数学教学：操作与思维有机融合，本文主要内容关键词为：数学教学论文,思维论文,操作论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教师在课堂上单纯地讲授一些科学常识，不是真正的科学教育；只有让学生自己经过实际调查和动手操作，才能促使学生掌握方法的要领，建构知识的意义.动手操作活动注重学生学习的主体性和探究过程的体验性，符合学生好奇、好动的心理特点，可以调动学生学习的积极性，并促使学生在理解知识和方法的同时，学会思考和交流，获得情感和态度的提升. 随着新课改的推进和深化，在数学教学中，越来越多的教师开始重视学生的动手操作，这是可喜的.但是，也有一些教师简单、机械地把动手操作理解为“动一动、摆一摆、拼一拼、做一做”，停留在外在身体行为的层面，而没有深入到内在头脑思维的层面，陷入了形式化的误区. 一、操作与思维有机融合的理论思考 操作活动仅仅是思维活动的中介与平台，学生进行操作的重要目的之一是能够脱离实物进行思考和想象.动手操作应是能够带给学生理智挑战、认知冲突和精神享受的活动.在这样的活动中，学生需要坚持、深入地思考，需要清楚、明确地说明，需要与教师、同学交流与合作，需要将现实问题“数学化”. 为了防范和克服“动手操作形式化”的现象，多数操作活动应该遵循“
”的基本过程.因此，教师应该结合具体教学内容，精心设计动手操作活动，把活动的目标、内容与形式有机地统一起来.为学生提供一定的问题情境，让学生通过自己（独立或合作）的探索，在动手操作中作出猜想、获得发现，发展数学思维，建构数学认识，积累数学活动经验，进而掌握数学知识和技能，领悟数学本质和思想，体验数学的价值和乐趣. 笔者认为，设计有效的动手操作活动应重点关注以下几个问题：（1）是否需要组织学生动手操作（必要性）；（2）是否有明确的活动目标（目的性）；（3）是否能真正地操作起来（可操作性）；（4）是否能真正地引发思维（有效性）.从目标的角度看，在具体的动手操作活动中要特别关注以下两点：（1）思维方法的运用——经常向学生提问“你是怎么想的”“你的理由是什么”“你还有其他方法吗”等等，引起学生的积极思考；（2）动手操作过程的内化——设置相关的问题，引起学生进行抽象或感悟，并由此进一步建构相应的数学知识. 二、操作与思考有机融合的案例分析 【案例1】“圆锥的体积”教学片段 A教师先提出问题“把圆锥装满沙子往圆柱里装，直到装满为止，你们发现了什么”，并演示“等底等高情况下圆锥体的体积是圆柱体体积的三分之一”.再提出问题“是不是所有这样的圆柱和圆锥都有这种关系呢”，并将学生分成10组，发给每组空圆柱、圆锥各一个（等底等高），沙子适量，让他们操作验证.学生边操作，边思考，边讨论，很快得出了结论：用圆锥装满沙子往圆柱里倒，三次正好倒满，说明圆锥体体积是圆柱体体积的三分之一.由此，教师引导学生总结得出圆锥体的体积公式.最后，教师通过练习加深学生对这一结论的认识.虽然教学的过程非常顺利，练习的效果也很好，但是，临近结束，一位学生举手说：“老师，你说‘圆锥体的体积是圆柱体体积的三分之一’时，为什么总强调‘等底等高’？”其他学生也表示有同感.教师感到奇怪，一时不知如何回答. B教师提出要求“下面分组做实验，在空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，看看几次正好装满”，并将学生分成10组，让每组自己选取空圆锥、圆柱各一个（不一定等底等高）、沙子适量，进行操作.学生完成后—— 师 从各组倒的次数看，两者体积之间有怎样的关系？ 生 我们将空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，三次正好装满.这说明圆锥体积是圆柱体积的三分之一. 生 （迟疑地）我们将空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，四次正好装满.这说明圆锥体积是圆柱体积的四分之一. 生 是三分之一，不是四分之一. 生 我们在空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，不到三次就将圆柱装满了. 师 怎么会是这样呢？我来做.（随手取出一个空圆锥、一个空圆柱，进行操作）你们看，将空圆锥里装满沙子，倒入空圆柱里.一次，再来一次，两次正好装满.圆锥的体积是圆柱体积的二分之一呀. （学生议论纷纷.） 生 老师，你取的圆锥太大了. 师 大了？你的意思是，圆锥不能随意选取，否则—— 生 会出现各种可能的结果. 师 那么，你选取的标准是—— 生 （思考了一会儿）应该和圆柱等底等高. （教师换用一个圆锥，继续实验，三次正好倒满.其他学生也换用新的教具，再次尝试.） 师 看来，要想三次装满空圆柱，圆锥必须和它有什么关系？ 生 等底等高. 师 那么，结论应该是—— 生 圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体体积的三分之一. 以上两位教师设计的动手操作活动的思维深度不同，教学效果也就不同.A教师先自己演示得出圆锥体的体积是等底等高的圆柱体体积的三分之一，再让学生验证巩固.尽管学生参与了动手操作活动，但是并不意味着学生真正“经历”了知识形成的过程，实际上他们仅停留在简单的模仿操作上，思维受到了限制.所以，学生虽然确信圆锥体体积是与它等底等高的圆柱体体积的三分之一，但是还存在对不等底等高情况的疑惑.B教师的教学，在看似混乱无序的动手操作中，让学生经历了试误、反思的过程，实现操作与思维的有机融合，从而既圆满地推导出了圆锥的体积公式，又促进了他们的实践能力和批判意识的发展. 【案例2】“镜子改变了什么”教学片段 A教师的教学—— （教师把全体学生带到学校大厅里的一面大镜子前.） 师 请第1小组站到镜子前面，其他小组站在镜子两旁，让我们一起来发现镜子中的学问. 师 看看我们的头，镜子里的像的位置在上方还是下方？我们的脚呢？ 生 头还在上方，脚还在下方. 师 请把我们的右手举起来，看看镜子里的像，是左手还是右手？ 生 变左手了. 师 那么我们伸出左手试试. 生 变右手了. 师 请同学们好好地思考一下：从刚才的活动中，可以发现镜子到底改变了什么？ 生 镜子不改变物体的上下关系，但改变了物体的左右关系. 师 非常正确.下面来看这道题目. 师 请同学们拿出准备好的卡片.首先请数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0上场照一照.请各位同学做好记录，把镜子里的像填写在表格里. （学生操作.） 师 你们发现了什么？ 生 我们发现，1、8、0的像与它本身相同；2的像是5；5的像是2. 师 很好！下面我们来请字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T、U、V、W、X、Y、Z上场照一照.也请各位同学做好记录，把镜子里的像填写在表格里. （学生操作.） 师 你们发现了什么？可以议一议. （学生踊跃发言，发现了所有字母的像与字母有无变化的规律.） B教师的教学—— 师 前面我们学习了轴对称图形.（出示1、2、3、4、5、6、7、8、9、0、A、B、E、H、I、P、X、Z，右边各有一条直线）下面请同学们画出这些数字和字母关于这条直线的轴对称图形. （学生兴趣盎然，准确、迅速地完成了这个练习.） 师 我们发现了什么？ 生 1、8、0、A、H、I、X的轴对称图形还是1、8、0、A、H、I、X；2的轴对称图形是5，5的轴对称图形是2，p的轴对称图形是q.（教师带领学生照镜子，过程类似教师A的教学.） 师 同学们发现得很好，但是我们要透过现象看本质，你们知道为什么会有这样的规律吗？（走到课始出示的“轴对称”练习旁，有意地指几下）请同学们认真地思考. （思考了一段时间后，有学生举手.） 师 请各小组交流一下你们的想法. （学生各抒己见，课堂气氛活跃.） 生 我们发现，镜子里的像与人也是关于镜子成轴对称的，通过轴对称，上面的东西仍然在上面，下面的东西仍然在下面；因为像是与人正面相对的，所以，左边的东西变到了右边，右边的东西变到了左边. 师 （兴奋）太棒了！今天我们学习时，应用了镜子这个“道具”，但学完这一课后，我们就可以丢掉这面镜子了.学习本身就是为了丢掉许多携带不方便的“道具”. （教师让学生给一部分数字和字母照镜子，过程类似教师A的教学.然后，引导学生发现现象背后的规律和本质.最后，让学生利用画轴对称图形的方法找到另外几个字母在镜子里的像，并进行验证.） 本节课的数学对象是生动有趣的，学生活动也是活跃好玩的.如果仅仅从这方面看，A教师的教学是成功的：不仅较好地完成了教学任务，而且学生也学得积极投入，通过操作活动发现了一些普遍性的规律.但是遗憾的是，A教师没有引导学生深入探究规律背后的东西，使得学生不能透过现象看到本质，发现内在的数学知识——没变的数字有什么特点，变了的数字为什么会变等等.因而从这方面看，这节课就变得平淡无奇、寡然无味：感受到了课堂上的互动气氛，却没有看到教师巧妙的引导；看到了学生热烈的质疑、争辩，却没有听到教师打动心灵、揭示本质的讲授；教师自觉追求互动，为学生的精彩回答而骄傲，却忘记了自己最应该呈现给学生的东西——数学的本质.B教师的教学则让学生能充分地经历操作、体验，并从中思考、交流，最后悟出一个数学道理，即用轴对称的知识去解释、概括——这也是教材的用意.事实上，经历了如此多的数学现象的探究之后，必然有一个数学的本质等待学生去归纳、提炼.这样的教学才能使数学课堂真正地“活”起来，而学生的思维也能得到有效的训练，达到“活中务实”的效果. 【案例3】“平行四边形的判断”教学片段 这节课的主要内容是平行四边形的判定定理及应用：通过探究，发现、推证“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”后，利用其推证三角形的中位线定理.教学中，很多教师都会设计这样一个动手操作活动：能否只剪一刀将一张三角形的纸片一分为二，然后再将两张纸片拼接成一个平行四边形？教学过程如下：学生小组拿出或剪出一个三角形纸片（通常是正三角形或锐角三角形的形状）后，开始研究如何剪拼（通常会先用铅笔、直尺在纸片上画线，然后沿线裁剪，接着进行拼接）；教师巡视指导，然后选取一名学生代表演示剪拼过程，并描述如何剪拼（沿三角形的一条中位线剪开，绕中位线的一端点将剪下的三角形旋转180°后，便拼接成一个平行四边形，如图1所示）.教师进行简单展示后，便转为推证拼接后的图形为什么是平行四边形的教学环节.
本来，这一动手操作活动应该成为本课教学的主要亮点之一.但是，在具体过程中，过于关注学生外在的操作，而忽视了对学生内在思维挖掘和揭示，结果给人的感觉是外热内冷，整个操作探究活动好像是在匆匆赶路.问题在于，教师把目光集中在结论的获得上，而没能（或许是不敢）充分暴露学生的思维过程（也许是担心学生不能回答而无法驾驭课堂），即在学生回答“沿三角形的中位线剪开，绕一中点将剪下的三角形旋转180°后，便拼接成一个平行四边形”后，既没有让学生谈一谈是如何想到这个操作方法的，也没有通过追问学生“为什么选择沿三角形中位线剪开”“沿三角形中位线剪开后为什么可以拼成一个平行四边形”“任意的三角形都可以吗”等，来充分暴露学生的思维过程. 笔者认为，在这一操作活动中起码应该揭示以下思维过程：这里的“剪拼”是两个动作，一是“剪”，二是“拼”；“剪”是为了“拼”，为了“拼”成平行四边形；首先必须有两条等长的线段，所以就必须过三角形一条边的中点“剪”；同时还要有一对平行的边，所以就必须过三角形两条边的中点（即中位线）“剪”.只有通过这样的剖析，学生才有可能对实验操作背后的数学本质获得更加深刻的认识.而且，在学生操作完成后还可以赋予这个操作更加理性的思考：这样操作得到的图形一定是平行四边形吗？从而引导学生对所探索的结论给予证明.这样不但可以为后面的证明提供思路，更重要的是可以培养学生科学探究的精神. 其实，上面的问题还可以从反面来思考：能否只剪一刀，将一张平行四边形纸片一分为二，再将所分的两张纸片拼接成一个三角形？这样思考更合情理.其原因有二：（1）将平行四边形纸片剪拼成一个三角形与这节课的课题比较吻合.因为三角形中位线定理是从平行四边形判定定理的延伸和推广这一角度来研究的.（2）将平行四边形纸片剪拼成一个三角形，在操作时更有据可循.因为学生首先比较容易想到要去掉一个角且不再出现平行的边，接着自然不难想到要剪下一个角且拼出平角和重边，这样自然可以想到被剪下的那个角与剩下部分的一个角互补且被剪下的那个角的邻边与剩下部分的相应边重合；这样便可通过一系列问题串来将剪拼的过程自然展开，让绝大部分学生都能充分参与探究的每个环节.
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