统计方法的几何学研究，本文主要内容关键词为：几何学论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O29文献标识码：A
前言
概率论是统计方法的理论基础，但是在利用统计方法解决实际问题中，复杂抽象的概率理论知识使得对统计方法的理解变得晦涩难懂，在实际应用中如何形象直观地理解统计理论方法就显得很重要。笔者通过利用投影定理，以几何图像直观显示线性回归中的估计、检验以及时间序列的预报过程，从而使得对这些知识的理解变得简单易懂，为进一步研究统计理论方法提供了一种实用的方法。
一、统计方法的几何解释
投影定理[1]：如果W是Hilbert空间H的一个闭线性子空间，且xB∈H则：
1.存在唯一元素
∈W，使得：
在X∈L[2]（Ω，F，P）的条件下，此处定义的条件期望和一般概率论书中所定义的条件期望相一致。
（一）时间序列的预报
[，t+h│t]（h≠1）可由式（1）和式（2）递推求得预报的几何图像，见图1（图略，见原文，下同）。
图中的平面表示t时刻已知信息即闭子空间
这个平面不是一般意义上的平面。随机变量X[，t+h]由平面外的矢量表示，在最佳均方预报原则下随机变量X[，t+h]的预报即为它在平面上的投影矢量[，t+h│t]，由几何直观可以看出在平面上，只有矢量[，t+h│t]离矢量X[，t+h]的距离最近。
（二）统计推断与几何
考虑多元线性回归：
Y=Xβ+ε（3）
其中X=（Y[，1]Y[，2]…Y[，n]）′
矩阵X=（X[，1]X[，2]…X[，p]）
β=（β[，1]β[，2]…β[，p]）′
ε=（ε[，1]ε[，2]…ε[，n]）′
假设E（ε）=0，V（ε）=σ[2]I[，n]，I[，n]是n阶单位矩阵，则Y的均值为：
ζ=（ζ[，1]ζ[，2]…ζ[，n]）=Xβ
式（3）可表示成如下形式：
Y=β[，1]X[，1]+β[，2]X[，2]+…+β[，p]X[，p]+ε
第二个等号的几何直观图为（见图2（图略））。
图中的水平面表示ζ的参数空间V，矢量
[，0]所在的直线表示闭子空间V[，0]，Y在水平面上的投影是矢量，在空间V[，0]上的投影是矢量[，0]。矢量Y-垂直于水平面，显然有Y-⊥-[，0]。则矢量Y-、-[，0]和Y-[，0]构成直角三角形，由勾股定理得：
在原假设H[，0]为真的条件下，可证明统计量T～F（m-k，n-m），由此可确定临界值。
考虑一元线性回归模型Y[，i]=α+βx[，i]+ε[，i]（i=1，2，…，n）的检验问题，故检验：
在H[，0]为真时，统计量T～F（1，n-2）。
二、结论
由以上分析可知：时间序列中抽象的预报理论可以通过投影定理用几何图像很直观地解释，线性回归中的最小二乘方法和检验同样也能够用投影定理得到形象具体的表示。由此可见，形象直观的几何学方法可以简化复杂的统计理论方法，在以后的统计理论方法研究探讨中，不妨可以通过几何学构造其算法。
（摘自《统计与信息论坛》（西安），2005.5）
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