动量、能量的综合问题例析，本文主要内容关键词为：动量论文,能量论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
动量、能量的综合问题历来是各类考试的热点问题，但因其情景多变、过程复杂，能力要求极高，很多学生不能深刻理解这类问题的本质特征而陷入“一筹莫展”的境地。下面举例分析这类常见问题，供同学们参考。
一、碰撞问题
一般来说，碰撞过程所经历的时间极短，即使碰撞系统所受的合外力不为零，但由于相互作用的内力远大于外力，因而仍可认为碰撞系统动量守恒（碰撞系统内某一物体被固定，碰撞过程中不能改变其运动状态的情形除外）。
碰撞过程中若只发生系统内物体间机械能的转移，则称为弹性碰撞；若碰撞过程中除了系统内物体间机械能的转移外，还发生了与其他形式能之间的转化，使系统总动能减少，则称为非弹性碰撞。因此对任何一个机械碰撞过程来说，碰后系统动能总小于或等于碰前系统动能（即动能不增原理）。
例1 如图1所示，光滑水平面上有A、B两辆小车，C球用0.5m长的细线悬挂在A车的支架上，已知m[，A]=m[，B]=1kg，m[，C]=0.5kg。开始时B车静止，A车以v[，0]=4m/s的速度驶向B车并与其正碰后粘在一起。若碰撞时间极短且不计空气阻力，g取10m/s[2]，求C球摆起的最大高度。
图1
解析 由于A、B碰撞过程极短，在这极短时间内C球尚未开始摆动，选择A、B两车为一系统，系统在水平方向上非碰撞力的冲量与物体之间相互作用的碰撞力冲量相比，可以忽略，设碰后粘在一起的速度为v[，1]，故有动量守恒，得m[，A]v[，0]=（m[，A]+m[，B]）v[，1]
此后，C球开始上摆，且C球与A、B车之间有能量交换，但若把A、B车和C球组成系统，系统水平方向的冲量为零，即动量守恒，设C球摆至最大高度时，A、B、C三者有共同速度v[，2]，则依据系统动量守恒，有（m[，A]+m[，C]）v[，0]=（m[，A]+m[，B]+m[，C]）v[，2]
从C球开始上摆至最大高度的过程中，A、B车和C球组成系统同时遵循机械能守恒，设C球上摆的最大高度为h，则有
（1/2）（m[，A]+m[，B]）v[2][，1]+（1/2）m[，C]v[2][，0]
（1/2）（m[，A]+m[，B]+m[，C]）v[2][，2]+m[，C]gh
由上述三式并代入数据可求得小球C摆起的最大高度h=0.16m。
评析 A、B两车碰撞粘合在一起的瞬间过程中，常因表面上看不到物体有明显位移而导致两种错误认识：
（1）误将A、B两车和C球作为系统，碰撞粘合后三者共速（动量守恒）。
（2）容易忽略碰撞瞬间内力做功的过程，事实上，因有内力瞬时做功，导致能量的转化（常常表现为动能向内能转化），全过程中的动能便不再守恒。
二、弹簧连接体（即弹簧双振子）问题
对两个物体与弹簧组成的孤立系统在相互作用过程中的动量守恒问题，由于弹簧的形变只引起弹性势能与动能的相互转化，因而系统的总动能将发生变化，但系统的机械能守恒。
在相互作用过程中，弹簧伸长或压缩到最大程度时系统内各物体具有相同速度，此时弹性势能最大、系统动能最小。若系统内每个物体除弹簧的弹力外所受的合力为零（如光滑水平面上的连结体问题），当弹簧为自然长度时，系统内将出现某个物体常具有最大速度。
例2 （2003年江苏高考题）（1）如图2，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各连结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速度u[，0]，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。
图2
（2）如图3，将N个这样的振子放在该轨道上。最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E[，0]。其余各振子间都有一定的距离。现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。
图3
解析 （1）设每个小球质量为m，以u[，1]、u[，2]分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度，由动量守恒和能量守恒定律有
mu[，1]+mu[，2]=mu[，0]（以向右为速度正方向）
（1/2）mu[2][，1]+（1/2）mu[2][，2]=（1/2）mu[2][，0]
解得 u[，1]=u[，0]，u[，2]=0或u[，1]=0，u[，2]=u[，0]
由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解
u[，1]=0，u[，2]=u[，0]
（2）以v[，1]、v[，1]′分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，得
在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解
振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为v[，1]，此后两小球都向左运动；而振子2的运动情况与第（1）问中情形相同，并将此运动形式一直传递到第N个振子。当所有可能的碰撞都发生后，只有振子1和振子N运动，且振子的能量均为E=（1/2）mv[2][，1]。
考察振子1，当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为v[，10]，根据动量守恒定律，得2mv[，10]=mv[，1]
用E[，1]表示最大弹性势能，由机械能守恒，得
（1/2）mv[2][，10]+（1/2）mv[2][，10]+E[，1]=（1/2）mv[，1]
由以上各式解得E[，1]=（1/4）E[，0]
评析 当所有可能的碰撞都发生后，一个振子中的两球速度取得极值的时刻有周期性和同时性。另外当弹簧的形变量为最大时，两球的速度相同。
三、“类碰撞”问题
“类碰撞”过程是指在相互作用过程中的受力特征与碰撞类似，但作用过程的持续时间较长。这类问题常在水平方向上系统不受外力作用，水平方向动量守恒，而竖直方向动量不守恒，但常因接触面光滑而机械能守恒。
例3 如图4所示，在光滑的水平面上放置一质量为m的小车，小车上有一半径为R的（1/4）光滑的弧形轨道，设有一质量为m的小球，以v[，0]的速度，方向水平向左沿圆弧轨道向上滑动，达到某一高度h后，又沿轨道下滑，试求h的大小及小球刚离开轨道时的速度。
图4
解析 小球从进入轨道到h高度时为过程的第一阶段，在这一过程中，小球有一部分动能损失转化为重力势能（系统机械能守恒），系统在水平方向不受外力，所以
mv[，0]=（m+m）v
（1/2）mv[2][，0]=（1/2）（m+m）v[2]+mgh
联立两式解得h=（v[2][，0]/4g）
小球从进入到离开，整个过程类似弹性碰撞模型，又由于小球和车的等质量，由弹性碰撞规律可知，两物体在分离时速度交换，故小球离开轨道时速度为零。
例4 长为L的轻绳，一端用质量为m[，1]的环套在水平光滑的固定横杆AB上，另一端连接一质量为m[，2]的小球，开始时，提取小球并使绳子绷紧转到与横杆平行的位置（如图5），然后同时释放环和小球，当小球自由摆动到最低点时，小球受到绳子的弹力多大？
图5
解析 对系统分析可知：沿x方向（水平方向）的动量守恒和系统（包括地球）的机械能守恒，设v[，1]、v[，2]分别为小球摆到最低点时环、球的速度，以向左为正。
则有m[，1]v[，1]+m[，2]v[，2]=0①
（1/2）m[，1]v[2][，1]+（1/2）m[，2]v[2][，2]=m[，2]gL②
联立①②两式，解得
又由牛顿第二定律，有F[，N]-m[，2]g=m[，2]（v[2][，21]/L）④
联立③④式，解得F[，N]=3m[，2]g+（2m[2][，2]g/m[，1]）
所以当m[，1]
m[，2]时，F[，N]=3m[，2]g
例5 如图6所示，金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑，平行导轨的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一金属杆b。已知杆a的质量为m[，a]，且与b杆的质量比为m[，a]∶m[，b]=3∶4，水平导轨足够长，不计一切摩擦，求：
图6
（1）a和b的最终速度分别是多大？
（2）整个过程中回路释放的电能是多少？
（3）若已知a、b杆的电阻之比R[，a]∶R[，b]=3∶4，其余电阻不计，整个过程中杆a、b上产生的热量分别是多少？
解析 （1）金属杆a沿弧形轨道下滑h的过程中机械能守恒，有
m[，a]gh=（1/2）m[，a]v[2][，a]①
金属杆a进入磁场后，回路中产生感应电流，杆a、b均受安培力作用，a做减速运动，b做加速运动，经一段时间，杆a、b速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为零，二者匀速运动，其速度即为a、b共同的最终速度（设为v）。在此过程中杆a、b系统所受合外力为零，因此系统动量守恒，有
m[，a]v[，a]=（m[，a]+m[，b]）v②
由①②解得v=（3/7）
（2）由能量守恒知，回路中产生的电能等于杆a、b系统机械能的损失，所以有
△E=m[，a]gh-（1/2）（m[，a]+m[，b]）v[，2]=（12/7）m[，a]gh
（3）回路中产生的热量Q[，a]+Q[，b]=△E，在回路中产生电能的过程中，虽然电流不恒定，但通过杆a、b的电流总相等，所以由焦耳定律得
（Q[，a]/Q[，b]）-（R[，a]-R[，b]）=（3/4），
解得Q[，a]=（7/3）△E=（36/49）m[，a]gh
和Q[，b]=（4/7）△E=（48/49）m[，a]gh