立体几何中的七种解题技巧，本文主要内容关键词为：立体几何论文,七种论文,技巧论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在立体几何的复习中，若能在正确掌握基础知识和基本技能的同时，讲究一些解题技巧，常可获事半功倍之效.本文就此谈几点，供读者参考.
一、平移
我们知道两条平行直线和一条直线或一个平面成等角，这就为平移提供了用武之地.平移可以使分散的条件集中，可以使立几问题迅速向平几问题转化.
例1 如图1，已知正方体ABCD-
二、射影
线面角、二面角都是立体几何中的重要概念.抓住“线”在“面”内的射影，是求线面角的关键.抓住“面”在“面”内的射影，是解决“无棱”二面角的常用方法.
例2 如图2，已知等腰三角形ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，ΔABC所在平面外一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PB与平面ABC所成的角.
在RtΔPOB中，OB=2，PB=4，所以∠PBO=60°，即直线PB与平面ABC所成的角为60°.
例3 如图3，P、Q分别是正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]的棱A[，1]A，AB的中点，试求平面C[，1]PQ与底面ABCD所成二面角的大小.
三、等积
体积，有时可以作为一种中介量，用来沟通有关元素之间的关系.从不同角度“算两次”，借助于体积的相等，常可巧妙地完成计算或证明.
例5 若四面体ABCD中，AB=a，CD=b，AB和CD的距离为d，问当棱AB与CD所成角θ为何值时，该四面体体积V有最大值？最大值是多少？
解析：如图5，AB与CD是异面直线，它造成了条件的离散状态，给问题的解决带来了困难.
我们注意到异面直线所成角的定义，过B作BE∥CD，并使BE=CD，那么∠ABE=θ，这样在ΔABE中就聚集了大部分的已知条件，D到平面ABE的距离就是AB和CD的距离d.
从而，当θ=90°，即当对棱AB和CD垂直时，四面体体积V有最大值1/6abd.
四、分割
给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法直接运用时，适当分割几何体，化整为零，问题就简单多了.
例6 如图6，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（
）.
（A）9/2
（B）5
（c）6
（D）15/2
解析：这是一个陌生的多面体，它异于熟悉的柱、锥、台，没有现成的公式可供计算.若过E在平面AF中作EG∥BF交AB于G，过E在平面EC中作EH∥FC交CD于H，连接GH，则截面EGH把多面体ABCDEF分割成熟悉的四棱锥E-AGHD与三棱柱BCF-GHE，容易求得它们的体积和为15/2，故选（D）.
五、补形
若题设条件彼此分散，我们可以通过补形，化复杂的几何体为简单的几何体（柱、锥、台），化生为熟，给解题带来便利.
例7 如图7，已知AA[，1]与正方形ABCD所在平面垂直，且AA[，1]=BC，求平面A[，1]BA与A[，1]CD所成二面角（锐角）的大小.
分析：将四棱锥A[，1]-ABCD补形成正方体A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]-ABCD，则所求二面角的棱为A[，1]B[，1].通过补形，整体上宏观地把握局部问题，居高临下，巧妙地突破了问题的难点.
易证∠DA[，1]A即为所求二面角的平面角.
故所求二面角为45°.
六、展
“展”的技巧是一种化折为直、化曲为直的转化方法，一般用于求多面体、旋转体的侧面上两点间的最短距离.
例8 设正三棱锥S-ABC的底面边长为b，侧棱长为2b，E、H分别是SB、SC上的动点，求线段和S=AE+EH+HA的最小值.
解：从展开图可以看出，当A、E、H、A＇共线时，S取得最小值.
七、比
棱锥（或圆锥）被平行于底面的平面所截，所得的小棱锥（或小圆锥）与原棱锥（或原圆锥）相对应的面积比等于“相似比”的平方，体积比等于“相似比”的立方.遇到此类问题，利用这种比例关系，可快速、准确获解.
例9 某工厂食堂用圆台形缸盛满食油，已知此缸上、下底面半径分别为40cm和20cm，13天后，油的高度降为原来的三分之二，若每天用油量相等，剩余的油还可以用多少天？
解：如图9，将圆台补成圆锥，记从下至上三部分的体积分别为V[，1]、V[，2]、V[，3]，设V[，1]=3[3]a=27a，由圆锥平行于底面的性质可得，
剩余的油还可以用x天，由题设得91a∶13=98a∶x，
解得 x=14.
故剩余的油还可以用14天.