感悟数学思想，积累数学活动经验——从《数学课程标准》的三个案例说起，本文主要内容关键词为：数学论文,课程标准论文,案例论文,思想论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
盼望已久的《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》（以下简称《数学课程标准》）已于2011年12月正式颁布.笔者作为基层教师代表参与了教育部关于《数学课程标准》的审定工作.这期间不仅有了静心再读、再品、再思考的空间，更是拥有了与数学教育大家对话、交流、研讨的平台.反复研读讨论，感想多多……由于篇幅的限制，本文仅以“感悟数学思想，积累数学活动经验”为题，从三个案例说起.
《数学课程标准》在修订过程中，继承了我国数学教育注重“双基”传统的同时，突出了培养学生的创新精神和实践能力，提出了让学生理解和掌握“基本的数学思想和方法”，获得“基本的数学活动经验”；在强调发展学生分析和解决问题能力的基础之上，增加了“发现和提出问题能力”的课程目标.我赞成这样的补充.
数学思想方法是学生认识事物、学习数学的基本依据，是学生数学素养的核心.数学思想方法也是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学学习的灵魂.数学思想方法是伴随学生知识的掌握、思维的发展逐渐被理解的，数学思想方法的感悟是学生在数学活动中积累的.教学中渗透数学思想方法可以使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的学习将之转化为创造能力.这对于学生学习数学、发展能力、开发智力、培养创新能力都是至关重要的.
如何帮助学生在数学学习中感悟数学思想、积累数学活动经验呢？我们从《数学课程标准》中新增加的三个案例说起.
案例一
图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成图形的面积.（如图1）
教师们对这样的题目并不陌生，解决这个问题通常的做法是数方格.先数一数有多少个整格，再数一数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来，以此估计不规则图形的面积.这是我们常用的方法.
在这次《数学课程标准》的审定过程中，张恭庆院士的发言对我颇有启发.他认为这样处理没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵.在张恭庆院士的建议下，我们进行了讨论，课标修订组对此也作了认真修改，以充分体现该题的数学教育价值.
《数学课程标准》在此案例的解读中，建议教师在教学时可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积.例如，教学中教师可以启发学生边观察图形边思考：“你认为曲线所围成图形的面积结果可能会在哪个范围内呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师还可以引导学生试一试.首先选择好用来估计的“单位”，即以图形中的1个小方格为1个单位.再找出曲线围成图形面积的上界和下界.学生可以先数出曲线所围成图形内包含的完整小方格数，用彩色笔将它们圈出来，估计出这条曲线所围成图形面积的下界（有75个这样的单位）；然后再数出曲线所围成图形边缘接触到的所有的小方格数，也用彩色笔将它们圈出来，估计出曲线所围成图形面积的上界（有113个这样的单位）.教师进一步引导学生发现，采用第一种方法估计的结果比实际面积小，第二种方法估计的结果比实际面积大，实际的面积是在这两个数之间.由此确定曲线所围成图形面积的可能的取值范围.（如下页图2）
在此基础上教师可以鼓励、引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法.
教师还可以继续追问：“还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积？试一试！”这对学有余力的学生无疑提出了更富有挑战性的问题.引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验探索出更接近实际面积的估计值，从而渗透极限思想.（如图3）
同样的数学学习素材，截然不同的教学设计，给我们的启示是什么？
“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当成一种操作技能——数方格（知识点）去教了，为了教估算而估算.“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和估算方法的培养.特别是，选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键.教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积.通过对上界、下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间.这个上界、下界的确定，对学生体验估算是很有意义的.这是真正意义上估算价值的体现.特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估计值更逼近准确值，从而渗透“极限”的思想，这对学生的数学学习是很有意义的.
估算教学要通过在具体背景下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算的意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法，并在其中帮助学生感悟数学思想和方法，积累数学活动的经验.
案例二
“一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几把椅子和几张凳子？”
此题老师们也很熟悉，有人把它称为“鸡兔同笼”问题的变形.这在过去的奥数培训中是不可缺少的训练内容.今天的《数学课程标准》中增加了这样的案例，为什么？该案例的数学教育价值何在？面对着同样的教学内容，今天该怎样进行教学？我们不妨将两种教学方法作一个比较.
过去教学此内容，教师通常采用假设法，课始就将自己明白的道理讲给学生，比如：“我们把所有的椅子和凳子都假设成有3条腿计算时，求出来的就是4条腿的椅子数；我们再把所有的椅子和凳子都假设成有4条腿计算时，求出来的就是3条腿的凳子数.”接着一下子就把算式给出来了.
（60-16×3）÷（4-3）=12（4条腿的椅子数）
（16×4-60）÷（4-3）=4（3条腿的凳子数）
学生死记硬背公式，照猫画虎完成任务，没有经历公式数学化的学习过程.这样的教学事实上正像东北师范大学史宁中校长所说的：“老师讲课不能太聪明了，老师虽然知道结果，但要引发学生思考.老师一下子把算式给出来了，学生还探讨什么？”在这样的课堂里，学生已经没有了探索的空间.《数学课程标准》的“教学建议”中让学生在解决问题的过程中“感悟数学思想，积累数学活动经验”，在此已经成了一句空话！
我们一起来看看《数学课程标准》在案例的解读中给出了怎样的建议，这样的教学又会给学生继续学习数学带来怎样的后劲儿.
教师首先引导学生在理解题意的基础上进行观察与猜想，并进行大胆尝试，让每一个学生亲自做一做，运用尝试的方法探索规律，得出结果，并记录计算的过程，引发新的思考.
椅子数凳子数腿的总数
1604×16=64
1514×15+3×1=63
1424×14+3×2=62
启发学生观察：“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1.”如果继续尝试下去会有怎样的情况发生？学生带着观察结果，继续探究——
椅子数凳子数腿的总数
1334×13+3×3=61
1244×12+3×4=60
至此得到椅子数为12、凳子数为4时，腿的总数恰好为60.通过引导学生观察发现：腿的总数为60时，需要减少的椅子数是64-60=4，于是椅子数是16-4=12，凳子数是0+4=4.最后验证：12×4+3×4=60，是正确的.当然，也可以引导学生从凳子数的变化进行思考，即：“每减少一个凳子就要增加一个椅子，腿的总数就要增加4-3=1.”
教学中教师通过引导学生以常见的“4条腿的椅子、3条腿的凳子”简单背景为研究素材，通过学生的观察、猜想、实验，发现“每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1”，学生在尝试中不断地归纳出数学规律，抽象出数学模型，并在此基础上推广到其他同类问题的研究中.学生在解决问题的实践中感悟数学思想、积累数学活动经验，这是培养学生数学能力的重要途径.
对于学有余力的学生，教师可以鼓励他们用字母代替椅子数与凳子数，得到计算腿的总数的数学模型.学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，得出数学结论.学生经历了数学化的学习过程，体会到从特殊到一般的数学思想方法——归纳法.学生在数学活动中感悟数学思想方法，同时逐步积累了数学活动经验，为后续学习数学作好准备.
比较上述两种教学过程，您从中获得了怎样的思考？
案例三：图形分类
如图4，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类.想一想：应当如何确定分类的标准？根据分类的标准可以把这些扣子分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来.
面对着形状不同、颜色不同、扣眼数量不同的众多扣子，教师应引导学生从何做起？如何利用学生已有的经验进行分类？又该如何记录这些分类的结果呢？怎样渗透分类的思想？教学中教师要注意结合具体的分类任务，设计有效的数学探究活动，使学生经历完整的分类过程.建议教师先放手让学生自己试一试，让他们在困惑中发现问题、提出问题、学会反思，再动手实践、归纳概括，形成正确的结论.具体建议分四步完成：
1.学生自己尝试，发现问题、提出问题.（为什么同样的扣子分类的结果不一样？引起学生主动反思）
2.讨论确定分类标准.（让学生理解分类是要依赖分类标准的.例如，可以根据扣子的形状、颜色或者扣眼的数量制定分类的标准.注意引导学生反思分类标准交叉造成的分类结果的重叠与遗漏，如：按照颜色和形状划分，就会有扣子既不在蓝色的一类，又不在方形的一类，而有些扣子既在蓝色的一类，也在方形的一类.所以分类时，要按同一个标准分）
3.抽象出图形共性.（根据分类标准，引导学生实际操作，并运用文字、图画或表格等方法记录分类的结果，培养学生整理数据的能力）
4.组织汇报.（学生报告分类结果，互动评价，教师引导学生回顾整理思路）
学生正是在尝试问题解决的过程中，感悟分类的数学思想和方法的.在分类的过程中学生首先发现了问题：“为什么同样的扣子分的结果却不一样？”引起主动反思，从而激发学生去寻求“新分类标准”的需求，然后再探索“新标准下的分类方法”.学生经历了对“形状不同、颜色不同、扣眼数量不同”的扣子的分类过程，在数学活动中体会如何确定分类标准，如何在分类的过程中认识对象的性质，如何区分不同对象的不同性质.经过实验探索不断积累活动经验；加深对分类思想与分类方法的理解.学会分类，有助于学生分析和解决新的数学问题.学生在学习过程中成为积极的探索者.
总之，教师要自觉帮助学生积极参与数学学习，重视数学思想的渗透和数学活动经验的积累.正像史宁中校长所说：“数学思想很重要！我们过去的数学教育不注意思想，这是不行的.老师必须在脑子里形成思想，必须在教书的过程中贯穿思想.不然，创造性怎么培养？谈创造性，思想方法一点儿没有是不行的！”