用高观点统领基础复习课中的知识回顾与组织活动——以人教A版第三章“概率”复习为例，本文主要内容关键词为：组织活动论文,第三章论文,为例论文,概率论文,人教论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在基础复习课中，知识的回顾与组织既是知识运用的基础，也是深化知识理解、优化认知结构、发展数学素养的需要，是把知识经验转化为思想和观念的需要.由于基础复习课中学习对象是先前学习过的，具有重复性，因此，要想在基础复习课中既充分利用知识经验的熟悉性开展教学，又克服重复性学习对学生学习积极性带来的负面影响，同时使学生体验数学思想方法，形成知识的新理解，产生新的思想观念，提升复习课的发展学生数学素养的过程性目标，则必须用新的视角、以更高的观点审视已有的知识经验，建立知识之间的广泛联系，在知识联系和知识网络扩展中提高认识.另一方面，由于基础复习课特别是章节复习课的知识点多，联系广泛，导致基础复习课的设计困难，许多基础复习课变成了“习题课”、“缩略版的新授课”和“低水平的‘知识堆砌’课”，要克服基础复习课的上述现象，需要教师用自己对数学及其思想的深刻理解，用高观点统领基础复习课的知识回顾与组织活动，提高复习课的教学效率.所谓用高观点，指的是用体现数学本质的核心思想分析初等数学中的知识及其相互关系，并用这种思想指导下的知识联系作为组织知识网络的基础框架.
一、基于课例的分析——基础复习课中的弊病举隅
1.忽视知识的回顾与组织，把基础复习课上成习题课
这是一种比较普遍的现象，在一次青年优秀教师的复习课教学比赛中，要求教师进行概率这一章的基础复习教学，在四节课中，有两位教师把复习的重点放在了古典概型和几何概型问题的概率计算上，而且是为了计算而计算，没有体现两种概率模型的模型思想.他们能够通过概率计算问题引导学生回顾不可能事件、随机事件和必然事件，回顾概率的概念，但是没有重视两种概率典型模型的建立过程，在解决问题中没有引导学生进行从实际问题到概率典型模型的抽象，没有引起学生对频率与概率关系的充分重视.
2.在基础复习课中“带着学生看电影”，或者把基础复习课变成新授课的缩略版
在这次比赛课中，有两节课关注了学生的知识回顾，但基本上还都是对教材中知识的简单重复性回顾，缩略化梳理.
课例A
（1）创设情境，引入课题.
教师从球类比赛中用抛硬币决定场地和发球权选择为线索，提出游戏的公平性问题.指出“公平”指的是事件发生的概率相等.
（2）分析游戏，回顾知识.
教师给出问题：袋中装有大小相同的若干小球，从袋中不放回地取球，下面游戏公平吗？
游戏1：袋中有2个球，取1球，取到红球则女生胜，取到白球则男生胜.
借助这个开放性问题，教师组织学生回顾随机事件等相关概念：不可能事件、必然事件、随机事件.
游戏2：袋中有4个球，2红2白，先取一球再取另一球，如果取出的两个球同色，则男生胜，取到不同色则女生胜.
学生会计算概率，但不知道为什么可以这样求.
教师讲解：这个问题中，基本事件是有限个（6个），而且基本事件都是等可能的，因此这是一个古典概型问题，可以采用古典概型求概率的方法.
接着，教师引导学生回顾古典概型中概率的求法：
游戏3：袋中有4个球，3红1白，先取1球，再取1球，如果取出的球同色，则女生胜；如果取出的球异色，则男生胜.这个游戏公平吗？
然后，教师引导学生回顾事件之间的关系：互斥关系、对立关系、并关系、交关系、包含关系等.
（3）练习巩固.
教师提出问题：什么叫对立事件？
一学生回答：概率的和为1的事件叫对立事件.
教师进一步进行纠错性追问：概率的和为1的事件是对立事件吗？我举一例：掷三次骰子时，掷出1或4或6点的概率是
，掷出的点数全部是偶数点的概率也是，这两个事件的概率的和为1，它们是对立事件吗？
学生齐声回答：不是！
教师总结：对立事件的发生的概率的和为1，但概率和为1的两个事件不一定是对立事件.
练习：袋子中有大小相同的红球5个，白球3个，设A表示“3个球全不是红球”，B表示“3个球全是红球”，C表示“三个球不全是红球”.则下列结论成立的是（ ）.
（A）A与C互斥
（B）B与C互斥
（C）A，B，C三个事件中任何两个都不互斥
（D）A，B，C三个事件中任何两个都互斥
游戏4：有两个转盘，如果指针指向B区域是女生胜，否则，男生胜（如图1），游戏公平吗？
教师引导学生回顾几何概型相关知识.几何概型特征：基本事件有无限个；每个基本事件等可能.
概率计算公式：
（4）样例选讲.
例一个袋子中装有完全相同的10个小球，这些小球上分别标有1，2，3，4，…，10这10个数字，依次从袋子中取出2个小球（不放回），求取出的两个小球上数字是相邻整数的概率.
教师没有开始讲就下课了.于是教师中断例题分析，草草小结，展示自己组织的知识结构图.
本课例能从学生喜欢的游戏公平性判断入手，比较细致地进行了知识的回顾，但缺乏学生独立的知识组织活动，同时，所有知识都是从游戏到游戏，回顾起来的知识没有组织成具有较高观点或思想方法统领的知识结构，本课例中，“教师带着学生看电影”的现象明显，学生在复习课中只有被动的原来知识经验的重复性再现，没有形成对原有知识经验的新的认识
课例B
教师用下面问题引入复习活动：某商场要在圣诞节期间进行抽奖活动，请你设计活动方案，基本要求是：大奖的中奖率是1%，其余99%为小奖，大奖的价值为400元，小奖的价值为2元.
当学生说出“用100个小球，1红99白，摸到红球中大奖，摸到白球中小奖”后，教师进一步提出，“能否减少球的个数，设计新方案”，但又让学生在课后解决新问题，转而与学生一起按照“事件——概率——频率与概率关系——古典概型——几何概型”的次序进行知识宏观梳理（结果如图2），引导学生把书读薄，引导学生在简单练习中补充知识结构.
在知识梳理过程中，设置如下例题.
例1下列说法是否正确？
（1）试验100次得到的频率比试验90次得到的频率更接近概率；
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正反面的概率都是0.5，所以抛两次硬币一定有一次正面朝上和一次反面朝上.
例2柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，试求下列事件的概率，并说明它们之间的关系.
（1）取出的鞋不成对；
（2）取出的鞋都是左脚的；
（3）取出的鞋都是同一只脚的；
（4）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成对；
（5）取出的鞋成对.
教师设置本例题的目的是引导学生辨别大量独立重复试验中事件出现的频率与事件发生的概率之间的关系.
本课例，教师组织了学生的知识回顾活动和师生共同的知识组织活动，重视了学生的学法指导，而且在教师的引导下知道了本章知识结构的框架.但这种知识回顾缺乏认知线索的支撑，而且是随机回忆，被动组织.学生只是想到了这些知识，由于缺乏数学思想方法的灵魂，学生的学习的低水平重复现象比较明显.在基础复习课中，引导学生把书读薄是重要的，但是，“把书读薄”并不只是“把书缩略”，而是要引导学生用新的观点重新对相关知识进行信息加工，形成知识及其相互联系的新理解，提升观点，发展思维.
二、对概率概念的再辨析
在《普通高中数学课程标准（实验）》的教学建议中，指出概率教学的核心是让学生了解随机现象与概率的意义，在古典概型的教学中重点是让学生理解古典概型的特征和把实际问题转化为古典概型问题，教学的重点不在如何计数上.
1.对概率意义的再辨析
首先，概率是刻画随机事件发生可能性的一种度量，是随机现象的数量化研究.学习古典概型和几何概型这两种典型的模型，是为概率的公理化定义提供具体的典型模型，为今后进一步学习概率理论打基础的.
随机现象是可能发生也可能不发生的事件，但在大量独立重复试验中，随机事件发生是有规律的，而概率论正是研究这种随机现象统计规律的科学.
定义：概率是定义在σ代数上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数.
如果从概率的这一公理化定义来理解，概率不过是集合的规范化测度，而由规范测度性质
A
，0≤P（A）≤1，P（Ω）=1，可得P（A）=
.这样，对于是样本空间Ω的某一具体子集A（事件A）而言，P（A）=，是子集A与集合Ω的某种度量的比值.因此，事件A发生的概率（如果存在的话）可以理解为两个集合A和Ω的同种度量的比值.如果Ω是一个有限集，则可以用集合中的元素个数作为度量的工具，如果Ω是度量空间，则概率可理解为Ω中子集的度量与Ω的度量的比值.前者与古典概型相联系，后者与几何概型相联系.如果能把这种思想结合集合的文氏图渗透到概率的复习中，则既能使两个概率基本模型建立本质的联系，使知识结构更简约，又能使知识联系更直观，同时，可以让学生更直观地联系事件的相互关系（事件的相互关系本质上是集合之间的关系，当然能用集合的文氏图直观地表示）.
3.对频率与概率关系的思考
从概率论的角度认识这种关系，涉及贝努利大数定律：如果
是n重贝努利试验中事件A出现的次数，p是每次贝努利试验中事件A发生的概率，对于任意给定的
.这里
就是在n次试验中事件A出现的频率，所以，大量独立重复试验中，频率稳定于概率，不是频率等于概率，也不是频率以概率为极限，而指的是当相互独立的试验次数足够多时，频率偏离概率的可能性越来越小，频率依照概率收敛于概率，即
.也就是说，不论试验次数有多大，频率偏离概率的情况还是可能出现的，但只要试验次数足够多，则出现这种情况的可能性就能任意小.
三、本课知识回顾与组织活动改进建议
1.学情分析
随机现象与概率是课程改革中新增的学习内容，这是概率决策应用的广泛性对公民数学素养要求的必然反映.在新课程中，小学、初中、高中都要学习概率，但由于学生认知发展阶段的限制，对概率学习的要求也是逐步提高的.在初中阶段，学生学习了必然事件、不可能事件和随机事件，初步了解了随机现象，知道概率是描述随机事件发生可能性大小的量，可以用频率估计概率，但对频率和概率之间的关系认知并不清晰，对事件之间的关系、古典概型和几何概型这两种概率的基本数学模型的特征并没有清晰的认识，也没有明确事件之间的关系.在高中阶段，既需要进一步加深对概率意义的认识，比较频率与概率的区别与联系，了解古典概型和几何概型的基本特征和概率计算方法，用集合的观点认识事件之间的相互关系.
在高中概率的新课学习中，学生经历了概率概念、两种典型的概率模型、事件之间关系的认识过程，获得了概率意义的理解.基础复习课中，需要教师用新的、更贴近概率本质属性的理念设计复习教学活动，用体现数学本质、贯穿数学基本思想的认知线索组织学生的知识回顾、知识组织和知识应用活动，统一概率的概念和两种基本概率模型，使学生在新的、更高的观点下重新审视概率的相关知识，建立新的理解，形成新的认识；用集合观点和图示化策略组织复习课教学，既能帮助学生建立简约的知识联系，又符合了视觉加工效率高于语义加工的脑科学原理，通过图示与意义标注相结合的方法充分整合信息加工方式，促进学生用更高效的信息加工方式——视觉加工与语义加工相结合的方式进行复习加工活动，提高基础复习课教学的效率.
2.概率研究中的核心数学思想
与确定性数学相比较，概率是不确定性数学研究的基本工具，有了概率概念，我们可以把握随机现象的统计规律，进行科学的决策.概率思想的核心是用确定性数学工具研究不确定的随机现象.古典概型和几何概型是两种典型的概率模型，它们是概率的公理化抽象的基础模型，在这两种典型的概率模型中，蕴含了概率研究的模型思想，学生求实际问题中的古典概型和几何概型概率，实际上是根据实际情境建立概率模型的过程.频率和概率的关系是联系统计与概率的纽带，是承载用统计这种确定的数学工具研究不确定的随机现象这一概率研究的基本思想的核心知识.所以，在复习概率时，如果用概率研究的公理化思想、统计思想和模型思想贯穿相关知识的回顾与组织活动中，则既能用集合的相对度量视角统一认识两种基本概型（目标事件集与样本空间全集的度量之比）及事件关系（集合运算关系），又能初步建立频率和概率之间的本质联系，使学生对知识的内涵获得更清晰、更简约、更本质的理解，也能使学生获得更深刻的概率思想的体验.
3.本课的知识回顾与组织活动设计改进建议——用高观点统领知识的回顾与组织活动
可以用摸球为活动背景，提出问题：袋中分别装有大小相同的若干小球，从袋中不放回地取球，下面游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平.
游戏1：袋中有4个球，取1球，取到红球则女生胜，取到白球则男生胜.
（1）以此问题为线索，回顾三种性质的事件：必然事件、不可能事件和随机事件.
在此问题中用集合文氏图（如图3）描述基本事件、样本空间和目标事件的关系（如袋中的球2红2白）.
（2）如果袋中只有红球，则“女生胜”为必然事件；“男生胜”为不可能事件，如果袋中的球2红2白，则上述两事件都是随机事件——回顾三类事件的意义.
（3）在此基础上回顾古典概型的基本特征（基本事件个数有限个，基本事件是等可能事件）、概率的计算公式.并归纳：从集合观点看，古典概型的概率是目标事件集合所包含的基本事件（元素）个数和样本空间所包含的基本事件（元素）个数的比值——集合之间同种度量的比值.事件A发生的概率（如果存在的话）可以理解为两个集合A和Ω的同种度量的比值.如果Ω是一个有限集，则可以用集合中的元素个数作为度量的工具，增加了集合的图示，可以让学生建立不确定的概率与熟悉的集合论的有机联系，便于用已有的知识经验加深对知识的理解，同时渗透了概率的公理化思想，还可以使古典概型与下面涉及的几何概型统一起来.也能使概率概念、事件关系与概率性质统一用集合观点进行重新统一认识，使学生能更本质、更简约地认识这些知识及其相互关系.
游戏2：袋中有4个球，2红2白，任取两球，如果取出的两个球同色，则男生胜，取到不同色则女生胜.
（1）用集合的文氏图描述基本事件、事件空间和目标事件的关系（如图4）：
用数字编号：红1——1，红2——2，白1——3，白2——4；
（2）直接用公式计算“男生胜”的概率；用事件的对立关系求“女生胜”的概率.由此引导学生回忆事件之间的相互关系：
事件A=｛男生胜｝=｛取出的两个球同色｝，
事件B=｛女生胜｝=｛取出的两个球不同色｝，
事件C=｛取出的两个球都是红色｝，
事件D=｛取出的两个球都是白色｝，
事件E=｛取出的两个球一红一白｝.
则A，B是互为对立事件，A∪B=Ω，A∩B=
，B=
；P（A∪B）=P（A）+P（B）=1；
B，C是互斥事件，C∩B=，P（C∪B）=P（C）+P（B）；
C和D是互斥事件，A=C∪D，C∩D=，P（A）=P（C∪D）=P（C）+P（D）.
（3）再次归纳：从集合观点看，古典概型的概率是目标事件集合所包含的基本事件（元素）个数和样本空间所包含的基本事件（元素）个数的比值——集合之间同种度量的比值.
游戏3：有两个转盘，如果指针指向B区域，则女生胜，否则，男生胜（如图5），游戏公平吗？
教师引导学生回顾几何概型相关知识.
几何概型特征：基本事件有无限个；每个基本事件等可能.
概率计算公式：
（1）用集合的文氏图描述基本事件、事件空间和目标事件的关系（如图6）：
（2）归纳：几何概型概率是目标事件（子集）的面积（度量）和样本空间（基本事件全集）的面积（度量）的比值——集合之间同种度量的比值.
由此，进行总的归纳：事件的概率是样本空间的子集和全集之间的同种度量的比值.
事件A发生的概率（如果存在的话）可以理解为两个集合A和Ω的同种度量的比值.如果Ω是一个几何度量集合，则可以用集合中的度量（如线段长度、面积、体积等）作为集合度量的工具，使几何概型与古典概型统一起来.增加了集合的图示，可以让学生建立不确定的概率与熟悉的集合论的有机联系，便于用已有的知识经验加深对知识的理解，同时渗透了概率的公理化思想.
游戏4：频率与概率的关系.不知道袋中有几个球，只知道只有红和白两种颜色的同规格的球，从袋中摸一球，怎样确定摸到红球的概率？
采用反复实验，用频率估计概率的方法确定概率的近似值.
（1）回顾频率的意义、频率与概率的关系：前者是后者的近似值，后者是前者的稳定值（事实上，用频率估计概率是用大量独立重复试验中对事件发生的概率进行统计学上的归纳估计，而概率本身是对事件发生可能性大小的数量刻画，是特殊的集函数，是演绎体系中的基本概念）.
（2）对“概率是频率的稳定值”进行辨析：大量实验的过程中，频率会逐步稳定于某一数值，这一频率的稳定值可近似地看作事件发生的概率.
（3）通过若干问题辨析，加深学生对“频率稳定于概率附近”意义的理解.
①某种彩票中大奖比率为
，那么买10000张彩票就一定能获得大奖吗？买一张彩票就一定不获大奖吗？
②抛硬币试验，抛100次得到的正面朝上的频率比抛90次得到的频率更接近于硬币正面朝上的概率吗？
（通过本练习，辅之以教师的讲解，让学生认识“大量重复试验中，事件发生的频率稳定于概率”的意义，频率稳定于概率既不是越来越接近于概率，也不是以概率为极限，而是发生频率偏离概率的现象的可能性越来越少.从而深化对概率与频率关系的理解）.
（4）设计有关概率意义和基本性质理解的辨别性练习.
①我们知道，不可能事件的概率为0，那么概率为0的事件是否一定是不可能事件？概率为1的事件是否一定是必然事件？
②我们知道对立事件的概率和为1，那么概率和为1的两个事件是否一定是对立事件？请举例说明.
在上述知识回顾的基础上，让学生把这种新观点下所获得的知识进行组织梳理，按照自己喜欢的方式进行记忆，并通过相互交流，优化认知结构.引导学生记录自己对概率知识的新认识和体会.最后，在教师的引导下形成知识结构图（如图7）.
上述改进建议中，首先，尊重了学生的认知规律，从学生比较熟悉的问题出发，以摸球问题为背景，引导学生在解决问题中回顾知识，这有利于知识的顺利提取；其次，这种知识回顾过程不是低水平的重复，而是用概率的公理化思想——代数上的规范测度的观点设计的知识回顾与组织活动，用集合相对度量的观点统一认识两种典型的概率模型——古典概型和几何概型，既使相关知识在新的高度上得到统一，建立本质的联系，又使知识的组织整理结果具有简约性；第三，通过教师讲解和学生练习，进一步理解频率与概率的关系，渗透了用统计这一确定性数学工具研究概率的思想；第四，由于用集合相对度量思想进行概率知识的组织整理，使概率基本性质和事件关系都可以统一用集合的图示描述，使事件关系和事件概率建立可视的联系，让学生用视觉和语义相结合的方式进行高效率的信息加工，提高了学生在复习课中的信息加工效率.
结束语：知识的回顾与组织是基础复习课中的核心认知活动之一.如果教师能高屋建瓴地认识相关知识及其思想方法，并经过从学术形态到教育形态的加工用以组织符合学生认知水平的知识回顾和组织活动，那么就可以促进基础复习课中学生对知识经验的新认识的生成，提升知识回顾与组织活动促进数学认知发展的教育价值.