对实施数学创新教育的认识与思考，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
创新教育是以培养人的创新精神和创新能力为基本价值取向的教育。（注：郭立昌.构建中学数学创新教育教学模式体系[J].课程·教材·教法，2000.（9）。）它以发掘人的创新潜能，弘扬人的主体精神，促进人的个性和谐发展为宗旨，目的是发展人的创造性，培养具有良好素质的创造型人才。数学是基础教育阶段的一门主要课程，数学学科的品格和特点决定了它对开发学生的智力，发展创造性思维能力具有重要作用。数学创新教育的内容结构主要包括创新意识、创新情感、创新思维、创新能力等方面。（注：郭立昌.构建中学数学创新教育教学模式体系[J].课程·教材·教法，2000.（9）。）本文在此基础上进一步探讨如何实施数学学科的创新教育。
一、启迪创新意识
传统观点认为，创造是指首创前所未有的事物。（注：辞海（上）.上海：上海辞书出版社.1979.418。）正是在这样的意义下，学生往往对创造充满了神秘，认为这是科学家、发明家的专利。实际上，创造有真创造和类创造之分。（注：邵瑞珍.教育心理学.上海：上海教育出版社，1988.159。）真创造是科学家、发明家最终产生了对人类来说是新的知识和有社会价值的产品的活动；类创造是对个体而言的，其思维的结果虽对人类来说是已知的，但对个人来说却是独创的。布鲁纳（J.Bruner）认为，智力活动到处都是一样的，无论在科学的前沿或是在三年级的课堂里，其间的差别仅在于程度而不在于性质。可见，学生的数学学习活动与数学家的活动之间只有程度和水平上的差异，其创造本质是相同的。启迪学生的创新意识，首先要树立“人人是创造的主人”的观点，明确人人都是具有创新潜能的主体。
数学的发展过程无时无刻不伴随着创造；从《原本》的问世到非欧几何的产生，从解析几何的诞生到微积分的创立，从集合论的出现到电子计算机的应用，无不有创造的足迹。正是数学家们富有创造性的活动，才有了建立新概念、提出新猜想、构造新命题、提炼新方法、开辟新领域的数学实践。在数学教学中，结合教学内容用数学发展充满创造的典型史实熏陶学生，不仅可以激情引趣，而且可以启迪学生的创新意识。
数学科学的起源和发展是由问题引起的；美国数学家哈尔莫斯（P.Halmos）指出，问题是数学的心脏。古希腊的数学研究在很大程度上即是围绕所谓的“几何三大难题”进行的，而20世纪的数学研究和发展与希尔伯特（D.Hilbert）在1900年国际数学家大会上所提出的著名的23个问题密切相关。传统数学教学仅注重数学知识的传授，而忽视发现问题和提出问题，这对培养学生的创造意识十分不利。提出问题才是“知识之母”，是由未知通向已知的桥梁。为此，在数学教学中要善于设“障”立“疑”，不断创设问题情境，使学习过程成为“生疑、质疑、解疑”的过程。特级教师马明在讲复数开方时，首先提出问题“由于负数开平方，出现了虚数i，如果让i或—i再开平方， 又会出现怎样的新数呢？”使学生“生疑”，接着通过“在复数范围内，有没有这样的数，使之平方以后等于i或—i”，“如果有这样的数，有几个”等问题的讨论，使学生“质疑”和“解疑”。这里，问题情境的创设不仅可使学生对枯燥的复数开方内容产生兴趣，而且可以产生好奇心，去不断追求新知，探索新知。有的教师在数学课上采取“从原问题创作出新问题”的做法，即教师首先给出问题（原问题），在学生完成对原问题的证明之后，要求学生以此为基础运用“否定假设法”创作新问题（可以先不证明）。实践告诉我们，这也是培养学生创新意识的有效途径。（注：郑毓信等.数学思维与数学方法论[M].成都：四川教育出版社.2001.443。）
二、培养创新情感
创新情感是指创造的动机、探索的兴趣、严谨的态度、顽强的意志、锲而不舍的精神等情感因素对创造潜能开发所起的促进作用。它和创新意识相互影响，共同促进学生创造性人格的形成，成为创造力培养和发展的立足点。
数学教学中创新情感的培养，首先应基于对数学学科品格的深入分析。数学不仅是科学的工具，更是思维的体操；不仅是通用的语言，更是一种精神和态度。数学学科的特殊性，可以培养学生积极的思维态度和良好的思维习惯，可以培养学生科学的创造精神和优良的道德品质。原苏联著名数学教育家辛钦（A.я.хинчин）早就指出， 数学教学能帮助人正确、清晰、简练地思维，能培养人的正直、忠诚、顽强和勇气。教学中教师应善于发掘和利用数学本身内在的兴趣、情感以及德育因素，使学生获得对数学的道德感、理智感、美感的情感体验。例如，结合教材内容，适当介绍一些寓理深刻的趣题趣例，一些已经解决或尚待解决的数学猜想，古今数学家为数学发展献身的生平、趣事，等等。又如，善于通过教学向学生展示数学美，让他们在对数学美的欣赏中得到积极的情感体验。再如，采取寓教育于教学之中的方法，培养学生良好的个性品质和勇于探索创新的精神。
教师对数学教学艺术的不断追求是培养创新情感的重要方面。挪威数学家阿贝尔（N.Abel）刚进中学时对数学并不感兴趣，后幸遇洪保（Holmbot）， 洪保强烈的数学教学情感和高超的数学教学艺术使阿贝尔成为“数学迷”，进而在数学领域中作出了巨大贡献。数学教师应以洪保为榜样，以自身强烈、深刻、和谐的情感表现，通过创设情感性的教学情境去影响学生的数学学习，使学生获得积极的情感体验。
让学生自身参与创造过程是培养创新情感的有效方法。无论是布鲁纳的“发现法”，还是弗赖登塔尔（H.Freudenthal）的“再创造”原则，都强调数学教学必须以“再创造”的方式来进行，让学生体验数学创造的过程。他们主张让学生根据自己的“数学世界”，在尽可能少的指点下，通过自己的思考和自主活动，重新创造出相应的数学知识，反对把事先创造完整的结论塞给学生。教学实践会告诉你，抓住创造的“高峰体验”时刻，会使学生的情感在自身的创造过程中不断地得到培养。
三、创设创新环境
数学家的成长、发展和成功的过程，往往都和社会条件、教育环境直接相关，如希尔伯特成长为举世公认的杰出数学家就离不开文化传统、家庭环境、社会舆论、学校教育等方面的影响；因此，为学生创设创新教育的良好环境对培养创造型人才意义重大。
美国心理学家罗杰斯（C.R.Rogers）指出，有利于创造活动的一般条件是“心理的安全”和“心理的自由”。（注：索里.特尔福德.教育心理学[M].高觉敷译，北京：人民教育出版社，1982.296。）所以，教师首先应当转变教育管理的观念，变“权威式”为“民主式”，给学生的思想、行动以较大的自由。具体来说，应鼓励学生独立思考，敢于发表自己的意见；鼓励他们对自己和别人提出的假设或解题方法的是非优劣进行评判；对学生中出现的“奇思怪想”不要轻易否定。一位特级教师在讲解“从1，2，3，4，5，6六个自然数中任取五个组成无重复数字的五位数，求所有五位数的和”的问题时，一位学生答曰：“所求和为
”。当其他学生发出哄笑声时， 这位教师却说：“先算算结果，结果对是解法正确的必要条件。”经计算，结果一样。针对其他同学认为是“巧合”的说法，这位学生在教师的鼓励下，终于说出列式的道理。一个闪烁着智慧火花的创见才没有被扼杀。
努力构建一个良好的数学学习共同体是创设创新环境的重要方面。在这一学习共同体中，每个人（包括所谓的数学差生）都能得到应有的尊重和理解；每位成员都应努力勤学、善思、好问，乐于合作，善于交流；真理的标准是理性而不是教师，也不是任何权威，教师是学习共同体中的普通一员。应当指出，这种师生“平等”的观点不应被理解成对教师在教学中主导地位的否定。事实上，教师能在尊重学生、服从理性、保持思想的开放性等方面起到示范作用，是构建良好学习共同体的关键所在。（注：郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社.1995.323。）
教师思想的开放性，应表现在教学观念、课程内容、教法手段、解题指导等各个方面。在教学观念上，要牢固树立学生是认知主体的思想，确立以培养创新精神为核心的教学目标，努力实现开放式教学；在课程研究上，明确课程本身所具有的创新价值，除必修课、选修课外，可以通过数学思维训练课、数学问题解决、研究性课题和实践活动拓宽学生的创造空间；在教学内容上，不囿于传统内容的束缚，宜增加培养学生创新意识，开发学生潜能，引起师生共同讨论的探究性学习内容；在教法改革上，不仅以自己的创造性劳动，揭示活生生的数学教学过程和隐藏在数学概念、性质。法则、公式、公理、定理等具体数学知识背后的数学思想方法，还以活动（自主活动和合作活动）作为教学的根本原则，优化组合各种现代教学方法；在教学手段上，充分利用现代教育技术，将数学发现的过程简捷地重演于课堂；在解题指导上，善于通过精心设计的“好问题”，引导学生运用合情推理的方法开展多方面、多层次的探索与猜想活动，激发学生的机智与创造。数学教师可以通过上述方面，不断优化数学创新教育的环境，促进学生的自我发展。
四、训练创新思维
数学教学是思维活动的教学，创新思维的培养和训练是数学创新教育的核心。
庞加莱（H.Poincare）认为，数学创造的本质就是在已知的数学事实（概念、图式、变换、思维模式等）所可能造成的新组合之中作出正确的选择。可见，头脑中需要储存大量与实际情况相匹配的正确概念和其他数学事实，足够的信息储备是创造性思维产生的物质基础。为此，教学时首先应使学生准确地掌握数学知识，将知识和知识应用的“触发”条件结合形成条件化知识，进而表征为知识组块；在此基础上，构成一定层次结构的网络。运用大容量的知识组块进行思维，有助于心理视野的开阔和提高创造性。
从思维的方式和成分来看，创造性思维并非是一种单一性的思维，它是逻辑思维、形象思维和直觉思维的综合运用，是集中思维和发散思维的辩证发展。
发散思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考，产生多种答案的思维方式，它的思考方向是向外散发。发散思维多向、流畅、变通的特点，异致思维结果的独创；因此创造思维更多地寓于发散思维之中。教学中在重视聚合思维的同时，应更加注重发散思维的训练。为此，教师要善于挖掘数学教材中的发散素材、恰当选择发散点，通过联想生成各种知识链、方法链、命题链，通过解题回顾对问题进行引申和拓广。
纵观数学活动的全过程，不能没有形象思维和直觉思维。形象思维凭借事物的具体形象和表象，是数学思维的先导。由于它的心理成分有表象、联想、想像等，所以形象思维具有创造性。直觉思维是主体在已有知识和经验基础上对客观事物的一种迅速的判断和敏锐的想像，其主要特征是思维产生的突发和思维结果的独创。可见，直觉思维、形象思维的培养与创新思维训练更加密切相关。为此，数学教学中要注意不断丰富学生头脑中的表象，不断积累数学知识和经验；加强归纳、类比、联想、数形结合等方法的教学；努力提高观察力、想像力以及对数学美的鉴赏力。
应该指出，思维品质是评价和衡量思维创造水平的重要指标，其中思维的深刻性和广阔性是创新思维品质的基础，它们的高水平表现就是思维的独创性。拓展思维的深度可以创新，拓展思维的广度也可以创新，在思维的深度和广度上同时拓展更可以创新。教学中应注意渗透数学思想方法，引导学生多角度、多方位地探求问题并探索一般规律，通过解题实践提高思维策略的运用水平。
例 设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE、CF的延长线分别相交于A、B，求证BF／AE＝BC[3]／AC[3]。
证法一 运用“化生为熟”的策略，把原问题化归为比较熟悉的问题，即证
（BF／BC）·（AC／AE）·（AC／BC）·（AC／BC）＝1。联想平行线和相似三角形的性质进行比的转换即可。
证法二 逆向运用“以简驭繁”策略，即化“简”为“繁”，改证
（BF·BC）／（AE·AC）＝BC[4]／AC[4]。
证法三 根据题中直角、等角关系多的特点，产生“引参求变”的念头。设∠A＝a，参数a的引入可使原问题的关系结构发生变化， 变为三角问题证明。
证法四 运用“数形迁移”策略，通过建立平面直角坐标系，将几何结构转变为代数结构。
五、提高创新能力
创新能力是指人在实践活动中能产生对其自身来说具有新价值的事物或新思想的能力。人的能力可分为一般能力和特殊能力；一般能力除智力（注意力、观察力、记忆力、思维力和想像力）外，还应包括理解、自学、探究等综合性的多种能力。数学能力是一种特殊能力，它包括思维能力、运算能力、空间想像能力和解决实际问题的能力。一般能力的高水平发展，为创新能力的培养奠定坚实的基础；特殊能力的良好形成，为在专业活动中的发明创造提供可能和保证。可见，创新能力的培养需要涉及诸多方面，这里仅论及探索能力和解决实际问题的能力。
探索是人类思维中最活跃、最生动、最富有魅力的活动，探索的结果往往导致问题解决和新的发现。因此人们普遍认为，探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力基础上发展起来的一种更高层次的能力，是数学思维能力中最富有创造性的要素。探索能力培养是创新能力形成的重要方面；无论是布鲁纳主张的发现法，还是波利亚（G.Polya）倡导的数学启发法，其精髓都是重在让学生学会探索、学会发现。为此，在数学教学中，要像布鲁纳所倡导的那样，不是把学习材料直接呈现给学生，而是给出一些提示性的线索，把教材组织成一定的尝试层次，让学生自己通过积极主动地探索活动来学习知识、掌握策略、提高探索能力。其次，通过选择恰当的学习内容，引导学生学习探索方法；通过观察、归纳，从特殊去探索一般；通过类比、联想，从旧知去探索新知；通过分析、综合，在已知与未知间探索；通过揭示矛盾运动，在解决矛盾中探索。在例题的选择和配制上，要加强探究性问题，让学生运用合情推理在更广阔的空间里探索；在解题环节上，要突出探索活动，重视分析学生在探索中出现错误的合理性；在探索活动的形式上，可采用个人思考、分组讨论、大组报告等多种形式，还可运用CAI， 让学生通过数学实验在更理想的空间进行探索和发现。
问题解决是20世纪80年代提出的数学教育改革的口号。随着数学教育的发展，人们更加重视问题对人的智力挑战作用，强调“问题解决”中的问题应主要指那种“非常规问题”；从而，创造性成为问题解决的本质特征。作为它的一个重要方面，让学生运用数学知识去解决那些源于生产、生活的实际问题已成为素质教育实施过程中大家关注的一个焦点。
首先，注意挖掘教材内容中所具有的实际背景，如指数函数与细胞分裂、等比数列与分期付款、直线方程与线性规划等，让学生从中学习数学抽象、数学建模的方法。大数学家欧拉（L.Euler）当年在解决哥尼斯堡七桥问题时，正是采用数学抽象和建模的方法，把生活实际中的“七桥问题”抽象为数学上的“一笔画问题”，导致了问题解决和数学新分支的出现。其次，通过选编源于学生实际的应用题和开发实践环节，让学生掌握解决实际问题的方法，增强应用意识，提高创造性。近几年来，高考中所出现的淡水鱼养殖、耕地规划、运输成本、污水处理、蔬菜种植方面的应用题都是典型的例子。最后，还要重视解题反馈，以使解题过程不断改进，更添创造性。一位教师在引导学生运用基本不等式解决问题：“用一张长80cm、宽50cm的长方形铁皮，做一只无盖的长方体铁皮盒，如果不计焊接损耗，求这只铁皮盒的最大体积”后，引导学生回顾和反思，围绕“能不能充分利用被剪下的四个小正方形”、“怎样利用这四个小正方形”，让学生充分讨论，相互交流，捕捉学生中创造性思维的火花，并从课内延伸到课外。学生在解决实际问题的过程中学会了思考，学会了应用、学会了创造。