夯实基础，拓展知识，深化思想，提升技能——从一道中考试题看学生应具备的数学能力，本文主要内容关键词为：夯实论文,应具备论文,技能论文,能力论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
又一年的学业考试落下帷幕.现结合2013年初中学业考试数学卷（衢州）第24题的答题情况和笔者在监考过程中看到的学生的答题欠缺，以及试后的调查情况，谈谈学业考试中学生应具备的数学能力. 题目（2013年浙江·衢州卷第24题）：在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2），C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒
个单位长度的速度沿射线OD方向移动，同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒， （1）当点P移动到点D时，求出此时t的值； （2）当t为何值时，△PQB为直角三角形； （3）已知过O、P、Q三点的抛物线的解析式为
，问是否存在某一时刻，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.
该题借助直角的平分线暗修等腰直角三角形，以大众化的双动点作为设问的基础，于平常中蕴藏着考查的各项指标和需求.从考场看，75%的学生用30分钟完成了前18题（全卷共24题），
的学生再用30分钟完成19～23题的大部分，很多学生用近一半的时间解答第24题，但未能如期完成，这个问题值得深思. 下面从几方面谈谈笔者的看法. 一、基本的数形结合能力 在初中，数形结合始于数轴，是乘法公式的有力验证工具（等面积图形变换），除函数及其图象的性质外，经典如求
的最小值的构造法及轴对称变换中的线段和最小问题，以坐标系最为常见. 此题也以坐标换长度，以∠AOC的平分线协同暗修等腰Rt△AOD，通题用“数”表“形”，以“形”带“数”，不离不弃，朴素踏实.（1）问“求当点P移动到点D时的t值”，解答如下： 因为在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（0，2）， 所以OA=2. 又因为∠AOC的平分线交AB于点D， 所以∠AOD=45°. 即△AOD是等腰直角三角形. 所以OD=
OA=2
所以t=2
÷
=2. 从考场看，（1）问解答完成较好，但还是有一些数学薄弱生未能解出.试后了解到原因主要是没有从“45°”领悟到△AOD的特性，没有把数与形结合起来，说明数学基础知识和基本技能的欠缺，这也要求课堂教学应关注全体，面向全体. 二、应变的“举一反三”和“举三反一”能力 当问题继续发展时，情况急剧改变，完整解答问题（2）的学生明显减少. 问题（2）由双动点牵入，是一道开放型探究问题.该问解答的缺失，原因在于学生在数学学习过程中“举一反三”和“举三反一”能力的缺失. 所谓举一反三，就是由此及彼，拓展延伸；举三反一，就是归纳总结，深化反思.这要求学生有扎实的数学基本功，能熟练应用基础知识、基本技能解决问题. 试后调查表明，很多学生没能把“△AOD是等腰直角三角形”和“点P从点O出发，以每秒
个单位长度的速度沿射线OD方向移动，同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动”看懂，没有发现“△OPQ是等腰直角三角形”，也没有发现“当点P与点D重合时，△PQB是等腰直角三角形”. 这种能力的缺失，其实与总复习过程中教师总是“一言堂”有关，学生缺少单独思考的时间和独立完成的空间，有些学生整整一个学期复习下来，连一道综合题都没有独立完成过，他们在独立的学业考试中又如何实现“举一反三”和“举三反一”呢？ 三、清晰的分类讨论能力 有一部分学生认识到“△OPQ是等腰直角三角形”，却又止步于此.他们对双动点牵引下的开放型探究题的唯一感受是“思绪如麻，犹如老虎吃天，无从下口”.这正是缺少了清晰的分类讨论能力. 分类讨论，可以理解为按照不确定因素中的若干特点分离问题，使问题更有规律，并就这一问题展开辨析，实现策略和方法的条理化、清晰化.其中的“不确定”可分为已知条件不确定和结论不确定.不确定性决定如何分类讨论. 此题（2）问可归结为结论不确定，即△PQB为直角三角形时直角顶点的不确定，导致这种不确定的根本原因是两动点P、Q相对于定点B的位置改变.那么，当t为何值时，△PQB为直角三角形呢？ 该问依赖于“在P、Q运动过程中，哪一个角可以为90°”.从下页图2（1）～（5）的运动过程看，∠PQB从钝角变为锐角，有可能为90°；∠PBQ经历了“锐角—钝角—平角（P、B、Q三点共线）—钝角—锐角”的变化过程，可能两次为90°；因为∠BPQ＜∠OPQ=90°，所以恒为锐角. 因此，解决上述问题，应分为两种情况讨论，分别是当∠PQB=90°时和∠PBQ=90°时，其中∠PBQ=90°时，又对应着两个不同的t值.
四、开阔的数学建模能力 分类清楚了，寻找解决问题的方法成关键.在初中阶段，求未知数的值的常见方法还是方程建模. 请看如下解法： 如图3，作PG⊥OC于点G，连接BP、BQ， 在Rt△POG中，∠POG=45°，OP=
t. 在等腰Rt△OPQ中，OG=PG=t，即点P坐标为（t，t）.
解得t=5±
. 综上可知，当t=2或t=5±
时，△PQB为直角三角形. 这样的解答，不仅需要清晰的分类，还需要更为开阔的数学方程建模思想.由“所问”想到“所需”，由“所需”想到“条件”，层层递进，这才是学生需要的能力，也是综合题的妙处. 五、指向性质的化归能力 从考场看，还有学生能完整解答前两问，只有少数学生能完整解答（3）问.这让我们反思教学中的化归思想的落实情况. 化归，简而言之，就是变生为熟，用自己掌握的方法解决问题.对学生而言，（3）问有“两”难：其一，含参数t的抛物线
，一看吓坏了；其二，不理解“将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在抛物线上”中的“某点”的含义.学生在这“两难”面前完全丧失了“突出重围”的思辨力，只好“缴械投降”. 那么，该问的要义在哪里？ 第一，点P（t，t）恒为抛物线
的顶点； 第二，“将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在抛物线上”等同于： ①将△PQB旋转180°后落在抛物线上的像与△PQB关于这点成中心对称； ②“顶点在抛物线上的△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点还落在抛物线上”，意味着这两个成中心对称的图形构成的是一个平行四边形，“某点”这一旋转中心就是△PQB某一边的中点. 因此，解答此题的关键是利用“平行四边形的对角线互相平分”这一性质.这就是“指向性质”的化归思想. 第三，分别以△PQB的各边中点为旋转中心作平行四边形，设点P、Q、B旋转后的对应点分别为点P′、Q′、B′（如图4）.
观察图4，有： ①点P是开口向下的抛物线顶点，显然点P′、Q′不可能落在抛物线上； ②PQ的中点是旋转中心，坐标为
； ③点B′的坐标是（3t-6，t-2）. ④结果如下： 因为点B′在抛物线上，
所以
当时，将△PQB绕PQ的中点旋转180°后，它的三个对应顶点恰好都落在抛物线上. 六、问题解决策略多样化能力 解决问题策略的多样化，是指问题解决方式的多样化.用封闭的视野解决问题会让学生故步自封，开放的思维才有利于学生尝试、发现，体验成功的乐趣. 特值是方法之一. 如学生发现点P与点D重合是一特值，这时△PQB是一个等腰直角三角形，四边形OPBQ是平行四边形，因此t=2既是（1）的解，也是（2）、（3）的一个解.考试时，虽不得全分，至少可少失分. 若能变通，（2）问还有如下解法： ①如图5，当∠PQB=∠OPQ=90°时，BQ//OD.
所以∠BQC=∠POQ=45°， 即QC=BC=2. 所以OQ=4， 即2t=4. 所以t=2. ②如图6，当∠PBQ=90°时，作PN⊥Ox于点N，交AB延长线于点M. 则∠PBM=∠CBQ. 所以△PMB～△QCB.
即CB ·PM=QC ·MB. 所以2（t-2）=（2t-6）（t-6）, 化简，得
-10t+20=0， 解得t=5±
综上可知，当t=2或t=5±
时，△PQB为直角三角形. 借助已知，构造相似，数形相依，讨论化归，可见所有的数学思想和方法都不是孤立的，它们彼此独立又相容.只要课堂教学合理有效，数学思想完备无缺，数学能力因“实”而强，学生必能“笑到最后”.
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