英国国家数学课程标准介绍（Ⅲ）——数学学习计划(2)，本文主要内容关键词为：数学论文,英国论文,课程标准论文,计划论文,国家论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
三、第三关键阶段的学习计划
在本阶段，学生们将会渐渐具有更强的责任心来计算和实施他们的活动；他们将进一步发展对分数、百分数和小数的计算技巧，并且开始理解运用比例推理的重要性；他们将开始自信地使用代数的方法和符号；他们将学会建立并解决简单的方程，并开始学习一次函数和相应的函数图像；他们将开始使用演绎来运演代数表达式；学生们还将从对图形和空间性质的初步理解发展到应用定义和推理来理解几何对象；当面对简单的代数几何证明时，他们将开始理解推理的论据；通过向他人解释自己的推理，他们将用口头或书面的方式来交流数学；他们将从实际活动中学习数据处理，并将有大量的概率方法被介绍进来；他们还将逐渐学会自信地、灵活地解决不熟悉的问题；他们还将发展对数学的积极态度，并逐步发现数学不同分支之间的关系。
1.学习目标：知识、技能和理解
在这一关键阶段，其主要内容包括“数与代数”“图形、空间和测量”“数据处理”三个部分。其教学应当做到：把数与代数，图形、空间和测量，数据处理等各部分之间恰当地联系起来。
(1)“数与代数”的学习目标
具体而言，在“数与代数”这一内容中包括使用并应用数与代数，数和数制，计算，解决数字应用问题，方程、公式和恒等式，以及数列、函数和图像等。
①在“使用并应用数与代数”方面
应教给学生：问题解决——(1)探索数学中的各种联系，以发展解决越来越难的问题的灵活方法，选择并使用适当的策略用以解决数字问题和代数问题；(2)在尝试解决复杂计算问题之前，应把它分解成较简单的一系列步骤；(3)使用不同的方法来克服困难，并评价所用策略的有效性；(4)选择高效的技巧来解决数字计算和代数运算等问题；(5)用心算来估计计算的结果，使用检查过程的方法来检测所得结果的准确性。交流——(6)用代数或图形的方式来表示问题及解答，用不同的方式来表示问题，以获得对问题的全面理解，在原始问题的情境下表述并解释问题的解答；(7)在解决问题时，发现对符号的表达方式、符号和图表的准确与经常的使用（习惯）；(8)对数学表达方式的选择进行批判性地检查、改进和证明，呈现一个简明、合理的论证。推理——(9)在代数情境中探索、确认并使用模式与对称，考虑特殊情形是否能被进一步地一般化，并理解反例的重要性，在解决问题时明确例外的情形，（敢于）做猜测，并在新的案例中对猜测进行检验；(10)在解决问题的时候，一步一步地把推导的过程展现出来，解释并说明我们是如何得到解答的；(11)辨别实例和证明；(12)认识在推导结果时，假设的重要性，认识所做假设的局限性，以及改变假设的效果很可能就是获得一个问题的解答。
②在“数和数制”方面
应教给学生，整数——(1)使用先前对整数和权重的理解，用以处理任意大的正整数并把它们四舍五入到一个给定的10的幂次方位上；理解并使用负（整）数，包括在数轴上确定它们的位置或相反的情况；给整数排序；使用因数（除数）、倍数、公因数、最大公因数、最小公倍数、质因数和质因数分解等词汇与概念。幂和根——(2)使用平方、正负平方根（要了解平方根符号仅表示了正平方根）、立方与立方根等术语；使用指数表示法来表示小整数幂，并同时使用指数运算规律来进行正整数的乘除法。分数——(3)使用分数表示法；理解等分数、通过消去所有的公因子来化简一个分数；通过公分母的方式来给分数排序。小数——(4)使用小数表示法，并认识每一个有限小数都是一个分数（例如，
等）；比较小数的大小。百分数——(5)理解“百分数”就意味着每一百份中的份数，并使用它来比较比例的大小；把百分数当作“许多个百分之一”来解释（例如，10%就是每一百份里有十份，y的15%就是15%乘以y等）。比和比例——(6)使用比的表达方式，包括把它化简到最简形式，以及它与份数表达方式的各种各样的联系；(7)了解何处需要用分数或百分数来比较比例，确认需要用比例推理来解决的问题，并选择准确的数来代表100%或作为一个整体。
③在“计算”方面
应教给学生：四则运算及其关系——(1)首先是整数的加减乘除，然后是任意数的加减乘除，用10的幂次方来乘或除任意数，用0到1之间的一个数来乘以或除以任何一个正数，寻找正整数的质因数分解；(2)使用括号和运算的分级，了解如何更有效地使用交换律、结合律和分配律来进行心算和笔算；(3)计算一个给定量的给定分数，并把答案表示成一个分数，把一个给定的数表示成另一种形式的分数，用公分母的方法来进行分数的加减运算，用短除法把一个简单分数转换成一个小数；(4)理解并使用把单位分数当作乘法的逆运算（例如，把乘以
当作除以5，或者把乘以
视为乘以6再除以7等（或者反过来）），先用一个整数来乘以或除以一个给定分数，然后是用一个单位分数或普通分数来乘以或除以一个给定分牧；(5)把一个整体的简单分数转换成一个整体的百分数，或者反过来，理解百分数作为运算因子的乘法的性质（例如，在150上打折20%就是(0.8×150)）；(6)按一个给定的比率分配一个量（例如，把15按1:2的比率进行分配）。心算方法——(7)回忆所有相加等于100的正整数对（例如，37+63=100等），回忆所有直到10X10的乘法事实，并使用它们快速地得到相应的除法事实，回忆2，3,4,5和10的立方，以及所熟悉的简单分数到小数的转化（例如，
等）；(8)四舍五入到最近的整数或一个有重要意义的数字，估计涉及小数的问题的答案；(9)发展一定范围内的心算策略，从已知的知识中获取未知的事实（例如，估计“260÷85”的结果），心算最多带有两位小数位的数的加减法（例如，13.76-5.12,20.08+12.4)，乘除最多带有一位小数位的数（例如，14.3×4，56.7×7），如有可能就使用因子分解法。笔算方法——(10)使用标准的竖式方法来进行整数和小数的加减运算；(11)使用标准的竖式方法来进行整数和小数的乘法运算，通过考虑相应分数的相乘结果来理解在何处确定小数点的位置（例如，由于
，所以，0.6×0.7=0.42），通过把被小数除转换成被整数除来解决涉及被小数除的问题；(12)使用高效的方法来进行分数计算，包括在进行计算之前约去公因子，要了解在许多场合下，只有分数才能表达精确的答案；(13)解决简单的百分数问题，包括增长和降低的问题（例如，简单利率、VAT、折扣、负增值、年通货膨胀率、收入所得税和回扣等）；(14)解决有关比和比例的文字（应用）问题，包括使用解决问题的非正规策略和整体的方法（例如，假设m件物品的花费是y，那么，一件物品的花费就是
，而n件物品的花费就是
，能够被买到的物品数量就是
）。计算器方法——(15)有效并高效地使用计算器；了解如何使用括号键入复杂的计算（例如，对于负数或不止一项的除法等复杂计算），了解如何键入一定范围内的计算，包括涉及测量的那些计算（例如，在其中1小时的分数需要被当作分数或小数键人的时间计算等）；(16)使用功能键求倒数、平方数、平方根、幂和分数（以及如何把一个分数作为一个小数来键入），使用固定键；(17)了解计算器的显示结果，并正确地解释它（例如，在钱财计算中，以及在已被计算器四舍五入后的显示结果的情况下等），而且要知道，对于一个计算的中间步骤是不能进行四舍五人的。
④在“解决数字应用问题”方面
应教给学生：(1)在各种各样的情境中，运用运算及其关系、简单的整数幂和相应的方根知识来解决涉及比和比例、一定范围内的测量与混合测量、米制单位，以及米制单位和英制单位之间的相互转换和集合等问题；(2)选择适当的运算、方法和策略来解决包括在需要一个更有效的解决问题的方法不明显的时候对其进行尝试和改进的情况下的数字问题；(3)使用多种检查程序，包括逆推和检验结果是否在一个正确量值范围内等方法；(4)在问题情境中赋予答案一个合适的精确度，考虑数据和测量精确度上的局限性。
⑤在“方程、公式和恒等式”方面
应教给学生：符号的使用——(1)区别代数中字母符号所起到的不同作用，了解方程中字母符号代表着确定的未知数、公式中确定的数量或变量（例如，V=IR）、恒等式中一般的和未确定的独立的数（例如，3x+2x=5x，或3(a+b)=3a+3b），以及在函数中利用已知量定义新的表达式或量（例如，y=2-7x）；(2)理解代数式的变形遵循并推广了算术运算律的使用范围，通过合并同类项、乘以一个单项式、提取单项式公因式和包括展开一个线性表达式的平方在内的两个线性表达式的乘积等来简化或对代数式进行变形，区别“方程”“恒等式”和“表达式”之间的不同涵义。指数表达方式——(3)使用指数表达式来表示简单的指数幂和符合指数运算律的简单例子，用正、负数代人表达式。方程——(4)建立简单的方程（例如，已知一个三角形的三个角为A,A+10°和A+20°，试求解A）；使用逆运算或者方程两边进行相同的变形来解简单方程（例如，5x=7,3(2x+1)=8,2(1-x)=6(2+x)等）。线性方程——(5)求解整系数线性方程，其中未知数出现在方程的某一边或两边；求解包括要先去括号、每一项都有负号和有负数解在内的线性方程。公式——(6)在数学和其他学科中使用公式（例如，三角形的面积公式、圆的面积公式和密度＝质量／体积的公式等）；把数值代入公式，推导公式并改变它的主项（例如，华氏温度和摄氏温度的互换，已知一个矩形的面积A和它的一个边长1求其周长等）。正比例——(7)建立并使用方程以解决涉及正比例的文字应用题和其他问题，并把方程的代数和它的图示联系起来。联立线性方程组——(8)把一个方程的代数解和它的图示联系起来，首先用图形法来求一对线性方程组的近似解，然后用消元法来求它的精确解，考虑无解或有无数解时的图形。不等式——(9)解只含有一个变量的线性不等式，并把解表示在数轴上。数字方法——(10)在没有简单的解析方法可用的情况下，借助ICT并使用系统的尝试和改进方法来求方程的近似解。
⑥在“数列、函数和图像”方面
应教给学生：数列——(1)构造常用的整数列（包括奇数列、偶数列、平方数列、2的幂次方数列、10的幂次方数和三角数列等）；(2)写出一个数列的前若干项，其中该数列的（生成或给定）规则可自然地从问题情境中抽取出来（例如，仅用1分和2分硬币来付款的不同方式数，或者一个来自有规则增长的空间模式之数列），求一个数列的通项公式（并用文字来表述）；(3)使用数列的项到项和位置（即项数）到项的定义产生数列的各项，使用线性表达式来表示一个算术数列的通项公式，并依据其产生的情境或活动来解释或说明通项公式。函数——(4)首先用文字然后用符号来表示函数，探讨简单多项式函数的性质；(5)使用平面坐标的约定，在所有四个象限里确定点的位置，了解方程y=m+c（当m，c的值给定的时候）在坐标平面上对应一条直线，绘制y的值完全由x的值直接给出的函数的图像（例如，y=2x+3），或者间接给出的情况（例如，x+y=7）；(6)构建真实生活情境问题中的线性函数，并绘制相应的图像，讨论并解释来自真实情境中的（函数）图像（例如，一个以恒定速度运动的物体的时间——距离图像）；(7)构建简单二次函数和三次函数图像上的点和图像本身。斜率——(8)求给定函数方程y=nx+c（当m，c的值给定的时候）所对应直线的斜率，研究平行线的斜率和垂直这些平行线的直线的斜率（例如，y=5x和y=5x-4表示平行线，并且其中每一条直线的斜率都是5，而且任何与这两条直线垂直的直线的斜率都是
）。
(2)“图形、空间和测量”的学习目标
在“图形、空间和测量”这一内容中包括使用应用图形、空间和测量，几何推理，变换和坐标，以及测量与构图等。
①在“使用并应用图形、空间和测量”方面
应教给学生：问题解决——(1)在几何学习中，选择并使用问题解决策略和包括ICT在内的各种资源，并监控它们的有效性；(2)选择并组织已知事实和问题解决策略，以解决复杂问题；(3)识别解决问题所需的更进一步的信息，把复杂问题分解成一系列的（小）任务。交流——(4)解释、讨论并综合以各种形式所表示的几何信息；(5)利用几何图表和相关的解释性文本来数学地交流；(6)使用精确的语言和确切的方法来分析几何结构；(7)回顾并评价对数学表达方式的选择。推理——(8)辨别实践演示、证明、约定、事实、定义和推导性质之间的异同；(9)使用数学推理来解释和证明推论和演绎过程；(10)探索几何中的联系，提出条件限制型语句“如果…那么…”，使用“如果…那么会怎样？”或“为什么？”等形式来提问；(11)在解决几何问题时一步一步地呈现推导过程；(12)陈述约束条件，并在做推导的时候给出推理的出发点；(13)辨别所做任何假设的局限性，理解（任何）改变假设的结果都有可能获得对问题的解决；(14)在解决几何问题时要辨别例外情况。
②在“几何推理”方面
应教给学生：角——(1)回忆并使用周角、平角（包括直角）、垂线和对顶角的性质；(2)区别锐角、钝角、反射角和直角，用“度”来估计角的大小。三角形和其他直线型图形的性质——(3)使用平行线、内错角的同位角，理解平行四边形的性质和三角形内角和为180°的证明，理解三角形的一个外角等于另外两个内角和的证明；(4)使用等边三角形、等腰直角三角形的角的性质，通过认识何时两个三角形是全等的（条件）情况来理解全等，解释为什么任何四边形的内角和都是360°；(5)使用矩形、平行四边形和三角形的知识，从矩形的面积公式出发来推导平行四边形和三角形的面积公式；(6)回忆包括正方形、矩形、平行四边形、梯形和菱形在内的特殊四边形的本质特性，通过它们的几何特征对四边形进行分类；(7)计算并使用三角形、四边形、五边形和六边形的内、外角和，计算并使用正多边形的角；(8)理解、回忆并使用“毕达哥拉斯”定理（即勾股定理）。圆的性质——(9)回忆圆的定义，以及包括圆心、半径、弦、直径、周长、切线、弓形、扇形和弧等在内的有关述语的涵义，理解圆上任一点的切线都垂直于过该点的半径，解释为什么过圆心且垂直于弦的垂直平分该弦，理解圆的内接正多边形可以通过等分圆周来得到。三维图形——(10)探索长方体（包括正方体)以及由它所构成的图形的几何（特性）；(11)使用三维图形的二维表示，并通过包括平面图和正视图在内的二维投影图和截面图来分析三维图形。
③在“变换和坐标”方面
应教给学生：变换的涵义——(1)理解旋转是由一个中心和一个（逆时针方向的）角来刻画的，使用直角、圆周角的分数或度数来测量旋转的角度，理解反射是由一条镜面直线来刻画的，平移则是由一个方向和距离来刻画的，而伸长则是由一个中心和一个正比例因子来刻画的。变换的性质——(2)认识并想象包括二维和三维图形的反射对称和二维图形的旋转对称在内的旋转、反射和平移，通过平移、旋转和反射等来对二维图形进行变换，认识到这些变换保持长度和角度不变，所以，任何图形与它们在这些变换下的像都是全等的；(3)认识、想象并构建对像的伸长：先是使用比1大的正整数比例因子，然后是比1小的正比例因子，理解通过这种伸长（包括缩短）可知任何两个圆和正方形都是数学地相似的，但是，一般说来，两个矩形不是相似的；(4)认识伸缩变换保持角度不变，但不保持长度不变，明确一个伸缩变换的比例因子是任何两条对应线段的长度之比，并把它应用到三角形之中，理解伸缩变换对周长的影响，使用并解释地图和比例绘图，理解伸缩变换对面积和体积的影响。坐标——(5)使用术语“一维”“二维”和“三维”来理解一个坐标确定直线上的一个点，两个坐标确定平面上的一个点，三个坐标确定空间中的一个点，使用轴线和坐标来确定所有四个象限中的点，由给定坐标来确定点的位置，算出由几何信息所明确的点的坐标（例如，已知一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(2,1)、(-7,3)和(5,6)，试求第四个顶点的坐标），给定A，B的坐标，计算线段AB中点的坐标和AB的长度。
④在“测量与构图”方面
应教给学生：测量——(1)解释包括时间和质量测量仪器上的刻度，了解使用实数表示的测量数据依赖于测量单位的选择，意识到给定到最近整数单位的测量数据很可能是不准确的，它可能在测量数据
的范围内变化，把测量数据从一种单位转换成另一种单位，了解英镑、英寸、英里、品脱、加仑与米制的近似量，对日常情境中一定范围内的测量做出合理的估计；(2)使用相关语言来理解角度测量（例如，使用方位来确定方向）；(3)理解并使用包括速度和密度在内的复杂测量。构图——(4)测量并绘制以毫米为单位的线段和以“度”为单位的角，使用直尺和量角器来绘制给定边角条件的三角形和其他二维图形，通过构图经验来理解给定了SSS,SAS,ASA和RHS的三角形是唯一确定的，而给定SSA的三角形则不是唯一确定的，由给定的条件来构建立方体、正四面体、底面是正方形的四棱锥和其他三维图形；(5)使用直尺和圆规来进行标准的构图：给定一条边的等边三角形、给定线段的中点和垂直平分线、过一点（包括在已知直线上和不在已知直线上）垂直于一条直线的垂线和一个角的平分线。测量术——(6)计算矩形的面积、回忆矩形的面积公式、理解数方格与矩形面积公式的由来之间的关系，回忆并使用平行四边形和三角形的面积公式，使用三角形和矩形面积公式来计算简单图形的表面积，计算由三角形和矩形组合而成的图形的周长和面积；(7)计算长方体的体积、回忆长方体的体积公式、理解数立方体与长方体体积公式的由来之间的关系，计算直棱柱的体积以及由立方体和长方体组合而成的几何体的体积；(8)计算圆的周长和面积，回忆相关公式；(9)在面积测量和体积测量中进行单位的互换，包括平方厘米和平方米之间的互换、立方厘米和立方米之间的互换。轨迹——(10)既通过推理又通过使用ICT来产生图形和路径，以便找出轨迹。
(3)“数据处理”的学习目标
在“数据处理”这一内容中包括使用并应用数据处理，明确问题和计划，收集数据，处理和表达数据，以及解释和讨论结果等。
①在“使用并应用数据处理”方面
应教给学生：问题解决——(1)实施数据处理圈（①明确问题和计划：根据必要的数据来系统地陈述问题，并考虑从数据中可能做出什么推论，决定收集什么样的数据（包括样本本小和数据设计）和考虑需要什么样的统计分析；②收集数据：从包括实验和调查、第一手资料和第二手资料在内的广泛而合适的资源中收集数据；③处理和表达数据：把原始数据转换成可资利用的信息，从中我们可以洞察问题的实质；④解释和讨论数据：通过从数据中推断出结论来回答原初的问题。）中四个方面的每一个来解决问题；(2)明确进一步所需要的信息以追求一个特殊的调查方案；(3)对于一项（特殊的）任务，选择并组织合适的数学和资源；(4)工作时进行（过程性的）进展评价，检查并评估解答。交流——(5)解释、讨论并综合以各种形式所表达的信息；(6)利用图表和解释性文本来进行数学地交流；(7)批判性地检查和说明对涉及数据的问题的数学表达方式的选择。推理——(8)应用数学推理，解释并说明推断和推理；(9)探索数学中的联系，分析数据时寻找原因和结果；(10)了解任何假设都有局限性，而且（任何）改变假设的结果都有可能获得来自数据分析的解答。
②在“明确问题和计划”方面
应教给学生：(1)注意随机过程是不可预见的；(2)确认可以用统计方法来阐述的问题；(3)讨论数据是怎样与问题相联系的，辨认偏差的可能来源，并计划把它降低到最小；(4)确认所要收集的第一手资料以及它们的形式（包括分组数据，考虑合适的等组距等）；(5)设计一项实验或调查，以决定需要使用哪种第二手资料。
③在“收集数据”方面
应教给学生：(1)设计并使用数据收集单来获取分组的离散和连续数据，使用包括观察、控制性实验、数据记录、问卷调查表和（访谈）调查等在内的各种方法来收集数据；(2)通过第二手资料来收集数据，包括印刷好的表格和来自基于ICT的资源的表单；(3)为离散性数据和分组数据设计二维表格。
④在“处理和表达数据”方面
应教给学生：(1)使用纸张和ICT来绘制并构造分类数据的圆形图和连续数据的图表，包括时间序列的直线图、散点图、频率图和树图；(2)计算小型离散数据集合与连续数据集合的平均数、范围和小位数，确认分组数据的众数类型；(3)使用概率或比例；(4)理解并使用来自理论模型中的概率和测量与估计，包括等可能性结果或相关频率等；(5)使用系统的方法，列举出单个事件和两个连续事件发生的所有结果；(6)明确（所有）不同的彼此相互独立的结果，以及所有这些结果发生的概率的总和为1；(7)使用分组数据来寻找大量数据集合的中位数，并计算其平均的估计值；(8)绘制感官上最合适的直线图，并理解它们所表示的含义。
⑤在“解释和讨论结果”方面
应教给学生：(1)把概括、总结好的数据与原初的问题联系起来；(2)解释一个较大的范围内的图形和图表，并做出结论；(3)观察数据以找出模式和例外；(4)使用分布图和平均数与范围内的测量数据来比较分布和做出推断；(5)评估并检查结果，回答问题，如有必要则修改方法；(6)对直观性要有一个基本的理解；(7)使用最合适的直线图；(8)在解释涉及不确定性和预测的结果时使用概率的词汇；(9)比较实验数据和理论概率；(10)理解如果重复实验，可能而且会常常得到不同的结果，而且不断增加样本的容量会导致对概率和总体特征的更好估计。
2.学习范围：背景、活动、学习领域与一系列经验
在这一关键阶段，应通过以下活动和任务教给学生知识、技能和理解：(1)确保学生对包括比和比例在内的一定范围内的问题使用标准程序（更加）熟悉和自信的活动；(2)能够使学生（更好地）理解代数是数的一个扩展的活动；(3)解决熟悉和不熟悉的问题，包括在一定范围内出现的算术的、代数的和几何的情境中的多步问题，以及以开放型和封闭型的形式出现的多步问题（的活动）；(4)在代数和几何中发展（学生）短序列的演绎推理和证明的概念（之活动）；(5)聚焦于几何定义的活动，在其中学生们能够运用几何对象进行实际的操作，以发展他们想象这些几何对象并对它们进行心智操作的能力；(6)实践工作，在其中学生们能够通过数据做出推断，以及思考统计学是怎样运用于实际生活并做出有根据的决定的；(7)一系列的活动，它们阐述了不断增长的需要统计处理的问题；(8)集中使用合适的ICT的任务（例如，数据段、数据库和几何或图形包等），准确而有效地使用计算器的任务，以及何时使用一个特殊技术形式的了解任务。
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