图形折叠中“有图”和“无图”条件的实验研究_直线方程论文

图形翻折中“有图”与“无图”条件下的实验研究，本文主要内容关键词为：条件下论文,无图论文,有图论文,实验研究论文,图形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、问题提出

      近年来，图形翻折问题成为各地中考、各区县数学模考的热点.此类题题型多样，从考查学生直接运用折叠相关性质的说理计算题，到空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题.而综合题中，从给定完整的图形，到给定包括对称轴在内的部分图形，再到只给定一个大图形或无图，考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日益明显，这样的要求导致学生的错误率愈加严重.为此，笔者一直在教学实践中思考：学生到底会出现哪些错误？这些错误是怎样产生的？能不能有一些行之有效的解决方法？于是笔者以“学生在解决图形翻折中‘有图’与‘无图’条件下产生的错误”为内容进行了对比性实验.

      二、实验设计

      （一）实验研究对象

      某中学2014届九年级某班全体学生共32名.

      （二）实验时间安排

      整个研究分两次进行.第一次是2013年11月11日，5道题目给出了完整的图形，用时40分钟.第二次是2014年1月10日，5道题目未给图形，用时60分钟.两次测试都放在初三第一学期进行，因为此时学生的知识储备比较完整.

      （三）研究过程与方法

      笔者采用的是前后对比的实验研究.笔者采编了5道图形翻折的题目（详见实验测试试题），每题20分，共计100分.主要考查三角形、矩形等图形的翻折与勾股定理、相似三角形、三角函数、图形面积等知识的综合运用.为了减少干扰，增强实验的可比性，两次测试前后间隔了两个月，并选取同一个班级的学生进行测试，采用同样的5道题目，但是题目的顺序、题目中的字母、数据都做了相应的改变.两次测试，教师都要求学生写出关键步骤，题目无图时要求学生在卷面上画出图形.目的是通过测试，研究学生在给定完整图形和无图的条件下，对于解决图形的翻折问题会在哪些地方出现怎样的错误.

      三、研究结果的统计分析

      （一）数据统计

      对两次测试中各题的错误率、平均分和得分方差进行了统计.

      （二）在“有图”条件下的错误归因分析

      1.数据分析

      前3题仅个别学生发生错误，平均分比较高，方差较小，说明学生对于解决这三题的情况比较好，学生与学生之间的平均分差距较小.第4、5两题，平均分骤降，第4题降了3.8分，第5题降了6.9分，方差也明显增大，第4题增加了56.3，第5题增加了81.7，说明学生的得分波动较大，学生与学生之间的得分差距拉大了，分数起伏加大.

      2.主要错误

      图形翻折前后的对应边、对应角找错或者不会找，有些学生甚者不知解决此类问题要从“对应边、对应角”入手.

      （1）第1题（如图1），沿线段DE翻折后，认为∠ADE=∠DEF.

      （2）第4题（如图2），通过翻折发现∠C′DB=90°，C′D=BD，却找不到BC′与BC之间的数量关系.

      （3）第5题（如图3），知道△BAB′是等腰直角三角形，求出B′C=2

-2后无从下手.

      （4）第4、5题分别有9%、16%的学生空白，无从下手.

      

      3.产生错误的原因

      （1）第1题，知道图形翻折后对应角相等，但是对于“如何对应”有些模糊，这样将错就错证出四边形DECF是平行四边形，从而得出错误答案.

      （2）第4题，学生不善于观察、联想，不会从要求的两条线段之间的数量关系，反之来寻找已有的线段间的数量关系，对出现的等腰直角三角形的三边数量关系意识薄弱.

      （3）第5题，学生没有继续探究，其实根据已知条件，当△ABE沿直线AE翻折后，就可得到五个等腰直角三角形（即△ABE，△AB′E，△BAB′，△CFB′，△ADF），而重叠部分的面积恰恰就是其中两个等腰直角三角形面积之差.再仔细观察后不难发现，实质上是两个全等的直角三角形（连接AC，△ACE，△ACF）的面积和.

      （4）第4、5题，不善于利用翻折图形的性质与已知条件的综合知识解题.

      （三）在“有图”条件下的改正措施与教学建议

      1.正确理解和熟悉翻折图形的概念及其性质

      （1）概念

      ①一个图形沿一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴.

      ②平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴.

      （2）性质

      ①对应线段的长度和对应角的大小相等.

      ②互相重合的部分是全等图形.

      ③连接两对称点的线段被对称轴垂直平分.

      2.善于在图形翻折的运动变化中寻找不变量

      图形翻折问题应将“数形”转化作为解决问题的突破口.翻折就是“形”的变化——全等形；翻折就是数量相等——线段之间、角与角之间的数量关系.翻折就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁.教学时，要引导学生总结出解决此类问题的策略：先弄清对称轴（折痕），明确图中哪些线段相等（重合），哪些角相等（重合），哪些图形全等（重合），然后找出线段间的数量关系，最后利用勾股定理、相似比或三角函数列方程，完成“数”与“形”之间的转化，进而求得其解.

      （四）在“无图”条件下的错误归因分析

      1.数据分析

      与“有图”时相比，“无图”时每一题的错误率、平均分都下降，方差加大.尤其是第2题的平均分骤降8.13分，方差加大了86.33，是原来的8倍多.第3题的平均分降5.63分，方差加大了73.38，是原来的7倍多.说明学生完成这两题的得分波动很大，学生与学生之间的得分差距大.第5题，方差相距小，但方差数值都很大，而平均分又降了4.4分.说明此题在“有图”、“无图”条件下，学生的得分波动都很大，但是在“无图”时的错误继续增大.

      2.主要错误

      （1）图画正确，学生却无从下手.

      （2）第2题，学生画出图后，①如图4，折痕交EF于点G，过点G作GH⊥ED于点H，得GH//DF，由点G是EF中点，得点H是ED中点，从而认为点P是线段HD的中点，求得DP=1.②如图5，学生认为△FDP沿PF进行了翻折，点D落到了线段EF上的点G处，且有PG⊥EF，从而错误得出△FPD∽△EFD.

      

      （3）第5题，学生画出△ABM沿直线AM翻折后，如图6，点B的对应点N落在了线段BC上，得

.

      

      （4）学生不会画翻折后的图形，有的甚至不会画图，像这样的问题在第2题中达19%，第5题中达22%.

      3.产生错误的原因

      （1）学生不会利用翻折图形的性质解题.

      （2）学生所画图形太随意，无意中画成了特殊图形，导致自己理解错误.

      （3）考虑条件不全面，翻折后的图形画得不正确.

      （4）缺乏利用翻折图形的特征画图的能力.

      （五）在“无图”条件下的改正措施与教学建议

      1.重视学生动手操作，合理设计配套练习

      在学生正确理解和熟悉概念的基础上，要注重学生画图能力的培养.教师可以对现有的图形翻折练习进行修改，或出现完整图形，或出现部分图形，或无图，要削弱学生对完整图形的依赖性，提高动手操作的能力.

      2.处理好多媒体演示与学生动手操作的关系

      信息技术高速发展的时代，多媒体以其鲜艳的色彩、生动的画面吸引着学生的注意力，在课堂教学中起到了很好的辅助作用.尤其是在几何教学中，它能快速而又正确地画图，能变换出一系列的变式图形，帮助学生理解题意，提高了教学效率，深受教师和学生的青睐.但是，这样做却无形中削弱了教师的示范作用和学生的画图能力，以及图形翻折的想象能力等.因此，教师要适时合理地使用多媒体，不要过分依赖现代化技术，要多发挥教师在画图方面的示范作用，只有重视每一个学生的动手操作能力，才能真正提高学生理解几何图形的能力.

      3.画出正确的图形（草图），开阔解题思路

      学生通常习惯于画草图，尤其是在考试时.但草图也并不能乱画，正确的图形有助于正确地分析问题，而错误的图形往往会把思路引向错误的方向.

      （1）在画图时应仔细审题，不漏看一个条件，也不放过任何一个细微的用词变化.例如：“直线、射线、线段、延长线”……

      （2）要注意画草图的细节问题，并及时提醒学生哪些需要注意.例如第二次测试的第2题，题目中已知“∠D=90°”，未告知其他任何条件，就别把它画成等腰直角三角形或30°的直角三角形.还有题目要求画30°的角就不能画成45°的角，等等.

      （3）当面对题目毫无思路的时候，可以画一张标准图形，虽然会浪费一些时间，但有助于拓宽思路，可以通过观察直观图形，进行猜测并加以验证，同时也可以通过度量出一些线段的长度或角的大小，进行证明或计算.

      实验测试试题

      第一次测试

      1.如图7，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF等于________.

      2.如图8，已知在三角形纸片ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，如果将这张三角形纸片折叠，使点A与点B重合，折痕交AC于点M，那么AM=________.

      

      3.如图9，在矩形ABCD中，点F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的E点处，若AB=3，BC=5，则tan∠EFC的值为________.

      4.如图10，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把∠ADC沿AD对折，点C落在点C′的位置，则BC与BC之间的数量关系是________.

      

      5.如图11，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABC沿AF所在直线翻折后得△AB′E，那么△AB′E与四边形AECD重叠部分的面积是________.

      

      第二次测试

      1.在锐角△ABC中，∠C=70°，M、N分别是两边AB、AC的中点，将∠ABC沿线段MN翻折，点A恰好落在BC边上的点P处，则∠PNC等于________度.

      2.已知△DEF中，∠D=90°，DE=4 cm，DF=3 cm，如果将这个三角形折叠，使点正与点F重合，折痕交DE于点P，那么DP=________cm.

      3.AP是△ABC中BC边上的中线，∠APC=135°，把∠APB沿AP翻折，点B落在点Q的位置，则CQ=________BC.

      4.在矩形ABCD中，点P为边AB上一点，沿CP翻折，点B恰好落在AD边上的点Q处，若AD=3，DC=

，则tan∠APQ的值为________.

      5.在边长为

的菱形ABCD中，∠D=45°，AM为BC边上的高，将△ABM沿AE所在直线翻折后得△ANM，那么△ANM与四边形ADCM重叠部分的面积是________.

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