圆锥曲线中值得注意的四类弦，本文主要内容关键词为：圆锥曲线论文,四类论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
圆锥曲线的弦是考查直线与圆锥曲线位置关系的重要知识背景。因此，抓住圆锥曲线的有关特征弦，是解决这类问题的关键所在。
本文拟通过实例，来总结圆锥曲线中四类弦的特征及应用。
一、原点弦与圆锥曲线的对称性
圆锥曲线都是轴对称图形，特别地，圆、椭圆和双曲线又是中心对称图形。当它们的中心在原点时，若其对应弦也过原点，则其弦也是关于原点成中心对称的。在解决与过原点的弦有关问题的时候，应充分关注它的对称性的应用。
例1 （2008年全国卷Ⅱ理科第21题）设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)、(0，1)是它的两个顶点，直线y=kx(x＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点。
评析 此题中弦EF是过原点的弦，这一条件往往显而易见，但却又极易在解题中被忽视。对这样的条件若不给于足够的重视，思维就会受阻，如本例中两问的解决都依赖于对称性的应用。
二、焦点弦与曲线的第二定义
对于椭圆、双曲线、抛物线，若它们的弦过焦点，则焦点弦由两个焦半径构成。这时，焦点弦的长度可以通过圆锥曲线的第二定义与弦的两端点到准线的距离联系起来，并进一步与弦的两个端点的坐标相联系。
评析 问题解决的关键在第(2)问，由于弦AB过了椭圆的左焦点，这样一来，可以把AB分成AF和BF两段。依据椭圆的第二定义，它们分别与
以及
联系起来，从而和已知直线的倾斜角取得联系。这种方法具有一般意义，只要遇到圆锥曲线过焦点的弦的问题，要考虑的首要思维顺序就是和曲线的第二定义联系。
三、中点弦与点差法
曲线弦的中点坐标与弦所在直线的斜率以及端点坐标之间有着密切关系。若曲线所对应的弦与中点有关系，我们常把曲线两端点的坐标代入到曲线方程中去，然后把所得两方程相减，得到弦的中点坐标和弦所在直线的斜率之间关系，并把这样一种方法称为“点差法”。
评析 椭圆的弦AB过定点P，并且满足AP=λPB，所以点P与点A、B坐标之间的联系由这一向量条件决定，所以问题的解决依赖于向量条件的坐标化。
四类弦都与一个特殊的点联系，所以在认识该类问题时，关键是看弦所对应的点能够联系上曲线的什么特征，把这一特征挖掘出来是解决问题的首要任务。
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