甘肃省天水市第四中学 741000
一、以初中所学函数的单调性为基础建立函数单调性直观的定义
1.通过学生熟悉的实际生活例子引入，感受函数的单调性。
问题1：右图是某市一天24小时内的气温变化图，气温θ是关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个气温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？让学生回答气温的变化情况（只要初步描述）。
进一步引导：那么我们用怎样的数学语言来刻画上述时间段内“随着时间的增大气温逐渐升高或减小”这一特征呢？教师通过提示、点拨，并引出本节课题——函数的单调性。
2.以初中所学的三种基本函数的图像变化趋势为衔接点，形成函数单调性的感性认识。
问题2：观察学生绘制的函数的图象（如图1、2、3，实际教学中可根据学生回答定），它们的图象有什么变化规律? 指出图象变化的趋势。这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
观察得到:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的。
讨论结果：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈逐渐下降的趋势，有的在一个区间内呈上升的趋势，在另一区间内呈逐渐下降的趋势。
结合学生通过图1与图2所获得的直观认识，给出单调函数的“直观定义”：在区间I上，若函数的图象（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间I上是增函数，区间I称为函数的增区间；在区间I上，若函数的图象（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间I上是减函数，区间I称为函数的减区间。
二、对照绘制的函数图像，回忆总结初中函数单调性的描述，给出描述性的定义
函数图象呈上升趋势等价于函数值y随x的增大而增大。函数图象呈下降趋势函数值y随x的增大而减小函数的这种性质称为函数的单调性问题。
三、以问题为突破口，使学生从单调函数的“描述性定义”自然过渡到教材上的单调函数的定义
问题3：继续让学生寻找函数y=x3+x的单调区间，仍有困难，由此指出研究函数的单调性，仅凭“描述性定义”还是不够的，引导学生继续寻找新的途径。
1.将上述获得的单调函数的“描述性定义”用符号化的数学语言来准确地表述。
第1步（将两个“增大”符号化）：当x1＜x2，y1＜y2。
第2步（再将“随”符号化）：当x1＜x2， f(x1) ＜f(x2)。
第3步（再将隐含语言“任意”符号化）：对任意的x1，x2，能否通过个别数值来说明单调性？例如函数y＝x2（x∈R），取x=-1，2，3，4，……，相应地y=1，4，9，16，……，能不能说函数值y 随x的增大而增大？
对区间I上有限个或无限个自变量满足x1＜x2，且f(x1)＜f(x2)，都不能反映“函数值y随x的增大而增大”的本质。必须强调x1，x2的任意性，才能准确表述单调递增的特征。对任意x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)。
第4步（再将隐含语言“区间”符号化）：
x1，x2在“任意”的同时，还有“不任意”，因为单调性描绘的是函数的局部性质，它与区间密不可分，强调定义中x1，x2∈I。对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2，都有 f(x1) ＜f(x2)
2.自然形成抽象的函数单调性的定义。
定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA。如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间。
问题4：如何定义单调减函数呢？
定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA。如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间。
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有单调性，这个区间就叫作函数y=f(x)的单调区间。
教学设计反思：本节课的教学难点是如何让学生充分参与函数单调性概念的符号化建构过程，函数单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由学生熟悉生活实例感受函数单调性，再到初中所学基本函数图象的直观感知，再到用初中自然语言的描述，为函数单调性概念的形成奠定基础，为初高中函数单调性的衔接铺设了桥梁，再到用数学符号语言描述的进化过程，有机地将初高中函数的单调性衔接为一体，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体，因此，让学生体验高中函数的单调性源于初中，又高于初中，但本质不变的是思想理念，成功地实现了初中到高中函数单调性的过渡与衔接，符合学生的实际。
论文作者:吴天德
论文发表刊物:《中小学教育》2016年9月第254期
论文发表时间:2016/10/27
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