基于数学史渗透的教学设计：数系的扩充，本文主要内容关键词为：教学设计论文,数学史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教材分析
数的概念发展的动力来自于两方面，一方面是生产、生活的需要，另一方面是数学知识本身发展和研究的需要.数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备.
教学目标
1.理解复数的基本概念与复数相等的充要条件.
2.经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需要.
3.虚数单位i的引入，产生了复数集，让学生体验在这个过程中蕴涵的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，渗透必要的数学史；让学生在问题生成和解决的过程中体验类比、化归等思想方法，提高数学素养，培养创新意识.
教学重点
数的概念的发展和数系扩充的过程，复数的有关概念.
教学难点
虚数单位i的引进.
教学方法
阅读·引导·提炼·探究.
教学过程
一、自主阅读，提出问题
【阅读材料1】
我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系.在数的发展过程中，数集从自然数集扩充到实数集大致经历了以下过程（见图1）.
问题1：阅读以上材料，结合社会生活发展的需要思考数系的扩充过程，并在空格内填入适当的数集.
【阅读材料2】
问题2：卡尔丹的解释在实数集范围内能成立吗？为什么？
设计意图说明：在阅读以上材料的基础上，师生合作解决相关问题，学生对数系的扩充过程便有了一种整体性认识，并自然地猜想到数系结合新的认知冲突的出现会进一步扩充.以阅读材料的形式创设问题情境，一方面着力培养学生的阅读习惯，提高学生的阅读能力，另一方面也潜移默化地培养学生归纳概括、自主发现的意识.
二、引导交流，数学活动
活动1：从数学内部发展的需要来看，每一次认知冲突的出现就带来了一次新的数系扩充.你能结合数系的扩充过程总结数系的扩充需要遵循哪些原则吗？
活动2：在我们的数学学习中，是否还存在与阅读材料1相类似的认知冲突呢？
活动3：为了使数学家卡尔丹的解释变得合理，你认为需要引入具有怎样特征的数？
设计意图说明：通过学生积极主动的议论及教师的相机点拨，让学生对数系扩充的原则有清晰的认识，并积极地寻求解决阅读材料2的方法，为虚数单位的引入做好铺垫.
三、自主提炼，数学建构
（一）数系的扩充过程
设计意图说明：以阅读材料为载体，在问题串的引领下，在师生充分的交流中，让学生自然地、自主地实现实数系向复数系的扩充.这是本节课的重点之一.
（二）复数的有关概念
1.虚数单位的引入：
规定：
（1）
=-1；
（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.
2.复数的定义
形如a+bi（a，b∈R）的数称为复数，通常用字母z表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.
全体复数组成的集合叫做复数集，通常用C表示，即C=｛a+bi|a，b∈R｝.
3.复数的分类
复数x=a+bi（a，b∈R），若b=0，则z为实数，若b≠0，则z为虚数.
特别地，当a=0且b≠0时，称为纯虚数.
（三）复数相等的充要条件
如果两个复数的实部与虚部分别相等，则称两个复数相等，即a+bi=c+di
a=c且b=d（a，b，c，d∈R）.
设计意图说明：通过数系扩充过程的介绍，自然地引出虚数单位i，并顺势介绍复数的定义，再根据复数z=a+bi（a，b∈R）中，a，b的取值对复数进行分类，研究复数相等的充要条件.
四、实践探究，数学运用
1.初步运用
例1 指出下列复数的实部与虚部：
例2 当实数m分别取什么值时，复数z=m·（m-1）+（m-1）i是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）6+2i？
例3 已知复数
=（x+y）+（x-2y）i，复数
=（2x-5）+（3x+y）i，若=，求实数x，y的值.
设计意图说明：例1的设置是为了巩固复数的相关概念.例2的设置是为了进一步理解什么是实数，什么是虚数，什么是纯虚数（特别要讲清楚只有当a=0且b≠0时才是纯虚数）.其中由第（4）问自然过渡到复数相等的概念.例3的设置是为了引出两复数相等的充要条件，同时进一步巩固复数的概念.这个充要条件把复数问题转化为实数问题，体现了化归的思想方法.
2.变式演练
设计意图说明：学什么就练什么.一方面学生巩固刚学的知识，减轻他们的负担；另一方面增强他们学习数学的积极性和信心.
3.深入探究
下列结论从实数集扩充到复数集是否仍然成立？
③实数可以用数轴上的点来表示.
复数可以用数轴上的点来表示.
设计意图说明：阅读材料揭示了从实数扩充到复数的过程，此处回到本节课的起点，进一步说明了实数集扩充成复数集后，解决了认知上的冲突，证实了扩充的合理性，并为下一节课研究复数的运算埋下了伏笔.
五、回顾反思，总结提升
（1）知识结构：
（2）探究途径：阅读、类比、猜想、化归.
（3）探究拓展：你能在今天所学知识基础上进一步研究复数的运算及复数的几何意义吗？
设计意图说明：从知识和方法两个角度进行总结，帮助学生进一步建构知识结构，提炼探究方法，其提出的新探究问题，将探究活动延伸到课外.
六、课后作业
1.必做题：课本105页习题3.1第1、2、3、4题.
2.选做题：利用网络等资源了解数学史上的“第一次数学危机”.
设计意图说明：适当训练帮助学生及时巩固所学知识，同时让学生利用网络等资源了解数学史上的“第一次数学危机”，开阔学生的视野，提高学生的数学学习兴趣，并进一步渗透数学史.