节2：参与定义一次函数的活动——形成一次函数的概念.

      师：函数“m=1.6t+1000，y=40x，y=6x，y=16-2x，Q=-312t+936”有何共同特征？

      生7：它们都有两个变量.

      师：不错.你是从变量的个数角度来归纳.

      生8：它们表示变量的字母的最高次数都是1次.

      师：好的.你是从表示变量的字母的次数角度来归纳.

      生9：它们右边的代数式都是整式.

      师：不错！你是从代数式的类型角度来归纳.

      生10：它们都不是方程.

      师：有道理.你是用方程概念来归纳.

      生11：它们都可以表示为y=kx+b（k、b都是常数，且k≠0）的形式.

      师：非常好！你有较强的符号表示意识.

      师：尽管这类函数有多种特征，但其本质特征是它们都可以表示为y=kx+b（k、b都是常数，且k≠0）的形式.

      师：由于这类函数以后会经常用到，所以我们要给它一个名称：形如y=kx+b（k、b都是常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k为常数，k≠0），叫做正比例函数，常数k叫做比例系数.

      师：在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？若是一次函数或正比例函数，则其系数k和常数项b的值各是多少？

      

      师：好的.获得一次函数的概念经历了哪几个步骤？

      生13：首先，从实际问题中抽象出若干具体函数；其次，观察并归纳具体函数的共同特征；最后，用文字和符号定义与表示一次函数.

      师：很好.在这个过程中体现了抽象思想、归纳思想、符号表示思想等.

      师：一次函数与二元一次方程有何区别与联系？

      生14：一次函数刻画的是变量之间的变化关系；二元一次方程刻画的是常量之间的相等关系.一次函数的一般形式是y=kx+b，而二元一次方程的一般形式是ax+by+c=0.

      师：非常好.它们都是描述现实世界数量关系的重要数学模型.

      环节3：参与尝试概念应用的活动——合作解答有代表性的问题.

      师：现在请大家合作解答下列问题.

      问题2：圆珠笔每支0.6元，若设购买支数为x（支），总价为y（元）.问：（1）y关于x的函数解析式是什么？（2）x的取值范围是什么？（3）当x=15时，y的值是多少？其实际意义是什么？

      （约2分钟后）

      师：谁来汇报解答的结果？

      生15：（1）y=0.6x；（2）x≥0，且x是整数；（3）当x=15时，y=9，其实际意义是：购买15支圆珠笔的总价是9元.

      师：好的.确定实际问题自变量取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.下面我们再一起来解答下列问题.

      问题3：按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定，个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额.全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%.

      （1）设全月应纳税所得额为x元，且1500＜x≤4500，应纳个人所得税为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围.

      （2）小聪妈妈的工资为每月5500元，问她每月应缴个人所得税多少元？

      师：这个问题中哪些量是常量？哪些量是变量？

      生16：国家规定的免税额和纳税标准是常量，应纳税额和所得税额是变量.

      师：在（1）的条件下，变量之间有何关系？

      生17：应纳个人所得税=1500×3%+（应纳税所得额-1500）×10%.

      师：好的.y关于x的函数表达式是什么？自变量的取值范围是什么？

      生18：y=0.1x-105（1500＜x≤4500）.

      师：好的.小聪妈妈的工资为每月5500元，小聪妈妈全月应纳税所得额为多少？

      生19：小聪妈妈全月应纳税所得额为2000元.

      师：这样小聪妈妈每月应缴个人所得税多少元？

      生19：因为当x=2000时，y=0.1×2000-105=95（元），并且这个函数值有意义，所以小聪妈妈每月应缴个人所得税95元.

      师：解决这个问题的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？

      生20：先把实际问题转化为函数问题，再根据自变量的值求相应的函数值，然后用求出的函数值回答实际问题的答案.

      师：不错.解决这个问题的策略：运用转化思想将实际问题转化为函数问题.解决这个问题的方法：①引进两个表示变量的字母；②建立函数解析式；③根据自变量的值求出对应的函数值；④用求出的函数值回答实际问题的答案.解决这个问题的技巧：①分析——析出涉及的常量、变量及变量关系；②列式——根据变量关系列出函数解析式；③求值——根据自变量的值求对应的函数值；④检验——检验求出的函数值是否符合实际意义；⑤回答——用有意义的函数值回答实际问题的答案.

      师：王老师月工资3200元，每月应缴个人所得税多少元？

      生21：王老师可以免税.

      师：好的.张老师月工资4500元，每月应缴个人所得税多少元？

      生22：因为（4500-3500）×3%=30，所以张老师每月应缴个人所得税30元.

      师：好的.邬老师每月缴个人所得税195元，邬老师月工资多少元？

      生23：每月缴个人所得税195元，说明全月应纳税所得额是大于1500元且小于4500元.因为0.1x-105=195，所以x=3000，所以邬老师的月工资是3000+3500=6500元.

      生24：设邬老师的月工资是x元，则1500×3%+（x-3500-1500）×10%=195，解得x=6500，即邬老师的月工资是6500元.

      师：好的.生23用的是函数思想方法，生24用的是方程思想方法.

      环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结.

      首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

      （1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？

      （2）何谓一次函数？定义一次函数经历了哪几个步骤？

      （3）一次函数与函数有何关系？一次函数解析式与二元一次方程有何区别？

      （4）用一次函数解决实际问题的基本过程是什么？

      （5）你在学习过程中碰到了哪些困难？有何感触？

      其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师边倾听、边评价.

      最后，教师让学生欣赏一次函数的自述：

      Hi！我是一次函数.我可以看成是从现实生活中抽象出来的，也可以看成是从函数概念中演绎出来的，也可以看成是从变量角度看一次整式的结果.我的本质特征是解析式具有y=kx+b（k、b都是常数，且k≠0）的形式.我的解析式虽与二元一次方程基本相同，但内涵有较大的区别：我刻画的是变量之间的变化关系，二元一次方程刻画的是常量之间的相等关系.用我解决实际问题的基本过程是：分析→列式→求解→检验→回答→反思.不久你能认识我的图形特征与性质，并且用我的图形特征与性质能解决许多现实生活中的变化关系问题.告诉你：认识我要抓住变量与变量之间的变化关系，要遵循特殊到一般、具体到抽象的认知规律，要用运动的观点和数形结合的思想；认识我也要善于运用独立思考和独立思考基础上的交流合作的学习方式，并要经常反思用我解决问题的策略、方法和技巧.这对你理解和掌握我的知识与技能、体会和运用我的思想与方法、积淀数学活动的经验，以及发展你的能力和个性有积极的作用.

      三、教学说明

      过程教育旨在满足学生全面、和谐发展的需要，关注数学结果形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后反思过程的育人活动.“一次函数（第1课时）”是系统研究函数的继续——从函数到具体的一次函数.一次函数是最简单的具体函数，它在现实生活中有丰富的情景；研究一次函数的思维活动过程对研究其他具体函数有指导作用.从现实情境中抽象出一次函数的过程和蕴含的生活常识、抽象思想、列函数关系式的方法；定义一次函数的过程和蕴含的归纳思想；用一次函数解答有代表性问题的过程和蕴含的解题策略、方法和技巧等.这些对发展学生智力、能力和个性有积极的影响.《课标（2011年版）》（内容标准）对一次函数概念的教学要求是理解，教材对一次函数概念的要求处于“归纳”层次.一次函数可以看成是从生活实例中抽象出来的，也可以看成是从函数概念中演绎出来的，又可以是从变量角度看一次整式的结果.但采用从生活实例中产生一次函数的方式，能体现抽象思想，积淀列函数关系式的经验，丰富学生的生活常识.个人所得税问题的数学本质是分段函数，它是本节课教学的难点.选择怎样的载体和运用怎样的方法来完成其教学任务？目前在一次函数概念的教学中，普遍存在形成概念的过程短暂和获得概念之后反思过程缺失的问题，导致学生没有达到理解的程度；在“个人所得税”问题的教学中普遍没有引导学生经历完整的思维过程，特别是问题解决后反思过程缺失具有普遍性，导致不能全面发挥例题的育人功能.本节课根据《课标（2011年版）》（内容标准）对一次函数概念的教学要求和教材的教学意图，以有代表性的实际问题为载体（对教材提供的载体作了优化与充实），运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法（特别留给了学生自主思考与实践的机会），引导学生经历了完整的认知过程.在一次函数概念的教学中，既有“列式→观察→归纳→抽象→定义→巩固”的认知过程，以获得一次函数概念，也有获得概念之后的反思，以感悟获得一次函数概念的思维过程和蕴含的数学思想，以及一次函数解析式与二元一次方程的关系等.在“个人所得税”问题的教学中，既有“分析、列式、求解、检验、作答”的过程，以解决给定的“个人所得税”问题，也有解决问题之后反思的过程，以深化对问题和解法的认识，感悟用一次函数解决实际问题的思想方法等.这体现了过程教育和以学为中心的思想，也符合概念教学和例题教学的基本规范，能使学生在“过程”中理解概念、感悟其蕴含的数学思想和积累其蕴含的数学活动经验，并对发展学生的能力和个性有积极的影响.教学实践表明，数学教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一，需要教师增强揭示知识所蕴含的数学家发现数学规律的思维活动过程的自觉性，而引导学生经历实质性思维过程需要教师充分贯彻启发式教学思想——以符合“最近发展区”理论的题材为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法，并引导学生经历完整的认知过程.因此，基于过程教育的数学教学的基本要求是“教学内容全面，教学方法和谐，认知过程完整”，特别要选择有价值的题材作为教学载体，用“有浓厚导学味的问题驱动，有定向指导性的语言暗示，富有启发性的讲授，恰当的归纳和严谨的示范等”作为教学的指导方法.

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