再论培养学生的创新思维，本文主要内容关键词为：培养学生论文,创新思维论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本刊于2000年第4 期刊登了我们撰写的文章：《试论培养学生的创新思维》。这里，再就这一课题作进一步的研讨。
1 置疑是培养学生创新思维的基石
所谓置疑，就是根据教学的需要，恰当而巧妙地设置疑难问题，注重培养学生的问题意识，为学生创新思维潜能的开发奠定良好的基石。
置疑，对学生而言，必须要学生本人认为是一个问题。因而问题必须满足三个特性。一是接受性。这里，各人对问题的接受是有着各自的状况的，包括内部的动因和外部的动因，也可能仅仅产生于经受解答问题的欢乐愿望。二是障碍性。学生的最初的解答尝试没有结果，习惯上对问题的反映和处理问题的模式的失败。三是探究性。从前所述的个人状况迫使自己去探究新的处理方法。如果坚持问题必须满足上述三个特性，那么中学数学课本中的“习题”或“常规问题”应该叫做“练习”而不叫“问题”。它们并不都是真正的问题，因为在许多情况下，教师已经在课堂上提供了典范解法，而学生只不过是应用这种典范解法去解答一系列类似的“问题”。当然，有些困难的习题对大部分学生而言，也可能是真正的问题。但是，数学课本中的习题一般说来是为日常训练技巧等设计的。因而，一个好的问题应当具有以下特点中的某一些：第一，问题的解答中包含着明显的数学概念或数学思想或数学技巧；第二，问题能够推广或者扩充到其它情形；第三，问题有多种解法或证法。
置疑，对教师来讲，既是数学教学的重要环节，又是体现数学教师的教学艺术和综合素质能力。疑从何而生，问题从何而出？一般采取：研究文献著作，筛选有关问题；延拓发散思维，多方设置问题；综合分析资料，猜想提出问题；分析实际问题，抽象形成问题；注意信息检索，恰当选取问题。就中学数学而言，特别值得强调的是：延拓发散思维，是一个常用的、由一个基本问题拓展到多个问题的思考方法，其模式是：
一如，从基本问题出发提出更一般的问题。
例1 （1995年全国高中数学竞赛题）将平面上每个点都以红、 蓝两色之一着色， 证明：存在这样的两个相似三角形， 它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色。
题中的颜色只有红、蓝两种， 能否变为n （≥2 ）种； 相似比为1995能否变为任意正实数a；平面上的点能否变为空间中的点？ 经过研讨后，得出两个能证明的命题。
命题1 将平面上每个点以n（≥2）种颜色之一着色， 对任意正实数a，总存在相似比为a的两个相似三角形，并且每一个三角形的三个顶点同色。
命题2 将空间中每个点以n（≥2）种颜色之一着色， 对任意实数a，存在两个相互平行的平面，其上有相似比为a的两个相似三角形，并且每一个三角形的三个顶点同色。
二如，将基本问题的元和维数推广而成为新的问题。
2 反思是培养学生创新思维的沃土
我国儒家学说的创始人孔子曾经说过：“学而不思则罔，思而不学则殆”。又说：“举一隅而不以三隅反者，则不复也。”由此可见，“反思”即“举一反三”的衍伸。
反思，就是在解决数学问题以后，在得到了一种解（证）法以后，对解题的全过程进行自觉、深入、反复的思考，再看一看，想一想，检查一下解题过程的来龙去脉，逻辑上有无漏洞？解法是否正确？有无更好的解法？本解法有什么特点？还能应用于什么地方？能否将问题推广？能否将条件变化一下获得新的命题？这些新的命题是真或是假？想想做错题的原因，是知识掌握不准确，还是解题方法上的原因，是审题不清，还是计算错误等等。
反思，既是数学教学中的重要环节，又是培养学生创新思维的沃土，数学教师只要细心耕耘这片沃土，就能产生四个：“有助于”：一是有助于防止学生思考中的失误，因为这种失误是会经常发生的；二是有助于学生在数学思维中不受一解、一法、一式的限制，拓展思路，养成多向思维的习惯，培养思维的灵活性；三是有助于联想，能把与此有关的知识、方法联系起来，进而扩大和加强数学知识的联系网络，起到举一反三的作用；四是有助于发现新的方法和技巧，从已知发现未知的数学真理。
如，通过反思发现解题中的逻辑性错误。
例1 （1984年高考第五题）
如果让学生认真反思上述解法，便不难发现问题——高考解题中典型的“会而不对，对而不全”的“老大难”问题，其错误主要表现在逻辑上。
一是将①式变为②式时，两者不同解，对数的底除了大于0外， 还要不等于1，因而存在增根的可能，而且当1－d＝c时，果然有增根x ＝1。
二是解题步骤不完整。解方程的过程实质上是求必要条件的过程。对于本题中的超越方程。由于没有同解原理作保证，检验是必不可少的，题中“什么情况下有解”问的是“充要条件”，因此，要得本题的完整解法还应补充三点：
第三，将上述解代入原方程检验。
3 再创是培养学生创新思维的核心
所谓再创， 就是荷兰著名数学家和数学教育家H · 弗赖登塔尔（Hans Freudenthal 1906～1990 ）从数学教育的特点出发而提出的数学教学的一条原则——“再创造”原则。
弗赖登塔尔提倡按“再创造”的原则来进行数学教学，就是要求教师把“教”转换为“学”，把教师的活动转换为学生的活动，把感觉效应转换为运动效应，把“讲数学”转换为“创造数学”；就是要求教师为学生提供自由创造的广阔天地，让学生张开数学想象的翅膀任意翱翔；就是要求教师要不断地激励学生去再创造，创造出有关数学内容，提出自己的思想和认识，使课堂上呈现出人人畅所欲言的场面，充分发挥学生的主体作用。
著名数学教育家G·波利亚（Polya 1887～1985 ）对“再创造”思维作了维妙维肖的描绘：“一个突然产生的、展示了惊人的（处于戏剧性的重新排列之中）新因素的想法，具有一种令人难忘的重要气氛，并给人以强烈的信念，这种信念常常表现为诸如‘现在我有啦！’、‘我求出来了’、‘原来是这一招！’等等惊叹。”著名数学教育家斯托利亚尔对“再创造”教学作了阐述。他说：“完成了的数学的确是严格的演绎体系，但在其建立过程中，数学也像其他在发展过程中的任何人类知识一样：我们必须先发现真理然后再去证明它，我们应当先猜测到证明的思路然后才能作出这个证明。因此，如果我们想在数学教学中，在某种程度上反映出数学的创造过程，就必须不仅教学生‘证明’而且教学生‘猜测’。”让学生应用类比、联想、归纳等方法作出大胆‘猜测’，小心求证，进行再创造。
所谓类比，就是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它们在另一属性上也相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的方法。
例如，将勾股定理进行类比，可发现再创一系列结论。
所谓联想法，就是由一种思考对象而想到另一种思考对象的方法。其特点是通过形象的彼此连接而达到对事物的认识。
一般来说，联想由三部分构成：
其一是联想诱因，它是产生联想的触发点；
其二是联想结果，它是在联想诱因的激发下，通过适当的联想方式所得到的联想物；
其三是联想途径，它是体现联想诱因与联想结果之间的相当性的一条（或多条）客观存在的线路。
联想方法运用的关键在于根据联想诱因，寻求到一条达到目的联想途径。就数学联想来看，除有极少数例外情形外，联想诱因及联想结果一般都是数学的概念、命题、关系结构、数学思想、方法等。而联想的途径则是通过这些数学对象间的数学关联来勾通的。
联想是人类特有的思维能力，知识越多，经验越丰富的人，他的联想能力就越强，联想范围也就越广。
例如，有学生在作下题
将上式两边求导数，并令x＝1即可得证。
所谓归纳法，就是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理方法。它是特殊到一般的方法。按照它考查的对象是否完全而又分为完全归纳法和不完全归纳法。
例如，一位中学生在做一道数学题时，偶尔发现：把一个自然数表示为若干个连续自然数的和，有多少种表示（分拆）方法。
观察15＝1＋2＋3＋4＋5＝4＋5＋6＝7＋8，共有三种分拆方法；而15的约数有四个：1，3，5，15，由3＝4－1知，15的分拆方法等于它的约数个数减1。
再观察30＝4＋5＋6＋7＋8＝6＋7＋8＋9＝9＋10＋11，共有三种分拆方法，虽然30的约数有8个：1，2，3，5，6，10，15，30，但其奇数只有四个，由3＝4－1知，30的分拆方法数等于它的奇约数个数减1。
经过若干次试算观察，他用不完全归纳法提出猜测：
（1）若N为奇数，将N 分拆成若干个连续自然数之和的方法等数于N的约数个数减1；
（2）若N为偶数，将N 分拆成若干个连续自然数之和的方法数等于N的奇约数的个数减1。
虽然，这个问题是数学上早已解决了的问题，但是，这种发现再创的思维是极为可贵的。
综上可见，通过置疑提出问题，通过反思深化问题，运用类比、联想、归纳再创问题，经过推演解决问题。因此，置疑——反思——再创既是一个相互作用相互影响的有机整体；又是一种新的教学模式。我们相信这种模式对培养学生的创新思维将起重要作用。