莫让理论研究拖了实际工作的后腿（下）——聚焦数学思想的教学，本文主要内容关键词为：后腿论文,理论研究论文,拖了论文,莫让论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
以下再针对上面所提到的关于数学基本思想的层次性解读作出具体分析，希望不仅能有助于读者，包括广大一线教师在这一方面的独立思考与深入研究，也能更好地表达笔者的这样一个主张：第一，数学思想的学习不应求全，而应求用；第二，与严格的层次区分相对照，我们应更加重视自己的独立思考，并通过具体与抽象、特殊与一般之间的辩证运动不断深化自己在这一方面的认识（对此，可见参考文献[11]）. 1.首先，分类的思想显然不应被看成是由数学抽象的思想演变、派生、发展出来的.因为，这两者事实上具有同样的重要性，在相互之间更存在有互相依赖、互相渗透的重要联系. 具体地说，这显然可以被看成抽象的最为基本的一个意义，即是由同类事物的比较引出它们的共同特征.也正因此，分类就应被看成抽象的直接基础（从同一角度分析，在此或许还有必要明确提及“变中有不变”这样一个思想，或者说，后者体现了更深层次的思考）.当然，反过来说，适当的抽象也可被看成为我们准确、有效地进行分类提供了必要的准则. 另外，除了与抽象的直接联系以外，分类显然还具有更为广泛的应用.例如，无论就日常的生活和工作或是数学的学习和研究而言，“二分”即是对事物和现象进行梳理十分有效的一种方法.再则，又如三角形的研究所清楚表明的，适当的分类为我们按照由特殊到一般的次序更为有效地开展研究指明了具体途径. 当然，抽象在数学以外也具有十分广泛的应用.正因为此，数学中关于分类思想与抽象思想的教学就应特别重视其相对于一般意义上的分类和抽象的特殊性.就前者而言，这即是指，数学中的分类所关注的只是对象的量性特征和空间形式，而完全不考虑其他方面的性质；就后者而言，则是指数学抽象的建构性质：由于数学抽象是一个重新建构的过程（这集中体现于对象的严格定义），这事实上也就意味着与相关原型的彻底分离（对此，可见另文[12][8]）. 应当指出的是，后者事实上也正是所谓的客体化与结构化思想的基本含义.特别是，只有从这一角度分析，我们才能很好地领会符号表示的思想对于数学抽象的特殊重要性.特别是，后者同样不应被看成由数学抽象的思想演变、派生、发展而出的.恰恰相反，正是符号为数学抽象提供了必要的物质承载，这事实上即应被看成数学抽象的必要工具.当然，符号表示的作用又不仅限于此，因为算法化也是数学十分重要的一个特征，而这同样也以符号化作为必要的前提. 最后，就所谓的集合的思想而言，笔者则愿意特别强调这样一点：这正是集合的思想最为重要的一个特征，即完全不考虑对象的质的内容（包括它们究竟具有什么样的性质，什么又可被看成它们的共同特征，等等），而纯粹从外延上去从事数量的研究，比如这究竟是一个有限集合还是无限集合？等等.显然，这事实上也就更为集中地体现了数学抽象的特殊性.另外，还应强调的是，从历史的角度看，这正是明确引入集合这一概念（这主要归功于德国著名数学家康托）最为重要的一个贡献，即是将数量的研究从有限性对象扩展到了无限性对象.当然，从建构的角度看，我们应当首先对所说的无限作出清楚的界定，即对此给出明确的定义.但是，由于后者主要地应被看成一个具体的数学研究工作，从而就不应简单地等同于所谓的有限与无限的思想. 综上可见，将分类的思想、集合的思想、变中有不变的思想、符号表示的思想、对应的思想、有限与无限的思想等都简单地归属于数学抽象的思想就不很妥当.如果我们试图按照这个思路理解数学的抽象，很可能出现越学越糊涂的现象. 2.就数学推理的思想的具体解读而言，笔者以为，如果坚持对推理的通常理解，那么，将数形结合的思想、转换化归的思想、联想类比的思想、普遍联系的思想、逐步逼近的思想、代换的思想、特殊与一般的思想等都归属于数学推理的思想则十分勉强.因为，这些主要地都应被看成一种解题策略，应当归属于策略性数学思想的范围. 当然，这又是这方面更为重要的一项工作，即我们不应满足于对各种解题策略的简单罗列，而应当联系实际的数学活动对此作出更为深入的分析.以下就是笔者在这方面的一些具体想法. 首先，这即可被看成两个最为基本的策略思想，即联系的观点（或者说普遍联系的思想）和变化的观点.其次，所谓的转化（或者说转换化归的思想）和联想类比则又可以被看成两者在实际解题过程中的具体体现.当然，我们在此应清楚地指明什么是这里所说的转化或类比联想的主要目标或方向：我们所希望的是由此而实现由未知到已知、由难到易、由复杂到简单的重要转化（对此，可见另文[13][8]）.再则，以下显然又可被看成我们如何实现转化的一些具体方法：特殊化和一般化，数形结合，等量代换等.例如，面积计算中经常用到的割补法，以及求解方程组时所采用的消元法都可以被看成等量代换的实例.因为，我们在此所希望的就是通过适当的代换实现由不规则向规则、由多元向一元、由复杂到简单的必要转化. 当然，上面所提到的各个思想不应被看成已经穷尽了解题策略的全部内容.毋宁说，我们在此应清楚地看到加强学习的重要性，特别是，应当认真学习著名数学家、数学教育家波利亚在这方面的各部重要著作.再则，从整体上说，我们应特别重视对解题策略与问题解决的正确理解.第一，所谓问题解决，并非指解题者无需任何认真努力就可顺利地解决所面临的问题，而是主要依赖于解题者的创造性劳动，即如何付诸适当的行动，以达到一个可见而不立即可及的目标.第二，以下则可被看成解题策略的基本定位：如果你对如何解题已经有了一定的想法，就完全不用理睬任何一种解题策略，只需按照自己的想法尝试着去做；但如果想不到任何一种办法，所说的解题策略就可能给你一定的启示. 进而，也正是从后一角度分析，我们可清楚地看出努力纠正以下现象的重要性：相关的教学决不应违背解题策略的本意，乃至在不知不觉中束缚了学生的想象力与创造力（对此，可见另文[14][15]）. 最后，笔者以为，归纳的思想和演绎的思想可以被看成数学推理最为重要的两个内涵.进而，从思维的层面分析，这直接涉及特殊与一般之间的辩证关系.当然，从基础教育的角度看，这又是我们在这方面最为重要的一个任务，即如何将这些思想的学习与具体数学知识的教学很好地结合起来.例如，在数学概念的教学中，我们应十分重视由概念的定义引出相关的结论，以及对不同对象之间存在的特殊与一般的关系进行深入分析（对此，可见另文[16][17]）. 与此相对照，由于公理化思想主要涉及局部与整体的关系，因此，在笔者看来，我们或许就不应将此简单地纳入数学推理的范围. 3.作为对数学建模的思想的具体解读，以下的论述可以说十分到位，即我们不仅应当清楚地看到这一思想与数学抽象（符号化思想）之间的联系，也应更加突出这一思想的应用特点：“模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图形表达数量关系与空间形式，这是它们的共同之处；但是模型思想更加重视经过分析、抽象建立模型，更加重视应用数学解决生活和科学研究中的各种问题.”[18] 显然，从同一角度分析，我们可更好地认识传统的应用题教学的主要弊病，或者说，我们究竟如何改进这一方面的教学工作：由于缺乏足够的自觉性，在很多情况下应用题的教学不仅完全忽视了应用这一关键环节，也未能很好地发挥应用题的思维训练功能（对于后者，可见[8]）.简而言之，传统的应用题教学只能说是应用题教学的一种异化，真正需要的也只是返璞归真. 其次，将简化的思想、量化的思想和优化的思想都列为数学建模的思想的子思想则应说完全没有必要.因为，任何一种模型的建构（乃至一般意义上的抽象）都必定包含有对现实情境的必要简化，而量化则显然可以被看成数学模型所必然具有的一个特征.再者，作为具体的研究活动，数学建模也必定有一个不断尝试、逐步改进的过程，而这当然是一个不断优化的过程. 当然，上面的论述并非是指这些思想在数学建模以外不再有任何的价值.例如，优化的思想对于数学研究而言具有特别的重要性.因为，这正是数学思维的一个重要特点：数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望能够获得更为深入的理解，后者则不仅直接导致了对严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极地从事进一步的研究，比如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某个统一的数学结构？等等.数学家们也总是希望能达到更大的简单性和精致性，比如是否存在更为简单的证明？能否对相应的表述方式（包括符号等）作出适当的改进？等等.正因为此，人们也就常常将优化说成一种数学精神（米山国藏语），而这显然更为清楚地表明了优化的思想的重要性，特别是，我们确实不应将此简单地归属于数学建模的思想. 再次，与上述的细分相对照，在数学建模的讨论中明确提及随机的思想和统计的思考则是十分必要的.因为，这直接涉及数学模型的不同类型.“在现代应用数学中，数学模型往往是对特定对象系统中的量的关系的模写.由于特定问题是形形色色、千差万别的，因此，针对具体问题、具体对象去建立MM（数学模型）时，必须进行具体分析.”“一类是确定性数学模型.这类模型所对应的实体具有确定性或固定性，对象间又具有必然的关系.这类模型的表示形式可以是各种各样的方程式、关系式、逻辑关系式、网络图，等等.所使用的方法无非是经典数学方法.”“另一类是随机性数学模型.这类模型的背景对象具有或然性或随机性.MM的表示工具无非是概率论、过程论及数理统计学等方法.”[19] 从基础教育的角度看，上面的论述显然十分清楚地表明了这样一点：方程与函数的教学应当突出数学建模的思想，或者更为恰当地说，应当更加重视相关知识的应用.但是，这是否意味着我们应当明确引入所谓的方程的思想和函数的思想？什么又是后者的准确含义？我们又是否应当将此看成是由数学建模的思想派生而出的呢？在笔者看来，这些问题都有待于进行更为深入的研究. 最后，由于本文主要是从理论角度对数学思想的若干问题进行了分析论述，在此就有必要再次强调这样一点：这正是国际上的普遍发展趋势，即对于“理论至上”这一传统立场的自觉批判，也即认为与唯一强调某些理论主张的学习与落实相对照，我们应当更为明确地倡导理论的多元化，特别是理论研究与教学实践的积极互动.另外，这也正是笔者撰写这一文章的主要目的，即为读者，特别是一线教师的独立思考提供必要的背景；进而，我们在这方面应始终坚持这样一个基本立场：对数学思想的学习，不应求全，而应求用.因为，如果我们始终未能将各种数学思想很好地应用于自己的教学工作中，那么，所有这一切就都只是空中楼阁、纸上谈兵，没有任何真正的价值.