深圳市宝安区教育局第3学区教育管理办公室 518103
【摘 要】《里程表》作为北师大版小学数学新增设的学习内容，富有深刻的数学意义和实际应用价值。教师应触发学生深度思考，经历“数学——生活——数学”，“线——点——线”和“比较——建模——拓展”的数学活动，不断丰富学生的感知，引发深度思维，寻求思维联结，明确解题关键，合理建构解决这类问题的数学模型，让学生学会有理有据分析解决问题，走出学习困惑，提高思维能力，发展建模思想。
【关键词】里程表；深度思考；数学模型
第四版北师大三年级数学上册第三单元增设了贴近生活生产实际的《里程表》（一）（二），这一内容是为了帮助学生建构解决起点为0和起点非0的有关里程表的实际问题的数学模型，培养学生综合运用加减法的知识和画图方法分析解决有关火车或汽车里程表、用电量、用水量等实际问题的能力。
这一内容在三年级教学中既是重点，更是难点，往往实际教学效果不理想。
一、后测情况
在学生学习完《里程表》的内容，我们随机抽取一个三年级班级，用下面题目进行检测。
张叔叔是一位出租司机。星期一早上出车时，里程表的读数是380千米。张叔叔星期一至星期日每天回家时的里程表读数记录如下。（单位：千米）
张叔叔星期六和星期天两天一共行驶了多少千米？
全班54人参与检测，学生答题情况如下：
许多学生看到问题中有“一共”两字就定势思维，用加法直接相加的有33人，他们不清楚里程表的解题思路和数量关系，错误率约67.1%。
3.算对一小步的有9人，约占16.7%。
4.空白没有做的有6人，约占11.1%。
综合来看，这道题的错误率高达88.9%，可见绝大部分学生理解有关里程表的知识方法有较大困难。
二、究其原因
1.学生对有关里程表的学习素材整体陌生，理解上有一定障碍。在生活中，学生有乘车的经验，但是对于路线图、里程表等图表信息，他们是首次接触，要理解表格中每个数据的实际意义，把表格数据与路线图、直观图或线段图相匹配有一定困难。
2.学生对里程表的知识结构特征模糊，没有构建起统一的数学模型。实际教学中，起点为0与起点非0的里程表类型是由老师直接告诉学生的，许多学生并非理解，不能真正区分这两类里程表的结构特征。同时，许多学生对这两类里程表的数量关系混淆，而且没有在对比分析中找到它们的共同点，形成统一的数学模型，浓缩数学思维。
三、解决对策
1.利用“数学——生活——数学”，触发学生丰富里程表的初步感知
数学来源于生活，应用于生活。学生在学习《里程表》前，教师布置实践作业，让学生到附近的汽车站或火车站、高铁站观察路线图、里程表，采访工作人员，了解图表信息；让家长带领孩子查看汽车上、电表上、水表上的里程数、用电数、用水数。同时，教师制作微视频，引导学生观看相关的路线图、里程表、里程数等。通过多途径、多方式，增强学生对里程表的感性认识，让里程表中蕴含的数量及其关系慢慢外显出来。
2.依据“线——点——线”，触发学生经历数学深度思考
《里程表》（一）是有关起点为0的里程表的实际问题，要解决相邻或相隔两站之间的千米数。教材中出现了“北京——西安”沿线各大站的火车路线图和里程表，学生运用课前调查实践的资源，自主尝试画出路线示意图和直观图，标上两站之间的数据。此时，教师有必要触发学生深入思考一个关键问题“以北京为始发站，每一个站点上对应多少千米？”毕竟要求两站之间有多少千米数，实际是求两站点之间的路线长度，不管路线是曲线还是线段，都是由这两站上对应点的数据来决定的。为此，学生可以在淘气的线段图上进一步完善，标出每一站点的数据。这样我们可以把教材里的图：
由此不用老师告诉，学生显而易见这就是起点为0的里程表的实际问题，求两站之间的路程就是用“终点站的数据－始发站的数据”。（除了北京站作为第一个0起点的始发站外，后面的站点也可以相对其它站来选作始发站，这时的始发站可以转化为第二个起点不是0的问题来思考。）比如，要求相邻两站保定站与石家庄站的距离，结合图示就用终点站石家庄277千米减去始发站保定146千米得到131千米；要求相隔两站石家庄站与西安站的距离，就用终点站西安1200千米减去始发站石家庄277千米得到923千米，因为1200千米包括北京站到石家庄站277千米，还包括石家庄站到西安站的路程，可以根据减法的意义求得。
《里程表》（二）是有关起点非0的里程表的实际问题，要解决相邻两天之间行驶的千米数。学生根据表格数据，同样应深入思考一个问题“淘气的叔叔每天出发前汽车仪表上里程数据是多少，收车时仪表上里程数据又是多少，这两个数据可以求出什么数？”结合示意图或线段图深入理解每一个数据的实际意义既包括当天一天行驶的里程数，也包括当天出发前已行驶的里程数，这些数据同样可以用线段上的点对应表示出来。同样可以把教材里的图：
学生通过图示，直观看到35千米是淘气的叔叔在星期一早上开车前已行驶的里程，即35千米这一起点数可以作为星期日收车时行驶的里程数，确定这是有关起点非0的里程表的实际问题。在图上，学生清晰地找到星期日至星期五每一天收车时对应的里程数，从而顺利地求出每一天行驶的里程数就是相邻两天之间的里程数的差，如星期一一天行驶的里程数用星期一收车时的里程160千米减去出发前的里程35千米得到125千米，也可以求出相隔几天行驶的里程数，如星期三到星期五一共行驶了多少千米，可以用星期五收车时的里程955千米减去星期三出发前即星期二收车时的里程350千米得到605千米。这时，学生解决问题的关键就在于能准确找到汽车每一天出发前的里程数是对应前一天收车时的里程数，理解同一个点上的里程数是前后一天的交接数据。
这样，有关里程表问题，就是把线上的问题转化到点上的数据，通过两点上的数据得到两点之间的距离，化难为易，问题迎刃而解。
3.走向“比较——建模——拓展”，触发学生建构应用数学模型
比较中看到《里程表》（一）作为解决起点为0的里程表的实际问题，是把每一个里程数据对应落在各个站点上，用“终点站里程数－始发站里程数=两站之间的里程数”；《里程表》（二）是解决起点非0的里程表的实际问题，是把每一个里程数据对应落在各个收车时间节点上，用“当天的里程数－前一天的里程数=行驶的里程数”。虽然它们第一个起点的数据不同是0或非0，但是以数轴方向为例，每两个数据之间总有一个位于左边，是开始数据，有一个位于右边，是截止数据，要求这两个数据之间的里程数，可以统一为一个数量关系“截止数据－开始数据=经过数据”，合理建构出里程表的数学模型，提升学生综合思维能力，感受数学思维的简洁美。如学生运用数学模型，找准开始数据的点，明确截止数据的点，发散思维，合理分析解决上述后测题目，体现算法多样化。同时优化思维，把星期日收车时的里程数1500千米作为截止数据，星期六出发前的数据也就是星期五收车时的里程数1105千米作为开始数据，呈现简洁解法：1500-1105=395千米，轻松求出星期六和星期天一共行驶的里程数。
经过教师深入挖掘数学本质，引发学生深度思考，合理建模，提高思维能力，学生自觉借助画图方法，把相关数据放在相应的点上，应用统一的数学模型合理分析里程表、用电量、用水量等实际情形，以及以后要学的求经过时间等，灵活解决生活实际问题，切实体会到数学在我们身边的应用价值。
参考资料：
[1]刘坚，孔企平，张丹. 义务教育教科书小学数学 北京︰北京师范大学出版社.2014.6
[2]陈晓梅，何凤波.义务教育教科书数学教师教学用书（三年级上册）北京︰北京师范大学出版社.2014.6
论文作者:王会军 文建平
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年第08期
论文发表时间:2019/10/15
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