课程特点#183;学生起点#183;知识基点——试析提高数学教学有效性的几个关键点，本文主要内容关键词为：几个论文,基点论文,数学教学论文,有效性论文,起点论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
课程特点、学生起点、知识基点是制约数学教学有效性的关键点.本文拟从这几个关键点的分析入手，初步探讨数学教学有效性提高的相关机制与策略.
一、整体把握课程特点
根据系统科学原理，数学课程系统是其要素（如数学教学目标、教学内容、教学方式与教学评价等）内部、要素之间及系统与外界环境之间相互作用所构成的有机体，整体性是其最基本的特性.比如，就构成课程教学内容的数学知识系统而言，其整体性一方面体现在教学内容这个要素与其他要素的相互协调，另一方面体现在知识系统内部的统一性和综合性，这种统一性是指各种不同的数学知识或理论在更高层次上达到统一，即统一于某种结构或某一观点，这种综合性是指数学知识系统之间的相互影响和相互渗透.数学课程系统内在的整体性要求数学教师必须要从整体上把握数学课程特点，只有从整体上把握了课程特点，教师才有可能创造性地整合课程内容、恰当地融合主体性的教学方法手段，才有可能更合理地开发或利用数学教材，才有可能对每一章节、每一堂课内容的地位、作用有深入的分析，对重、难点有准确的定位，也才能有效地突出重点、突破难点，合理地分配时间，才有可能引导学生用原有知识处理学习新任务，通过同化和顺应等心理活动的变化，构建和完善认知结构，把客观数学知识内化为相应的认知结构.
基于数学课程特点整体性的考虑，数学教学的有效设计应当是一个包含教学目标、教学过程、教学策略、教学评价等要素整体性的系统工程[1]，而就这些具体要素设计的前端分析而言，教师的视野也不应仅仅停留于传统的教材分析和学情分析，相反，应当充分考虑相关教学设计的依据.我们认为，在进行相应的教材分析和学情分析之前，教师首先应当对相应教学内容的数学进行深入的思考，对要完成的教育目标进行深入的思考，并在上述分析思考的基础上，认真地研究标准，研究标准的内容定位，研究标准的教学建议，研究标准的评价建议，据此，我们可以得到数学教学设计前端分析的一个参考模式（如下图所示）.
引导教师整体把握数学课程特点具有十分重要的现实意义.事实上，通过与一些一线的数学教师交流发现，数学课程改革后，他们在教学实践中产生了许多问题或困惑，有些不知所措.仔细分析可以发现，教师们的问题或困惑大多数源于他们没有能整体把握数学课程特点，比如，许多教师常常咨询笔者：课程内容和以往内容相比增加了很多，但是教学时间并没有增加，如何化解这种矛盾？有些新增内容，以前虽然学过，但毕竟时间长了，该如何把握？新课程内容有没有知识体系？如何把握这种体系？怎样才能科学地做好不同阶段学生学习的过渡衔接？有什么要求？今后高考考试制度会变化吗？究竟会不会有本质的变化？教学中发挥学生的自主性会不会被家长批评为教师不负责任？不补课，学生会不会吃亏？等等.显然，为妥善处理或解决这些现实问题或困惑，引导教师树立整体把握数学课程特点的观念不仅必要和重要，而且显得十分迫切.从某种意义说，整体把握了数学课程的特点，就掌握了解决这些问题或困惑的关键.
一般而言，整体把握数学课程特点应从如下几个维度入手：
（1）整体把握课程目标.比如，高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要.基于这个总目标，课程标准提出了体现高中数学课程追求和价值取向的六个课程目标，对此，我们应当予以完整地理解.特别地，我们应当看到，具体教学中关于知识技能、过程方法、情感态度价值观的三维目标本质上是一个整体，应防范和克服机械地、片面地认识与理解，而标准中关于“学生应提高和发展的能力”的明确要求在具体实施中也不能急于求成.这是因为，这些“应提高和发展的能力”不是一蹴而就，也不是一节课就能实现的，而是要在长期数学课堂教学实践过程中逐步培养、逐步渗透.
（2）整体把握数学素养.学生的数学素养形成于数学知识技能的获取、数学思想方法的体验和数学活动经验的积累，应充分认识不同数学活动成分所对应数学素养的特殊内涵[2]，并从课程角度进行整体分析、把握.以“待定系数法”这个思想方法体验的整体分析为例，我们应当看到，这种体验是渗透并贯穿于整个中学阶段的，这是因为，“待定系数法”这个基本思想方法是几乎贯穿中学数学课程始终的.在初中阶段，无论是方程、不等式，还是一些比较简单的函数（包括一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数），这些内容大都涉及到系数问题，为了能运用这些模型解决问题，就需要掌握待定系数的方法.在高中阶段，在方程、不等式、函数等内容方面，待定系数法还会进一步运用，比如学习三角函数、指数函数、对数函数、一元二次方程等内容的时候，待定系数法既是一种重要的基本技能，又是一个很重要的数学思想和方法.以数学活动经验的积累为例进行分析，我们应当看到，这种积累要经过“经历、内化、概括、迁移”这个整体的过程.首先，需要“经历”的过程，无论是生活中的经历、活动中的经历还是学习中的经历，对于学生基本数学经验的积累是必需的.但仅仅有经历是不够的，还需要学生在活动中充分调动数学思维，将活动所得不断内化和概括，最终迁移到其他的活动和学习中.
（3）整体把握数学课程内容.对此，应当注意：①认真关注课程的基本脉络或者主线[3].以现行高中数学课程为例，我们可以理出相应的函数主线、几何主线、算法主线、统计概率主线以及数学应用主线.这些主线将数学课程的内容有机地组合在一起，彼此联系，相互呼应，使得课程的成员众多但又和谐共存.②整体了解课程的知识结构，比如，对于一个高中文科数学教师，他应当有一个必修课程与选修1课程的结构框图，对于一个高中理科数学教师，他应当有一个必修课程与选修2课程的结构框图，而对每一位高中数学教师而言，他对选修3和选修4的结构图都要有一定的了解.③做好小学与初中、初中与高中的过渡衔接分析.一般地说，前一阶段数学教学是后一阶段数学教学的基础，后一阶段数学教学是前一阶段数学教学的深入和扩展.先后阶段既有相辅相成的一面，又有各自独立性.关注不同阶段学生学习能力的衔接，有利于对学生进行全方位指导，提高教学的适对性.从内容角度分析，作为教师应该了解学生在前一阶段学了哪些内容？要求到什么程度？哪些内容在后一阶段还要继续学习等等.做好小学与初中、初中与高中的过渡衔接分析除了要进行相关教学内容的要求对比、查漏补缺外，还应当了解不同阶段学生学习方法和他们的思维习惯，用发展而不是静止的观点，用接受与指导而不是拒绝的态度，用欣赏而不是批评的视角，真心实意去了解自己的学生.整体把握数学课程特点，不仅可以使教师站在一个制高点来处理问题，应对课程实施中的一些疑难，而且可以为教师更合理有效地实施教学提供有力保障.
二、细实分析学生起点
奥苏伯尔在其《教育心理学：认知观点》一书扉页中写道：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之曰：影响学生唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么.要探明这一点，并应据此进行教学.”显然，分析学生起点是源于教育心理理论的基本要求.从数学角度分析，分析学生起点更是掌握学科知识的必然要求，这是因为，对于具有严密逻辑体系的数学，其课程的知识教学存在着较明显的层次发展关系，前面知识的学习往往是后面知识学习的必要条件，如果不能细实地分析学生起点是不可能真正提高数学教学有效性的.因此，为了真正践行以生为本理念，改进教学方式和手段，提高数学教学有效性，教师应当自觉地关注学生对前面知识的学习情况，要根据学生原有知识状态进行教学设计，使数学教学活动建立在学生认知发展和已有知识经验基础之上.上述分析同时表明，所谓细实分析学生的起点在本质上就是细实地分析学生学习起点水平，也就是分析学生在学习新知识时原有知识水平和原有心理发展的适应性.
学生起点水平是教学的出发点，为了探明教学的这种出发点，应当注意分析学生学习新知识时已具备的知识基础、技能基础、思维基础、经验基础以及数学学习心向（指学生对数学内容的认识、态度），即分析学生学习起点水平要从这四个维度入手.分析学生学习新知识时的知识基础本质上是了解、判断学生原有认知结构的状态，及时唤醒与新知识相关联的旧知识，把待学的新知识内容与学生认知结构中原有的知识系统建立实质性的联系，找出学生对当前数学学习内容的“最近发展区”.怎样判断学生原有认知结构呢？美国康奈尔大学教育心理学教授约瑟夫·D·诺瓦克提供了绘制“概念图”的技术.“概念图”是一种知识结构的表现方式，知识被视为各种概念和这些概念所形成的关系（一般称之为命题和原理），其形式是一种网状的等级结构.由于学习上的差异，每个学生绘制的概念图也会各不相同.根据学生编制的概念图，教师可以判断学生原有认知结构的状态，从而确定教学的起点应该在哪里.分析学生技能基础通常采用加涅和布里格斯等人提出的“技能先决条件”的分析方法，这种方法是从终点技能着手，逐步分析达到终点技能所需要的从属知识和技能，一层一层分析下去，直到能够判断从属技能确实已被学生所掌握.例如，要学生学习解决，“如果
成立，那么，A，B，C应满足什么条件？”学生首先必须具有弦化切、再作恒等变形tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC的技能，最后学生要能够利用两角和的正切公式推导出tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立的充要条件是A+B+C=kπ（k∈Z）.分析学生的思维基础主要是分析学生思维的发展阶段与品质水平.根据皮亚杰认知发展阶段理论，我国中学生数学学习具有如下一些共同特征：第一，中学生的数学思维成分中形式化思维逐步占据优势，而且，发展到形式运演阶段，学生的自我意识与思维监控能力有了发展与提高；第二，中学生的思维发展具有阶段性，在初中阶段，学生的逻辑思维逐步形成，但仍需要直观感性经验的支撑，到了高中阶段，学生的抽象思维有了发展，他们能够摆脱直观、形象的具体内容进行各种思维活动.分析学生的思维品质，既要关注其广阔性、深刻性、批判性、灵活性、敏捷性等一般性的思维品质，又要注意分析其数学形态的思维品质、比如独立性、逻辑性、论证性、合理性等品质特性[4].学生走进课堂是带着各自的经验（数学经验、活动经验、生活经验等）走进来的，教师应当对这些经验的基础予以关注，比如，在数学方面学生以前做过什么？做到了什么程度？他在数学活动或者是在数学实验方面，曾经做过什么？在哪些方面学生已经做得比较好了？哪些方面学生还存在着什么困难？这种对于经验基础的分析有利于教师据此灵活处理教材.创造性地进行教学，使学习活动成为学生已有经验的总结和升华.学生健康的数学学习心向是数学教学活动得以有效展开的支持性条件.分析学生数学学习的心向本质上是分析影响学生数学学习过程中行为选择的内部状态，可具体分析其认知的、情感的和行为的不同成分.认知成分指学生对数学学习内容所具有的带有评价意义的观念和信念；情感成分指伴随认知成分而产生的情绪或情感；行为倾向是指学生对数学学习内容企图表现出来的相关行为意图.分析学生的数学学习心向可利用相关量表进行测量，也可以通过观察、谈话等方式进行了解.
三、有效夯实知识基点
数学知识基点是学生数学能力形成的基石，是促进学生数学理解的前提，它在本质上是指数学教育教学中优质的数学双基（数学基础知识、数学基本技能以及两者的基本拓展）.从认知的观点看，并非所有的教学内容都是数学双基.事实上，由于学习者习得的数学概念或命题、公式、法则最终要成为学习者认知网络上的相关结点，所以我们可以根据各个结点在网络中的相对地位（亦即联结的广泛程度）判定出它们是否非常重要，若是，则可称之为“基础知识”.基础知识有可能具有一定的现实原型，也有可能是超经验不具有普通的现实原型，即它可能是一种思辨形态的陈述性知识.类似地，由于技能在学习者头脑中是以“产生式系统”这种动态形式来表征的，所以按照各个程序或产生式系统得到应用的广泛程度，我们也就可以具体判断相应的技能是否是“基本技能”.显然，这种基本技能可能具有一定的现实原型，但不具有普通的现实原型，即它可能是一种超经验的程序性规则，数学基础知识与数学基本技能的拓展包含两个层次：双基模块和双基平台.双基模块是指通过变式方式串联成的数学知识组块，其构造方式为：首先是主要知识点经过配套知识点连接，成为“知识链”，然后通过“变式”形成知识网络，再经过数学思想方法的提炼，形成立体化知识模块.双基平台是指具有连接性、综合性或问题性的数学知识组件，这些组件是由相关模块组合、深化与发展而成，它们是可以跨越多个知识点的连接性平台（比如抛物线可以连接物理、代数、几何等不同学科领域），可以是促进知识联结的综合性平台（比如对于y=x+
的研究涉及解析几何、不等式、极值、对称、单调性等主题的讨论），也可以是问题研究的题型平台（如求参数取值范围，求定值、最值、建立数学模型，等等）[5].
基础不牢，地动山摇；基点可靠，枝繁叶茂.那么，如何才能有效夯实学生的数学知识基点呢？由于构成基点的数学知识既可能是表达数学事实的陈述性知识（包括数学概念、数学命题），又可能是表示操作或运演的程序性知识（包括运算法则、步骤、数学方法、认知策略以及各种数学技能等），还可能是上述两类知识中蕴含的基本数学思想以及揭示知识内在联系的逻辑方法，所以为了真正的有效夯实，应当注意根据不同类别知识的特点进行教学.比如，就夯实陈述性数学知识的基点而言，我们不仅要注意相关知识的甄别、筛选.确保知识的基础性，并帮助学生较好地去掌握这种具有基础性的知识，而且也应十分重视如何将甄别、筛选所得的基础知识与其他的知识联系起来，通过有效的教学帮助学生形成整体性的知识网络，简单地说，夯实陈述性数学知识的基点，应“谋其点，求其联”.类似地，为了夯实程序性数学知识的基点我们也应“谋其点，求其变”“弱其巧，强其通”.之所以说要“谋其点，求其变”，是因为相对于一般性技能而言，我们应当更加注意“基本技能”的教学，而为了帮助学生很好地掌握所说的基本技能，教学中又不应满足于简单的重复，而应帮助学生学会在各种变化了的条件下对各个基本技能的辨认和应用.之所以说要“弱其巧，强其通”，是因为真正实用的方法和技巧都是源于对概念本质深刻的理解和应用，都是源于概念本质又高于概念本质的通性通法，所以教学中要淡化、弱化一些特殊技巧的运用，强化通性通法的训练.
例如，对于这样一道问题：“若定义在R上的函数f（x），其图像的一条对称轴为x=2，则函数f（2x-1）图像的一条对称轴为______；函数f（
+1）图像的一条对称轴为______.”教学中，学生又可能想到利用“图像变换”“换元”等方法来解答.例如，利用图像变换的方法可能解答是：
，f（x）图像关于x=2轴对称→f（x-1）图像关于x=3轴对称→f（2x-1）图像关于
轴对称，但利用图像的平移和伸缩变换无法得到y=f（+1）的图像，所以这个方法并不是处理这类抽象函数性质问题的通性通法.利用换元的可能解答是：令t=2x-1，因为f（t）图像的一条对称轴为t=2，即2x-1=2，所以，故f（2x-1）图像的一条对称轴为.同理，对于f（+1），令t=+1，因为f（t）图像的一条对称轴为t=2，即+1=2，所以x=±1，故f（+1）图像的一条对称轴为x=1或x=-1.显然，利用换元还可以求函数f（
），f（
）等图像的对称轴，即这种方法不会因题目的条件与结论不同、情境不同而不适用，所以这种方法应当是数学教学中全力挖掘和追求的通性通法.当然，这种方法也仅仅是众多通性通法中的一种，教学中教师还应当鼓励和指导学生积累更多本质的通性通法.
由于一堂课的教学往往不是独立而是有前后联系的，所以，为了有效夯实学生的知识基点，教学开始时还应注意考虑是否需要复习以前的相关知识，并因此进一步明确相关概念内涵，廓清概念外延，掌握数学公式的形式结构特征及其蕴含的数学意义与作用.由于事实学生数学知识基点的目标不仅是了解数学中的事实和过程，还包括思考、推理和应用数学，所以教师应当指导学生在各种不同的情境中进一步深刻理解与运用数学知识.就概念的深刻理解而言，应当高度重视帮助学生认识相关数学概念或命题、公式、法则的典型现实原型，以及相应的“数学抽象”过程，这是因为，只有借助于实例，相应的概念或命题、公式、法则才会变得丰富、生动、直观、明了、体现有意义的学习，并因此避免让学生感觉是在空洞、无聊的“词汇游戏”中迷失数学的正确认知；也只有借助具体的抽象过程，教师才能更有效地帮助学生掌握相关概念或命题、公式、法则的本质，有助于学生将客观现实材料和数学知识的现实融于一体，实现“概念性的数学化”.就数学基本技能的运用而言，教师尤其需要注意培养学生对相应产生式系统的条件模式和条件线索辨认的能力，并因此学会判定在什么情况下可以以及应当如何去运用相关的技能.