双曲线的渐近线探究性教学设计与反思，本文主要内容关键词为：渐近线论文,双曲线论文,教学设计论文,探究性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学新课程以转变学生的学习方式为着眼点，以学生的发展为本，以发展学生创新能力为本，要求在教学中渗透“探究性学习”.如何让他们主动参与、展开探究呢？这是新课程实施过程中急需解决的问题.《双曲线的简单几何性质》这部分内容中，双曲线的渐近线是一个难点.在建构主义理论指导下，笔者精心设计，以自主学习为前提，以合作交流为形式，以探究建构为目的，通过教师与学生、学生和学生的互动，攻克了教学难点，实现了学生对双曲线渐近线性质认识的建构和深化，也触发了笔者对探究式教学模式的一些反思.
一、教学设计
1.创设情境，提出问题
师：同学们已经明白双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为了y=±（b/a）x，那么焦点在y轴上，双曲线（y[2]/a[2]）-（x[2]/b[2]）=1的渐近线方程是什么？
生：渐近线方程为x=±（b/a）y.
师：你是怎么得到的？
生1：焦点在y轴上和焦点在x轴上就是把x，y对调一下，所以渐近线也就是把x和y对调.
师：很好.习惯上把它写成y=±（a/b）x，注意两者的区别.反之，当渐近线的方程为y=±（b/a）x时，双曲线的标准方程一定是（x[2]/a[2]）-（x[2]/b[2]）=1吗？
生：不一定.因为（y[2]/a[2]）-（x[2]/b[2]）=1的渐近线也是y=±（b/a）x
生2：不一定.因为（x[2]/2a[2]）-（y[2]/2b[2]）=1的渐近线方程也是y=±（b/a）x.
2.合作交流，深入探究
生3：双曲线方程是（x[2]/ka[2]）-（y[2]/kb[2]）=1的渐近线方程也是y=±（b/a）x.
生4：不对，因为k的正负没有定啊，所以焦点在什么坐标轴上不知道，渐近线方程也不一定是y=±（b/a）x.
师：哦！那么怎么求这个双曲线的渐近线呢？
生5：当k＞0时，焦点在x轴上，渐近线方程为y=±（b/a）x当k＜0时，焦点在y轴上，双曲线方程写成（y[2]/-kb[2]）-（x[2]/-ka[2]）=1渐近线方程为y=±（b/a）x.
生6：（像发现新大陆似的叫起来）老师，这两条渐近线是一样的.
师：这说明（x[2]/ka[2]）-（y[2]/kb[2]）=1不管k为正为负，具有共同的渐近线，再思考：什么样的双曲线具有共同的渐近线呢？
生7：方程（x[2]/ka[2]）-（y[2]/kb[2]）=1所表示的双曲线都具有相同的渐近线.还有……
师：方程（x[2]/ka[2]）-（y[2]/kb[2]）=-1所表示的双曲线的渐近线是什么呢？试试看.
生：（齐声答道）这个双曲线的渐近线也是y=±（b/a）x.
师：对.方程（x[2]/ka[2]）-（y[2]/kb[2]）=±1所表示的双曲线都具有相同的渐近线.而双曲线（x[2]/a[2]）-（y[2]/b[2]）=1和（x[2]/a[2]）-（y[2]/b[2]）=-1的区别在于它们互换了实轴和虚轴，我们把这样的一对双曲线称为共轭双曲线.共轭双曲线具有共同的渐近线，具有共同渐近线的双曲线有无穷多对共轭双曲线.如此看来后面的“±1”对求双曲线的渐近线没有什么影响.再想想还有什么方法可以求双曲线的渐近线？
生8：把方程（x[2]/ka[2]）-（y[2]/kb[2]）=±1中的“±1改为“0”就可以了.
师：对极了.其实把方程y=±（b/a）x化简可以得到方程（x[2]/a[2]）-（y[2]/b[2]）=0，这就是渐近线方程，这种方法避免了对焦点在什么坐标轴的讨论，非常方便.
3.灵活应用，学会迁移
下面请同学们解决这样一个问题：[课本第114页第2题的（4）].
已知：渐近线的方程是y=±（3/2）x.且经过点M（（9/2），-1），求双曲线的标准方程.
学生9：焦点在哪个坐标轴上没有定，我分两种情况来讨论：
①若焦点在x轴上，设双曲线方程为（x[2]/a[2]）-（y[2]/b[2]）=1（a＞0，b＞0），
由待定系数法得
②若焦点在y轴上，设双曲线方程为（y[2]/a[2]）-（x[2]/b[2]）=1（a＞0，b＞0），
同理得
平方数为负数没有意义.
所以双曲线的标准方程为
（x[2]/18）-（y[2]/8）=1
生10：（轻轻地讲）如果平方数为负数也有意义就好了，代入刚好一样。
师：（乘机问道）那怎么解决这个问题呢？
生11：把方程设（x[2]/m）-（y[2]/n）=1为不就可以解决了吗？
渐近线是（x[2]/m）-（y[2]/n）=0，则y[2]=（n/m）x[2]，由已知得m=18，n=8.
师：（继续引导）把方程设为（x[2]/m）+（y[2]/n）=1行吗？试试看.按同样的方法来求渐近线方程（x[2]/m）+（y[2]/n）=0，则y[2]=-（n/m）x[2]，由已知得m=18，n=-8.
生：（惊奇地叫起来）老师，这样也对啊！
师：是凑巧对的，还是有理论依据呢？
生：m，n的正负未定，同样可以用m，n的正负来确定焦点在哪个坐标轴.
师：对椭圆和双曲线，当焦点在什么轴上没有确定的时候，可以设（x[2]/m）+（y[2]/n）=1，然后由m，n的大小和正负来确定焦点的位置及曲线的类型.
生12：老师，我不是这么解的.我也是分两种情况：
若焦点在x轴上，设双曲线方程为（x[2]/a[2]）-（y[2]/b[2]）=1（a＞0，b＞0）
又因为双曲线的渐近线方程是y=（2/3）x，所以a=3，b=2.
这样的话，所求的双曲线方程为（x[2]/9）-（y[2]/4）=1.
师：哦！那有没有过点M（（9/2），-1）呢？这个条件给你没有用.
生：这样啊，那就代入试试吧（通过验证，学生发现所求是错的）.怎么错了呢？哦，我在a=3，b=2这里错了，这里应该有个倍数关系.
师：对，（b/a）=（2/3）应该设成a=3k，b=2k现在把方程设为（x[2]/9k[2]）-（y[2]/4k[2]）=1.
再把点M（（9/2），-1）的坐标代入上式，由待定系数法得k[2]=2，焦点在y轴上的时候，用同样方法处理，得k[2]=-2（舍去）.
生13：老师，把k[2]=-2代入方程（y[2]/4k[2]）-（x[2]/9k[2]）=1得到的也是（x[2]/18）-（y[2]/8）=1，只是k[2]=-2在实数范围内无意义罢了.
师：（老师乘机引导）把k[2]改成实数λ，这样不就有意义啦.
生14：设双曲线方程为（x[2]/9λ）-（y[2]/4λ）=1，再把点M（（9/2），-1）的坐标代入方程得λ=2，所求的双曲线方程为（x[2]/18）-（y[2]/8）=1.若设双曲线方程为（y[2]/4λ）-（x[2]/9λ）=1，再把点M（（9/2），-1）的坐标代入方程得λ=-2，所求的双曲线方程还是（x[2]/18）-（y[2]）=1.
师：这样设双曲线方程，还需要讨论焦点在什么坐标轴吗？
生：双曲线方程设为（y[2]/4λ）-（x[2]/9λ）=1看似焦点在y轴，结果λ=-2代入之后，焦点还是在x轴了.
师：同学们原来是默认了λ＞0，其实λ是正还是负定了没有啊？
生：没有定，方程（y[2]/4λ）-（x[2]/9λ）=1就表示焦点在坐标轴上，至于在哪个坐标轴上没有定下来.
师：很好！这种方法避免了焦点在哪个坐标轴上的讨论，由λ的正负直接确定了.
生15：老师，这种设法还是有点麻烦，直接设成4x[2]-9y[2]=λ再把点M（（9/2），-1）的坐标代入方程得到λ=72；所求的双曲线方程还是（x[2]/18）-（y[2]/8）=1.
师：解法归纳；（1）容易想到，但分两种情况讨论，解两次二元二次方程组，运算复杂，容易出错；（2）避开讨论，解二元一次方程组；（3）巧妙利用渐近线性质，只需解出入的值，再化简整理即可，解题过程中不涉及方程组，运算简单.只要同学们做有心人，就可以找到简单方法，课后还可以继续寻找别的解法.
二、课后反思
1.转变教学理念，让学生主动学习
现代认知心理学认为，学习过程是学习主体对学习客体主动探索，不断改进已有认识和经验，建构自己认知结构的过程，而不是通过静听、静观、死练，来接受现有知识的过程.我顺着学生的思路直接从（x[2]/ka[2]）-（y[2]/kb[2]）=1开始探究，比我在另一个班级用具体实例总结，探究的起点要高，学生发现了新知识——具有共同渐近线的双曲线系方程和共轭双曲线，这是我在备课中忽视的问题.
2.创设民主、平等、和谐的教育环境
学生的个性、爱好各异，根据人本主义学习理论，教师应以平等、宽容、引导的心态允许学生标新立异、各抒己见，使学生的身心得以自由地发展.即使想法是错误的也应保护和鼓励他们探索的积极性.民主的教育氛围是挖掘学生创新潜能的必要环境，一闪而过的念头甚至错误的观点往往可能成为创新的催化剂.我顺着学生的“平方数为负数也有意义就好了”这句话，引出了新方法.还有，学生敢于说出（b/a）=（2/3），则a=3，b=2这个错误，而我及时抓住了这个错误，不失良机地给予清源正本，也算是个意外收获.
3.把“通法”教活，不使通法变成“笨法”
在技能形成的初级阶段，让学生套用程式，模仿练习，熟悉技能是可行的，但要达到熟练水平，不是每个学生都需要完成同样多的基础训练，熟练也不一定能生巧，关键在于领悟“通法”的实质.在第1.2部分的合作交流，深入探究后，我缺少了对学生探究结果的及时提炼升华.对由渐近线方程来确定双曲线方程，没有形成一个共同的认识，导致后面实际问题解决中，学生对新知识、新方法迁移困难，进行了费时、费力的重复研究，但我惊奇地发现学生又另辟新路，找到新法.如把双曲线方程设为（x[2]/m）-（y[2]/n）=1和（x[2]/m）+（y[2]/n）=1求解.学生对一些方法的不满意，又继续寻找，直到找到满意的方法为止.尽管“好方法”一波三折，千呼万唤始出来，但那是同学们自己探究出来的方法，显得特别珍贵！不仅在实践中领悟了方法的本质，而且这种不怕困难、刻苦钻研、努力追求的思维品质，更值得培养和提倡.
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