稀疏过程在保险公司破产问题中的应用，本文主要内容关键词为：稀疏论文,保险公司论文,过程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O212;F840 文献标识码：A
一、模型及理论上界
其中u,c＞0均为常数，u表示保险公司的初始资金，c表示保险公司的保费收入率；N[,t]是参数为λ的Poisson过程，它表示(0,t]内保险公司理赔的次数；｛X[,k]｝,k＞1，是非负独立同分布随机变量序列，X[,k]示保险公司第k次理赔额，而S[,t]就是保险公司在时刻t的盈余。在(1)中，通常假定｛N[,t]｝和｛X[,k]｝是相互独立的。
文献[2]对(1)加以推广，引入如下模型：
其中M[,t]是一Poisson过程，它表示保险公司在(0,t]内受理的保单数；c表示保单的平均保费；其它符号的意义与(1)中的相同。文献[2]在讨论(2)的破产问题时假定了｛X[,k]｝，｛M[,t]｝和｛N[,t]｝是相互独立的。
本文对(2)加以推广，考虑在(0,t]内保单到达数M[,t]是一个Poisson过程，在(0,t]内理赔发生数N[,t]是保单到达过程M[,t]的一个稀疏过程，为明确起见作如下假设：
(i)(0,t]内收到的保单数M[λ,t]是速率为λ的Poisson过程(M[λ,o]=0)；保单的平均保费为常数C[,o]。(C[,o]＞0)。
(ii)在(0,t]内索赔发生的次数N[p,t]是过程M[λ,t]的P-稀疏过程。即N[p,t]是参数为λp的Poisson过程。其中0＜p＜1。
P的实际意义如下：每张保单的持有者可能索赔，也可能不索赔。假设每份保单的持有者是否索赔与其他保单的持有者是否索赔无关，且每份保单发生索赔的可能性大小近似看作相同，即不妨设每份保单发生索赔的概率为P，于是若在(0,t]内保单到达数M[λ,t]是参数为λ的Poisson过程，即么在(0,t]内索赔发生的次数N[p,t]即为M[λ,t]的p-稀疏过程（见[3]）。N[p,t]与M[λ,t]的关系如图(1)所示。
在t[*]轴上，保留了发生理赔的点。比如，第一张保单不发生理赔，则剔除该点：第二张保单发生理赔，保留该点，记为T[*,1]，以此类推。｛N[p,t]｝完全由｛M[λ,t]｝和p确定。
在(3)中，｛N[p,t]｝,｛M[λ,t]｝一般不独立。但我们假定｛X[,k]｝和｛M[λ,t]｝独立。
注1 一般说来，从保险公司收到一份保单到该投保人要求索赔，总要经过一段时间。由图(1)所示知，在(3)中总是把未来某一时刻发生的理赔提前到该保单到达时刻来考虑，因而模型较为谨慎。
本文给出了风险过程(3)的最终破产概率的上界，并进行随机模拟。另外，当索赔为指数分布时，还将(3)与(1)、(2)的最终破产概率的上界进行比较。
由S[p,t]的定义，可得如下性质：
(1)S[p,t]=0 p-a.s.
(2)｛S[p,t],t≥0｝具有平稳独立增量。
g(r)=λ｛exp(-rC[,o])·[p·h(r)+1]-1｝, (4)
表1列出(3)的最终破产概率的一些理论值及相应的随机模拟结果，以***号标记的是总时间长度T=7300天的1000次随机模拟得到的破产频率，其中收到保单速率λ=20张／天，每张保单发生理赔的可能性p=0.0005，保单的平均保费C[,o]=1，平均理赔额为b=1/v，初始准备金为u。从模拟结果可以看出：保险公司在最初几年破产的可能性较大。另外，随着初始准备金的增加，保险公司破产的可能性减小。
表1 最终破产概率上界的理论值和随机模拟结果
二、与其他模型的比较
下面我们将把风险过程(3)与风险过程(1)、风险过程(2)的最终破产概率的上界分别进行比较。为方便起见，仅考虑索赔分布为指数分布的情形。
风险过程(1)的最终破产概率的上界为Ψ(u)≤e[-Ru]，其中R是h(r)=cr/α的正解，c为保费收入速率，α为理赔发生的速率，即若｛N(t)｝为理赔过程，则E[N(t)]=αt（见[1]）。
对风险过程(2)，[2]给出其最终破产概率的上界Ψ(u)≤e[-R'u]，其中R'是λ(e[-ru]-1)+μh(r)=0的正解，λ、μ分别为Poisson过程｛M(t)｝和｛N(t)｝的强度。R，R'和R[*]分别称为风险过程(1),(2),(3)的Lundberg指数，下面讨论R[*]，R和R'的关系。
引理2：设在区间[0,x]上，函数h(r)、m(r)、n(r)连续可导且单调递增，
。
c=c[,o]λ,α=λp (5)
在此基础上，我们得到以下定理：
定理3：设F(x)=1-e[-vx]，v＞0，x≥0，R,R[*]定义如上，则R[*]＞R。
注2：由定理3知在具有相同的平均保费收入速率和相同的平均理赔发生速率的条件下，与(1)相比，由(3)所描述的风险模型其最终破产的概率可以被控制在较小的范围内。
R[*]和R的理论值以及最终破产概率上界的理论值见表2。其中风险过程(1)的保费收入速率c=20，理赔发生速率α=0.01，平均理赔额为b=1/v，初始准备金u。风险过程(3)的参数取值同表(1)的情形。以***号标记的行是有关风险过程(1)的结果。由表(2)可见，风险过程(3)的最终破产概率过程(1)的最终破产概率的上界小。
表2 风险过程(3)与风险过程(1)的最终破产概率的上界的数值比较
类似与(1)，假设：
μ=λp,c=c[,o]
(6)
定理4：设F(x)=1-e[-vx]，v＞0，x≥0，R',R[*]定义如上，则R[*]＞R'。
R[*]和R'的理论值以及最终破产概率上界的理论值见表3。其中风险过程(2)的保单到达速率λ=20张／天，理赔发生速率μ=0.01次／天，每张保单价格c=1，平均理赔额为b=1/v，初始准备金为u.风险过程(3)中的参数取值同表(1)的情形。以***号标记的行是模型风险过程(2)的结果。由此可见，风险过程(3)的最终破产概率的上界较风险过程(2)的最终破产概率的上界小。
表3 风险过程(3)与风险过程(2)的最终破产概率的上界的数值比较
