高中生对负数大小关系的理解，本文主要内容关键词为：负数论文,大小论文,关系论文,高中生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出 历史上，数学家对负数大小关系的理解，经历了一个漫长、曲折的过程.希腊学者Thomaidis和Tzanakis曾对此作了考察[1]，表1总结了数学家的一些错误观点.
Thomaidis和Tzanakis就数轴上的序关系，对16岁希腊中学生进行了测试，以此检验数学概念的历史发展过程与今天学生的理解过程之间是否存在一定的相似性.研究发现，学生在面对新问题情境时会像历史上数学家一样加以处理，尚未学过该知识的学生所表现出来的历史相似性更为明显.尽管历史上数学演进过程与今天的课堂教学过程截然不同，但两个世界中存在某种程度的相似性，这种相似性为今天的教学提供了借鉴. 我们不禁要问：中国学生是如何认识数轴上负数的大小关系的？与希腊学生有何异同？本研究就是针对上述问题展开的.一方面，希望本研究为教学提供参考，另一方面，也希望在已有历史相似性研究（如文献[2][3][4][5]）案例基础上，积累更多的案例. 二、研究方法 我们采用Thomaidis和Tzanakis的测试工具[1]，选取贵州某学校高一、高三部分学生进行测试，测试时间为15～20分钟.表2给出了被试的基本信息.
被试所在学校在当地同类学校中属于中等水平，学生在晚自习时间完成测试卷，监考老师是任教本班级的数学教师.高一学生在本学期初已学过有关不等式知识.教材的重点内容是“不等关系与不等式”、“一元二次不等式解法”，高三学生已全部学完本知识点. 2.研究工具 测试卷由三个问题组成.
（3）如果a，b，c是三个负整数，存在一个最小的整数，使得a，b，c加上这个整数后均为正数，请问这个最小的整数是什么？ 对203名学生依次进行编号，按学生所用的策略对学生的解答进行分类整理、统计和分析. 三、研究结果 1.总体测试结果 表3给出两个年级的总体测试结果. 从表中可见，在第1题上，高一学生正确率接近50%，而高三学生的正确率明显高于高一学生，达到90%和85%.第2题的正确率明显低于第1题，两个年级学生的正确率、错误率以及部分正确的百分比也都相差不大，相比于第1题，本题正确率明显偏低.第3题的正确率急剧下降，但高三学生的正确率更高一些.整体上看，学生对于有理数的大小关系比较掌握并不理想. 2.对测试结果的分析 （1）第1题测试结果分析 本题是一道比较简单且常规的不等式问题，无论是高一学生还是高三学生，学生的求解策略比较单一，具体见表4.从表中可见，大部分被试均采用直接开方法，其次是因式分解法，而这两种方法也是课本中的常用方法.采用开方法的被试，正确率不高，仅为57.0%；采用因式分解法的被试，正确率为100%；另外极少数同学使用的求根法正确率也为100%.给出错误答案的被试中，很大一部分由
＞9直接得出x＞±3，这种错误与历史上数学家波尔查诺、阿贝尔的策略类似. （2）第2题测试结果分析 本题属于非常规题，笔者从学生的任课教师那里了解到，学生刚刚学完不等式，一般只是解比较简单的不等式，类似于第1题.学生很少接触两边均有字母的不等式，操作起来有困难.学生的正确率不高，且高一和高三并没有很大差异. 下页表5给出了学生的回答情况.从表中可见，绝对值、分类讨论、开方法三种策略用得较多.采用绝对值策略的正确率高达97%，采用分类讨论策略的正确率仅为23.3%，而采用开方法或因式分解法的被试几乎都没有得出正确结果. 学生对x，y进行分类讨论时，只考虑x，y同时大于0或同时小于0的情形，而忽略了x，y位于0两侧的情形.因此，采用分类讨论策略的学生大多只获得了部分正确的结果.利用开方策略的被试，仅考虑正半轴情形，忽略负半轴及其他情形，这与希腊的部分学生类似；采用因式分解策略的被试仅将y当作正数来处理.
（3）第3题测试结果分析 本题属于非常规题目，具有一定的探索性，题中含有三个字母，没有确定的大小关系，学生的回答具体见表6. 由表6可见，被试基本上都直接给出描述性答案，只有小部分被试采用了分类讨论策略.给出部分正确答案的被试并没有给出具体的最小整数，而仅仅给出一个范围，认为所求数比-a，-b，-c都要大.学生可能不习惯用字母来表示具体的答案.出现最多的错误是-a-b-c或｜a+b+c｜.错误的主要原因是学生不善于处理不确定的量，分类讨论时对各种情形考虑不周全.这类问题对高三学生来说仍是一个障碍. 3.与希腊学生测试结果的比较 Thomaidis和Tzanakis的测试对象为两个班级56名16岁学生，他们都修读传统高中课程，每周上3小时的代数课程，内容涉及二次方程解法、二次方程根的性质和二次函数图象.被试分两组，均学过基本不等式知识，第1组被试（G1）即将学习一元二次函数的知识，第2组被试（G2）刚学完一元二次函数的知识，其测试时间为40分钟.表7为希腊学生的测试结果.
中国学生在第1～2题上的正确率相对较高，而在第3题上的正确率并没有比希腊学生高，说明学生在数轴上数的大小关系的理解上还存在较大的困难. 在第1题上，两国学生采用开方法和因式分解法都较多.利用开方法，两国学生由
＜9直接得出x＜±3，由
＞9得出x＞±3，与历史上波尔查诺、阿贝尔等数学家的观点类似；中国学生的比率稍高于希腊学生.希腊学生中，部分被试采用了文字叙述策略，而中国学生并没有采用该策略. 对于第2题，部分中国学生将y看成是正数来处理，或者只考虑正半轴情形，忽略负半轴情形，这与部分希腊学生答案类似. 对于第3题，希腊学生容易混淆a，b，c三个数中的最大、最小数，其错误与历史上牛顿等数学家的错误类似，而中国学生则几乎无此错误.很多学生并没有给出题中所求的最小整数，而是相当于给出一个范围，认为所求数比-a，-b，-c都要大，出现最多的错误是-a-b-c或a+b+c.本题中，希腊学生G1组的正确率是G2组正确率的两倍，但中国学生的表现刚好相反，高三组正确率是高一组正确率的两倍. 四、研究结论与启示 本研究表明，高中生在负数的大小关系上存在一定障碍，特别是当题中给出的是大小关系不确定的字母表示的量，而非确切的数字时，学生遇到很大困难.即便是分情况讨论，往往也会考虑不周全，出现漏解现象.究其原因，是教师在教学中对于确定数字的不等式介绍得比较多，而带有字母的不确定量的大小关系比较相对少.所以，建议教学过程中适当加入含有字母的不等式，从学生所用策略中，分析困错误成因，为教学服务，从而加深学生对这部分知识的理解. 从历史相似性观点来看，中国学生与希腊学生表现类似.对于刚学习这部分知识的学生来说，历史相似性较为明显，而对于已学习过这部分知识的学生来说，历史相似性几乎不存在.希腊学生在第3题上的回答反映出他们在比较负数大小时的困难，Thomaidis和Tzanakiss认为，一些学生的想法与牛顿、笛卡儿或欧拉相似.而中国学生在本题上并没有显示出历史相似性.对于第1～2题，学生的错误答案大多反映了历史相似性，这一点与希腊学生不同.Thomaidis和Tzanakis认为，过多的教学因素限制了学生对问题的解决，但中国学生并未表现出这一点.
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