找准“概念胚胎”的生长点
——以《分数的初步认识》为例
安 蕾
【关键词 】概念；分数；生长点
一、课前思考：“分数的初步认识”在教材编排体系中身居何位？
在小学阶段，“分数的初步认识”的教学建立在整数知识和平均分知识的基础之上，是学生与分数的第一次接触。从整数到分数，对学生来讲不仅是知识面的拓展，更是数概念的一次扩充。当前，教材将分数的各种定义分散在各个年级完成，却始终没有明确告知学生：分数是一个数。
回顾自然数的学习，学生是在熟悉了自然数作为“量”的属性之后，再来学习“倍的认识”，体会自然数“率”的意义。而在“分数的初步认识”中，通过把一个蛋糕平均分成2 份，每份是这个蛋糕的
。这个
代表的是“率”而非“量”，这对理解分数是个“数”有阻碍，也与学生原有的经验割裂。
于是，我们思考：站在学生的角度，“分数的初步认识”到底该认识到哪？对于一个概念的“胚胎”而言，它将是后继学习的重要生长点。
二、课中慎思：站在学生的角度，寻找“概念胚胎”的生长点
1.寻找衔接概念经验的生长点。
学生学习新知的时候，如果这个新知是与原来经验吻合的，那么学生就容易接受，反之，如果需要另起炉灶，学生的学习就会相对慢一些。那么，关于分数的初步认识，学生的已有认数经验是什么？学习新知的生长点在哪里？显然，学生在自然数学习中积累的数学活动经验是学习新知的最佳经验生长点。
片段一：认识“半个”——
个
（1）干预到分娩前，统计并比较两组患者妊娠期血液粘稠度、红细胞压积、24小时尿蛋白定量、S/D、RI值。抽取患者空腹静脉血，送检验科，采用全自动血液分析仪、全自动生化分析仪检测血液粘稠度、红细胞压积、S/D和RI值，留取患者早晨8点到次晨8点尿液，送检验科，分析24小时尿蛋白定量。（2）干预到分娩前，测量并比较两组患者收缩压（SBP）舒张压（DBP）水平。（3）分娩结束后，统计并比较两组新生儿Agpar评分、新生儿窘迫、新生儿平均血糖水平。
师：把4 个月饼平均分成2 份，每份是几个？
非物质文化遗产蕴藏了丰富多彩的原生态民俗文化，是提供多元化具有文化历史价值艺术的宝库，维护了世界文化的多样性，对于传统文化的传承有着不可或缺的作用。此外，非物质文化遗产所具有的取之不尽的艺术元素，启示着现代民间艺术的创作，激发了现代艺术的发展与创新，维系了人类艺术的创造力，对促进社会的可持续发展起着源流性的作用。
毛叶山桐子（Idesia polycarpa Maxim.var.vestita Diels），又名水冬瓜、合色树、油葡萄、椅桐等，为大风子科山桐子属植物，是山桐子的一个变种[1-2]。毛叶山桐子树具有“空中油库”之称，作为有待大规模开发利用的植物油能源受到人们的高度重视[1-2]。在川、陕、甘交界的毛叶山桐子产区，人们利用毛叶山桐子果实榨油食用已有上百年的历史。毛叶山桐子果实和种子均含有大量油脂，均可榨油，且不需分离，其脂肪酸构成主要为亚油酸、油酸等不饱和脂肪酸，可通过加工制作为食用油资源[3]。
生：每份是2 个。
生：我发现，
是
的一半，
是
的一半。
生：0.5。
师：我们用“2”来记录分得的结果。现在有2 个月饼，平均分成2 份，每份是它的多少？是几个？
生：把2 个月饼，平均分成2 份，每份是它的一半，是1 个。
连续血液净化对脓毒症患者的IL-6、TNF-α及PCT水平的影响 …………… 钟 俊，等(11):1328
师：我们用“1”来记录分得的结果。如果把1 个月饼平均分成2 份呢？
生：把1 个月饼，平均分成2 份，每份是它的一半，是半个。
有邻居听到阿里的号声，跑了过来。最先来的是细婆。细婆端了一碗热干面，大声说：“阿里，看，细婆给你送热干面来了。”
师：这半个还能用以前的1、2、3 这样的数来表示吗？
随着互联网技术和泛在技术的发展，人们的生活节奏也越来越快，“与时俱进、终身学习”是这个时代对人们提出的要求，而碎片化及个性化学习也逐渐受到学习者们的青睐。泛在学习强调任何人在任何时间、任何地点、基于任何计算设备获取任何所需的学习资源，享受无处不在的学习服务，符合人们碎片化、个性化、终身化学习的需求。对学习兴趣不高、学习能力较弱、自觉性相对较差的高职学生来说，课堂学习效果可能并不理想，在不久的将来，泛在学习将成为他们的一种重要学习方式。泛在学习要成为现实，构建无处不在的随时可以获取的学习资源是核心问题。
生：不行了。
师：那么，半个可以用一个怎样的数来表示呢？
生：把4 个月饼，平均分成2 份，每份是它的一半，是2 个。
师：为什么想到0.5，你在哪里见过它？
生：报纸上，超市里……
师：半个确实可以用0.5 来表示，还可以用其他的数来表示吗？（生板书：
）
用图形表示要分的物体，并折一折、涂一涂，找到
个图形；通过提问，巧妙沟通关系，在数学上也可以说成是一个圆的
。在此过程中，充分体现作为“量”的分数（带单位）到作为“率”的分数（不带单位）之间的转换过程，并引导学生参与这个过程，结合动手操作和课件演示，引导学生从视觉化表征转向言语化表征。
在生活中，学生对物体的“一半”并不陌生，所以将教学的起点建立在“一半”的生活经验基础上，通过“分月饼”找到4 个月饼的“一半”是2 个，2 个月饼的“一半”是1 个，1 个月饼的“一半”是半个。这样的引入，将“经验”与“数学”衔接，“半个”不能用1、2、3……这样的数来表示，需要引入一种新的数表示事物的量，如此，引发认知冲突，让学生感知“分数”产生的实际意义。
在揭示“半个”就是
个后，通过学生举例，不断丰富感知，建立“
”这个数的模型，理解“分数是一个数”，它和以前的自然数1、2、3……一样，表示物体的“多”和“少”。
陆抑非（1908—1997），名翀，初字一飞，江苏常熟人。早年师从李西山、陈加盦，后游于吴湖帆门下，1937年由吴湖帆改字“抑非”，后以抑非字行。上世纪四五十年代，陆抑非先生在沪上与唐云、江寒汀、张大壮有“江南花卉四才子”的美称，与陆俨少、陆维钊并称浙江美术学院（中国美术学院前身）“三陆”。陆抑非先生不但是花鸟画大家，也是一位杰出的艺术教育家，在国画教育领域勤勤恳恳耕耘六十余年，桃李满天下。
这样的教学过程与自然数的学习相吻合，当学生完成内在的数学活动经验衔接后，也就意味着找到了学习分数的“最佳经验生长点”。
2.寻找凸显概念本质的生长点。
分数强调的是部分与整体的关系，如何凸显分数这个概念本质，找到一个最佳生长点？只有将抽象概念与学生已有知识经验建立有层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽象模型、具体活动之间寻找意义与数学化的过程，他们才能把握分数本质。
片段二：认识“*的一半”——*的
4.提出深化行政体制改革。“创新行政管理方式，提高政府公信力和执行力，……严格控制机构编制，减少领导职数，降低行政成本。”
师：我们能不能用一个图形来表示我们要分的物体？
生：正方形、长方形、圆……
进而可以确定第一、第二、第三、第四主成分得分的回归模型，即各主成分的特征向量与各原始指标标准化后数据的乘积之和，根据主成分计算公式(Fi=a1iX1+a2iX2+……apiXp,i=1,2,……m)，可得到4个主成分和原11项指标的线性组合：
师：把你的
个圆举起来给大家看看，为什么大家折的都是个圆呢？
生：因为我们都把一个圆平均分成了2 份。
师：你总结得真好，这一份是
个圆，这一
份也是
个圆。由此，你想到了这一份是这个圆的——
生1：一半。
生2：
。
生：因为都是把正方形进行对折，也就将正方形平均分成了2 份。
生：因为是把正方形竖着对折了。
师：把正方形对折也就是把它平均分成了——
生：平均分成2 份。
师：还可以怎么折，也能找到正方形的
呢？
学生举出下图中的例子。
师：涂色部分形状不同，为什么都是正方形的
呢？
回过头去看，一月份上证指数继续延续上升趋势，在大蓝筹的托底下节节攀升至3587点的高点，随后调整500点，大盘单季下跌4.18%。如果继续用券商2017年的策略，买入大白马然后持股待涨，没有把握好节奏，基本上一季度不会有超额收益。
师：数学上，像“一半”这样的关系，我们也可以说成是它的
。涂色部分是这个正方形的多少？你是怎么知道的？
师：半个还可用“
”这样的数表示，见过它吗？它是我们数家族中的新朋友，叫分数（板书课题），这个数读作：二分之一。
从图2可知：角尺度的分布频率右略大于左，角尺度分布频率近似正态分布。林分的平均角尺度为0.5486，说明林分整体分布格局为聚集分布。林分中角尺度等于0.5所占的比例为 60.19%，说明林分中林木个体分布格局多为随机分布，角尺度分布频率为很均匀的林木为0株，均匀分布的林木所占比例为15.24%，聚集分布的林木所占比例14.47%，极强聚集分布的为10.09%。究其原因，林分中各树种为天然更新，各树种多为随机分布，但因部分树种更新时由根部团状萌发，或低分枝成聚集状，因此林分整体分布格局表现为聚集分布。
3.寻找深化概念理解的生长点。
要完整准确地把握分数这个概念的本质，最终还是要让其转化成一个对象，即“分数本身是一个数”，要让学生体会分数是可以数的，分数是有大有小的。
三是签订《家政服务三方合同》。通过签订三方合同，明确家政服务员、家政服务客户、家政服务公司三者之间的权利义务，切实保障员工获得劳动报酬和休息休假等合法权益。
片段三：积累经验、深化认知（数一数分数）
师：通过刚才的学习，我们知道了分数是一种数，它可以数，下面就让我们一起数一数吧。
生：一个
，两个
……；一个
，两个
……；一个
，两个
……。
师：竖着看，你发现了什么？
师：每份分得同样多就是平均分。这2 个是4 个月饼的？是几个？
师：你是怎么看出来的呢？
生：我是通过观察图形。
师：如果从大小的角度来说，
和
比，谁大呢？
生：我觉得
比
大。
师：那么
和
比呢？
生：
比
大。
师：你能给它们排排队吗？
师适时板书：
。
利用1 个长方形、1 个正方形、1 个圆……从这些图形从“分实物”过渡到“分图形”，在此环节中，通过两个层次的对比，在“不同”中寻找“相同”——折法不同、平均分成的份数相同，涂色部分都是这样的1 份，用相同分数表示；不同形状的图形，从
类推出
，它们分子相同，分母不同，但都是“平均分”得到的。在充分感知、操作、归纳、抽象的基础上，学生对“分数的认识”由具体上升到抽象，对几分之一的含义掌握得比较扎实。
师：继续想，你还能想到几分之一？大小怎么样？
生1：我想到了
，
比
小。
生2：我想到了
，
比
小。
…………
师：也就是说，平均分成的份数越多，每一份就越——
生齐呼：越小。
交叉方式有多点交叉和单点交叉[8]，前期需要多点交叉来产生大量的个体保证粒子的多样性，在算法迭代前期使用，单点交叉在迭代后期使用防止多点交叉破坏优良个体。
师：我们再横着看，你发现了什么？
生1：我发现两个
是一样大的。
生2：我发现两个
合起来是1。
师：（课件演示）受此启发，你还想到了什么呢？
生1：我想到了4 个
是1。
生2：我想到了8 个
也是1。
师：数着数着，我们发现分数是有大有小的，那你能在这条数直线上找到它们的家吗？瞧，这里是1，那么，
这个数在哪呢？你怎么想的？
生：
是1 的一半，在0 和1 中间。
师：说得有理有据。那么
又在哪里呢？谁来指一指？
生指，课件演示。
通过数形结合“数一数”，将自然数的数数经验迁移，初步感知，分数也是数单位的累积。将分数通过数形结合数一数，并落到数轴上，充分体现了分数作为数的本质属性，学生的思维得到了进一步的发展。再结合“比一比”“找一找”将分数纳入“数”的知识体系中。最后，学以致用，把生活融于数学，把知识融于生活，体会数学的应用价值。
三、课后反思：“初步认识”还能走得更深更远
张奠宙教授在文章中曾对“分数的初步认识”这一知识点的教学提出两点改进建议：首先要从问题驱动入手，明确为什么要学习分数，并且明白分数是有大小的数；其次是在分数的认识学习历程中应该对分数的大小有适当的描述，这样在比较分数大小时才不显得突兀。笔者在教学中依据这两点建议从学生的角度找准“概念胚胎”的生长点，引导学生一起研究分数的来龙去脉和本质属性。这样的教学，学生对概念的理解不再是单向封闭的，他们会触类旁通地联想与延伸，从而使概念学习走得更深更远。
【中图分类号 】G623.5
【文献标志码】 A
【文章编号】 1005-6009（ 2019） 73-0058-04
（作者单位：江苏省无锡市锡山区实验小学）
标签：概念论文; 分数论文; 生长点论文; 江苏省无锡市锡山区实验小学论文;