陈太勇[1]2016年在《几类分数p-Laplacian方程边值问题的可解性》文中研究说明分数微积分是整数阶微积分的推广,由于分数导数可以描述材料和过程的记忆和遗传性质,所以分数阶模型比整数阶模型更适合描述一些实际问题,例如分数微分方程在神经元、电化学和控制论等领域有着广泛的应用.p-Laplacian方程源于力学中的多孔介质中的湍流,并在非牛顿流体理论和非线性弹性力学等领域有着诸多应用.近年来,分数微分方程边值问题解的存在性和多解性引起了众多学者的关注,也得到了许多重要的结果,但所用工具多为不动点定理和拓扑度理论等非线性分析方法,而用临界点理论得到的结果则很少,原因在于分数边值问题对应的函数空间和变分泛函难以构建.本文利用临界点理论和度理论讨论了几类分数p-Laplacian方程边值问题的可解性,在适当的条件下得到了一些边值问题解和无穷多解的存在性结果,所得结果在一定程度上推广和完善了一些已有工作.本文内容分为六章,具体如下.第一章介绍了所研问题的研究意义和研究现状,陈述了本文的主要工作,并介绍了一些分数微积分的基本概念和基本性质.第二章在变分框架下讨论了分数p-Laplacian方程和Kirchhoff型分数pLaplacian方程Dirichlet问题的多解性,当非线性项在无穷远处是p-1次线性(p2-1次线性)时,利用亏格(genus)的性质得到了Dirichlet问题无穷多非平凡弱解的存在性结果.由于p-Laplacian算子和Kirchhoff项是非线性的,这给(PS)条件的验证带来了一定的困难.第叁章在变分框架下讨论了分数p-Laplacian方程和Kirchhoff型分数pLaplacian方程Dirichlet问题的可解性,在非线性项满足Ambrosetti-Rabinowtiz条件时,利用山路定理得到了Dirichlet问题非平凡弱解的存在性结果,并用Nehari方法得到了Dirichlet问题非平凡基态解的存在性结果.由于Kirchhoff项是非线性的,这给Nehari流形和值映射的凸性的验证带来了额外的困难.此外,Ambrosetti-Rabinowtiz条件可以保证非线性项在无穷远处是p-1超线性(p2-1超线性)的,该条件不同于第二章中的p-1次线性(p2-1次线性)条件.第四章在度理论框架下讨论了分数p-Laplacian方程周期边值问题的可解性,首先构建了分数p-Laplacian算子在周期边界条件下的延拓定理,然后在增长条件和符号条件下,用该延拓定理得到了周期边值问题解的存在性结果.由于分数p-Laplacian算子是非线性算子,而Mawhin延拓定理仅对线性算子有效,所以本章构建的延拓定理是Mawhin延拓定理的一个推广.第五章在度理论框架下讨论了几类分数p-Laplacian方程共振边值问题的可解性,当非线性项满足增长条件和符号条件时,利用延拓定理得到了共振边值问题解的存在性结果.共振边值问题相应的齐次问题具有非平凡解,因此对应的微分算子不可逆.此外,Mawhin延拓定理只能处理线性算子,所以本章将边值问题转化为相应的线性系统加以讨论.第六章总结了本文的主要结果,并对后继的研究工作进行了展望.
冯育强[2]2004年在《非线性算子方程（组）的可解性及其应用》文中认为在理论和应用中产生的很多非线性方程，如非线性微分方程，非线性积分方程，非线性差分方程及泛函方程，形式上是不同类型的，但本质上可化为具有同一形式的算子方程。所以解决了一个算子方程解的存在性问题，也就解决了很多非线性方程解的存在性问题。 在算子方程解的存在性研究中产生了许多方法，如拓扑度方法、上下解方法、单调迭代法、变分方法等，获得了丰富的结果。这些方法和结果已成功的应用于各类非线性方程的求解。 本文主要利用半序方法研究了几类算子方程解的存在性。先考虑了一类算子方程的可解性，并将所获结果应用于一些微分方程、微分积分方程边值问题的求解，进而将这一研究推广到方程组的情形；由于集值算子在现代数学的广泛应用，本文还研讨了关于集值算子方程解的存在性；最后对于几类叁阶常微分方程，通过将其化为适当函数空间中相应的算子方程，获得了解的存在性结论。具体内容如下： ·引入了算子序连续的概念，结合度量空间与赋范空间中半序的性质，分别在度量空间与赋范空间中证明了一类算子方程解的存在性。并构造迭代列，使之收敛于该算子方程之解。 ·在算子不满足连续性条件时，利用半序方法结合Zorn引理分别证明了在度量空间与赋范空间中算子方程解的存在性。 ·给出了在度量空间及赋范空间中算子方程多个解的存在性结论。 ·研究了算子方程组解的存在性。在算子满足某些单调性条件时，利用半序方法在度量空间与赋范空间中证明了几个解的存在性定理并构造迭代列，使之收敛于方程组之解。 ·将单调增算子不动点存在性研究推广到集值的情形，定义了几类集值增算子，并分别在度量空间与赋范空间中证明了集值增算子的不动点定理。 ·将压缩算子不动点存在性研究推广到集值的情形，证明了几个满足压缩性质的集值算子不动点定理。iv西安电子科技大学博士学位论文:非线性算子方程‘组少的可解性及其应用·将ca7’坛雨不动点定理推广到集值的情形，给出了几个集值算子的car诚‘ 不动点定理.·证明了一类叁阶微分方程边值问题叁个正解的存在性.·证明了几个新的最大值原理，并利用这几个新的最大值原理证明了两 类叁阶微分方程边值问题解与正解的存在性. 关键词非线性算子方程，半序，解，存在性，集值算子，不动点，叁阶常微分方程
张全举[3]2001年在《非线性微分方程的可解性研究》文中研究说明本论文的结果主要概括为以下几个方面： 1 第一、二章讨论形式为Δu+f(x，u，▽u)=0的椭圆方程存在整体解的条件。第一章考察一维情况下此方程存在无穷多个正整体解的条件，给出了两个存在性定理(定理1．1—1．2)。第二章将此结果推广到高维情形，给出了一个线性增长解的存在性定理(定理2．1)；另外，本章还给出了方程存在对数增长解的两个定理(定理2．2—2．3)。所有这些结果都是考虑了此方程存在无界解的条件，这与已有的关于此方程存在有界解的结果是完全不同的，我们的结果进一步完善了相关的工作。 2 第叁章与第四章研究了形式更加广泛的二阶非线性椭圆方程Au—m2u+f(x，u，Vu)=0的指数增长解与衰退解的存在性。得到了此类方程存在指数增长解的叁个定理(定理3．1—3．3)与衰退解的两个定理(定理4．1—4．2)。这些结果不仅推广了已有的结果，而且近一步发展了上下解方法与不动点定理在研究微分方程的可解性方面的应用。 3 第五章讨论了一类源于刻划可扩充杆横截挠度的非线性双曲型方程utt+A2u+M(x，ttAl／211帕1)Au=0，Cauchy问题解的存在唯一性，给出了此方程有唯一局部解的存在定理(定理5．1)。与已有的关于此方程的结果相比较，我们对非线性项的要求要宽松得多。实际上，这里的结果是在打破了以前的所有限制得到的。 4 第六章利用寻求偏微分方程的相似约化的直接方法讨论了广义Burgers方程的相似约化以及相应的精确特解，并对所得到的约化提供了非经典对称群解释。就广义Burgers方程而言，本章的工作部分地回答了Clarkson所提出的一个公开问题：如何用直接方法寻求具有任意函数的非线性PDEs的对称约化问题。 5 最后的两章考虑了无约束总体极小化问题的微分方程方法，也称为神经网络方法。首先给出了非凸梯度神经网络平衡点集合的H—稳定性结果(定理7．1)，另外的两个定理(定理7．2—7．3)给出了不同平稳点的吸引域估计。这些结果的意义在于两个方面，其一是解决了利用梯度神经网络求解总体极值问题的网络稳定性问题；其二是为网络的设计提供了一个可行框架。第八章就是在此基础上给出了求解这一问题的两种神经网络设计，并给出了一些典型算例验证了网络的可行性与有效性。
李敏[4]2017年在《倒向随机微分方程的可解性研究》文中研究指明在文[75]中,Pardoux和Peng引入了下面形式的非线性倒向随机微分方程(简记为:BSDEs):并证明了若ξ是平方可积,生成元f关于(y,z)是Lipschitz的,则BSDE(1)存在唯一的适应解。从那时起,倒向随机微分方程在许多领域逐渐变成了一个重要的数学工具,例如:金融数学、随机微分博弈、最优控制、偏微分方程等等。由于这些原因,人们做了很多工作来减弱生成元f的Lipschitz条件。在本文中,我们主要讨论BSDE(1)的可解性。我们首先在第一章中讨论当生成元f满足一类一致连续条件时,多维BSDEs的可解性问题。为了得到我们的结果,由f关于(y,z)的一致连续性,我们首先构造出一列在整个平面(y,z)上一致收敛到f的Lipschitz函数列{fn}n≥0。其主要难点是如何证明(yn,zn)收敛到BSDE(1)的解。为了证明(yn,zn)n≥0的收敛性,对于任意给定的(yn,zn)n≥0和(ym,zm)m≥0,其中n ≠ m,不同于以前的方法应用Girsanov变换削去控制项z,我们通过证明|yn-ym|是有界的,进而通过一个ODE的解去控制|yn-ym|,由此我们将证明序列(yn,zn)n≥0收敛到BSDE(1)的解。通过同样的方法,我们证明了 BSDE(1)的解也是唯一的。第二章,我们研究一类线性增长的多维BSDEs的可解性。我们通过引入一个随机过程的包络的概念,构造一族随机型微分方程,它们既可以看成BSDEs,也可以看成倒向常微分方程,使得它们的解在相应的子停时区间上能够控制|yn-ym|。通过改变随机型微分方程终端时间和终端值,我们将证明序列(yn,zn)n≥0收敛到BSDE(1)的解。类似地,我们证明BSDE(1)的解也是唯一的。在第叁章中,借助于第二章中引入的方法,我们证明了一类二次增长的BSDEs的解的存在唯一性。在第四章中,我们将用惩罚函数方法证明在一般的反射边界条件下,双边反射倒向随机微分方程有唯一的适应解。为了解双边反射倒向随机微分方程,以前的方法在本质上是借助于单边反射倒向随机微分方程的结论,然后对另一边采用惩罚函数法,即把双边反射问题转化成单边反射问题。在本章中,我们借助于文[43]中局部解的概念,在一个充分必要条件下,对双边同时采用惩罚函数方法并证明了双边反射倒向随机微分方程有唯一的平方可积解。作为该方法的一个应用,我们将用该方法证明解耦的满足线性增长条件的双边反射正倒向随机微分方程是可解的。不用借助于单边反射倒向随机微分方程的结果,我们用惩罚函数方法直接处理了双边反射倒向随机微分方程,这说明了双边反射倒向随机微分方程在本质上可以看成是没有反射边界的倒向随机微分方程。本文共分为五章,以下是本文的主要结论。第一章:在本章中,我们研究一致连续系数的多维倒向随机微分方程的可解性,在下面的条件下:(H1.1).随机变量ξ ∈ L2(Ω,F,P),过过程(·,·,0,0),(0 ≤t≤1)属于2,2且对任意的(y,z)∈Rd× d×m,随机过程(f(·,·,y,z))0 ≤t≤1是P-可测的。(H1.2).(i)存在一至多线性增长的连续的非降函数Φ:R+→R+满足Φ(0)= 0以及Φ(x)>0,(?)x ∈(0,+∞),使得:(ii)存在一至多线性增长的连续函数Ψ:R+→R+ 满足Ψ(0)= 0,且在0的一个邻域内是凸的,使得:其中‖z‖ =[tr(zz*)]1/2,z*表示z的转置。我们证明:定理0.1.若ξ ∈L2(Ω,F,P),函函数满足假设条条件(H1.1)和(H1.2),则在S2,d×H2,d×m中存在唯一的一对适应过程(y,z),使得第二章:在这一章,我们研究一类线性增长的多维BSDEs的解的存在唯一性,即在下面的条件下:(H2.1).随机变量ξ ∈L2(Ω,F,P),过程过(f·,·,0,0),(0 ≤ t ≤ 1)属且对任意的(y,z)∈Rd×Rd×m>,随机过程(f(·,·,0,y,z))0≤t≤1是P-可测的。(H2.2).生成元f关于(y,z)是线性增长的,即存在一个非负常数K使得对于任意的(t,ω),我们有|f(t,w,y,z)| ≤ K(1 + |y| + |z|)。(H2.3).对于任意的i ∈{1,2,…,d},fi(t,y,z)= fi(t,y,zi),即fi仅依赖赖于的第i行向量zi。(H2.4).对于P-a.s.ω ∈ Ω,存在一线性增长的连续的非降函数Φ:R+ → R+满足Φ(0)= 0以及Φ(x)>0,(?)x ∈(0,+∞),使得我们得到:定理0.2.若ξ∈L2(Ω,F,P),函数f满足假设条件(H2.1)-(H2.4),则S2,d×H2,d×m中存在唯一的一对适应过程(y,z),使得第叁章:在这一章,我们研究一类满足二次增长的多维BSDEs的可解性,在下面的条件下:(H3.1).随机变量ξ∈L2(Ω,F,P)过程f(·,·,0,0),(0 ≤ t ≤ 1)属于H2,d 且对任意的(y,z)∈Rd × Rd×m 随机过程(f(·,·,y,z))0≤ t ≤1是P-可测的。(H3.2).对于任意的i∈{1,2,…,d},fi(t,y,z)=fi(t,y,zi),即fi作为z的函数仅依赖于z的第i行zi。(H3.3).存在一至多线性增长的连续的非降函数Φ:R+ → R+满足Φ(0)= 0以及Φ(x)>0,(?)x ∈(0,+∞),使得:并且.f0+[Φ(x)]-1dx = +∞。(H3.4).存在一个非负常数K使得对于任意的i ∈ {1,2,…,d},我们有P-a.s.我们可得:定理0.3.假设ξ∈L2(Ω,F,P),f满足假设(H3.1)-(H3.4)从若下面的BSDE的解存在,则必然唯一。第四章:在这一章中,我们用惩罚函数方法研究双边反射BDSEs的可解性,并将相应的的方法和结果应用到满足线性增长条件的双边反射的解耦的正倒向随机微分方程。其中H是一连续的半鞅且满足性质:E[f0T h(s)2ds]<+∞,若过程At的全变差过程记为St,则有E[ST2]<+∞。定理0.4.若生成元g是Lipschisz的,反射边界L,U满足条件L<U,L(T)≤ξ≤ U(T),a.s.,以及假设(H4.1),则存在唯一的过程(y,z,K+,K-)∈L2(1;0,T)×L2(1×d;0,T)×S2ci×S2ci使得:定理0.5.若方程(4.29)的生成元g(s,x,y,z)满足假设(H4.2),且关于y和z满足Lipschitz条件,则存在可测的确定函数a:[0,T]×Rl→ Rm和β:[0,T]×Rl → Rm×d,使得对于任意的0 ≤ t ≤ s ≤ T,Yt,x(s)= α(s,Xt,x(s)),Zt,x(s)=β(s,Xt,x(s))。定理0.6.在(H4.2)假设条件下,(Y,Z,K+,K-)是双边反射BSDE(4.29)的解。
汤光宋, 祁剑侠[5]2000年在《可用交换变量位置法求解的几类非线性微分方程》文中认为运用交换变量位置法 ,研究几类非线性微分方程的可解性 ,并且给出这几类非线性微分方程通解的表达式
冉茂华[6]2016年在《几类分数阶偏微分方程的有限差分方法》文中研究表明近年来,大量的试验结果表明基于整数阶导数建立的某些模型不能很好地反映现实世界中的一些现象,如反常扩散和复杂粘弹性材料.其中一个主要的原因是传统的整数阶导数由函数的极限定义,其反映的是一个局部的性质.这使得具有非局部特性的分数阶微积分算子受到了广泛关注.然而,由于绝大多数分数阶微分方程的精确解不能被显式给出,对其数值解的研究变得十分必要和重要.鉴于此,本文将引入或改进若干数值方法,以期获得几类空间分数阶和时空分数阶偏微分方程的数值解.在第一章,我们简要回顾了分数阶微积分的发展历程,介绍了求解分数阶微分方程的常用数值方法及其理论,尤其对有限差分方法在这一领域的应用给出了较为详细地介绍,最后给出了将在后续章节频繁用到的一些定义和符号.在第二章,针对一类空间分数阶Schr(o|")dinger波方程,我们导出了它在连续形式下的两个守恒量,提出了一个自封闭的叁层线性差分格式,并且讨论了提出格式的守恒能力和精度,借助于数值算例对格式的守恒性能和精度进行了验证.在第叁章,考虑了一类强耦合的空间分数阶Schr(o|")dinger方程.本章内容是对第二章工作的推广.同样,我们给出了方程本身具有的两个守恒量,提出了一个非线性的守恒型差分格式,并证明了格式的可解性、稳定性和l∞范数下的收敛性.为提高计算效率,进一步给出了一个线性的守恒型差分格式.数值试验验证了这两种格式的有效性.在第四章,就单个和耦合情形的时空分数阶Schr(o|")dinger方程构造了相应的Crank-Nicolson差分格式及其线性化格式.详细地分析了这些格式的局部截断误差、稳定性和解的存在性,并给出了这两种情形下的数值结果.这项工作的意义在于为这类问题提供了一种新的数值解法,尤其是为耦合问题提供了稳定且有效的线性格式.在第五章,考虑了一类二维半线性的空间分数阶阻尼波方程.该方程有着广泛的应用背景,空间分数阶telegraph方程、sine-Gordon方程和Klein-Gordon方程都可视为它的特殊情形.针对该阻尼波方程,提出了一个有二阶时间精度和四阶空间精度的紧致差分格式,并讨论了格式的可解性和收敛性.为提高计算效率,进一步构造了一个交替方向的紧致差分格式.最后,对应前述叁类方程的数值结果验证了格式的有效性.在第六章,提出了一类求解空间分数阶扩散方程的高精度算法.这类算法通过联合分数阶紧致差分逼近和边值方法得到,具有四阶空间精度和四阶、五阶、六阶甚至更高阶的时间精度.为求解产生的大型线性系统,Strang-型、Chan-型和P-型预处理子被引进.当所用边值方法Ak1,k2-稳定时,用GMRES方法求解与Strang-型预处理子相对应的预优系统被证明是快速收敛的.数值算例验证了方法的收敛速率和高精度.在第七章,我们对本文工作做了一个简要的总结,然后罗列了一些有待进一步研究的问题.
杨小娟, 韩晓玲[7]2017年在《分数阶非线性微分方程初值问题的上下解方法》文中研究表明利用上下解方法,考虑一类分数阶非线性微分方程初值问题{x~a(t)=f(t,x(t)),t∈[a,b],a>0,x(a)=x_0的可解性,基于Schauder不动点定理,得到了如果存在一对上下解,则在上下解之间必存在一个解其中:f:[a,b]×R→R是一个连续函数;x~(a)(t)表示x在t上的一致α阶导数,α∈[0,1].
王丽丽[8]2013年在《叁阶非线性中立时滞微分方程的可解性》文中研究指明文中讨论了一类叁阶非线性中立时滞微分方程非振动解存在的若干充分条件,并应用Banach不动点定理证明了这类微分方程解的有界性及不可数性,包含并改进了相关文献所得到的结果.
郝晓红[9]2013年在《分数阶微分方程边值问题的可解性的研究》文中进行了进一步梳理在现实问题中,分数阶模型比整数阶模型更具有理论意义和实际应用价值。近年来,分数微积分不仅引起数学爱好者的极大兴趣,更是广泛应用于分数多极化、神经模型、黏弹性学、回馈放大器、电路学、电分析化学及物理、生物等相关学科。随着分数阶微积分计算理论的快速发展和广泛应用,分数阶微分方程边值问题近年来备受关注,尤其在物理学、流体力学、工程学、电网络、声热系统、材料技术系统、控制机器入学、分数控制系统、分数神经模型和经济方面有广泛的应用。本文研究几类分数阶微分方程边值问题的可解性。研究中所采用的方法不同,主要利用的是Mawhin重合度理论、Leray-Schauder度理论、Banach压缩映像原理、u0凸算子不动点理论、半序集上的不动点定理。第一章绪论主要介绍本文所研究问题的历史背景和有关研究动态,所用基本知识以及本文所获得的主要结果。第二章利用半序集上的不动点定理讨论了一类非线性分数阶叁点边值问题,得到此类边值问题的正解的存在唯一性结果。并给出一个实例说明结果是可行的。第叁章主要应用Mawhin重合度理论研究了一类分数阶微分方程多点边值问题的解的存在性,得到了解的存在性的一组充分条件。并举例说明。第四章主要利用Leray-Schauder度理论和Banach压缩映像原理,讨论了一类带有分数阶积分边值条件的分数阶微分方程边值问题的可解性,分别得到了这类边值问题的解的存在性和唯一性的充分条件。并给出例子说明结果的适用性。第五章通过应用半序集上的不动点定理和u0凸算子不动点理论研究了一类分数阶微分方程边值问题在奇异和非奇异的情况下的可解性,得到正解的存在唯一性结果。最后给出例子说明定理的适用性。
曹斌[10]2010年在《几类微分边值问题的正解》文中研究说明非线性泛函分析是现代分析数学中的一个非常重要的分支.它的主要理论有锥理论、拓扑度理论、不动点理论等,它研究非线性问题的方法主要有半序方法、变分方法、拓扑度方法等.这些理论和方法为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了有效的理论工具,在处理实际问题所对应的各种数学模型,如非线性微分方程、非线性积分方程和偏微分方程中发挥着重要作用.国内外许多着名的数学家,如H.Amann[51], K.Deimling[52],张恭庆[55],陈文塬教授[53],郭大钧教授[45]-[47], [54]等在非线性泛函分析的许多领域都取得了辉煌的成就.本文主要利用非线性泛函分析的方法研究几类高阶微分方程边值问题,特别是高阶奇异边值问题.奇异边值问题来源于非线性光学、流体力学、边界层理论等应用学科中,它一直受到科学工作者和其它科学工作者的广泛关注.近年来,奇异边值问题解的存在性、唯一性、多样性得到了广泛的研究(见文[12]-[14], [16]-[28]及其所附参考文献).本文的目的是在已知文献的基础上,利用拓扑度理论、不动点指数理论等更进一步深入研究高阶奇异边值问题.全文共分四章:第一章绪论,我们简要介绍了非线性奇异边值问题的相关背景和本文的主要工作.第二章我们研究了非线性四阶微分方程Sturm-Liouville边值问题解的存在性.利用拓扑度理论,得到了四阶Sturm-Liouville边值问题存在有界解的新的充分条件.有趣的是,我们不仅允许非线性项含有二阶导数与叁阶导数,而且允许非线性项变号.第叁章利用不动点指数理论研究了四阶奇异Sturm-Liouville边值问题的正解.我们在较弱的条件下得到了四阶奇异Sturm-Liouville边值问题至少有一个正解,至少有两个正解的新结论.第四章研究了n阶常微分方程边值问题解的存在性.我们通过构造有效的积分算子,利用不动点指数理论得到了n阶常微分方程带积分边值条件,及带导数边值条件解的存在性与多解性,所得结果推广并改进了文[1]中的相关结果,而我们的主要结果能够涵盖更广泛的函数类.
参考文献：
[1]. 几类分数p-Laplacian方程边值问题的可解性[D]. 陈太勇. 中国矿业大学. 2016
[2]. 非线性算子方程（组）的可解性及其应用[D]. 冯育强. 西安电子科技大学. 2004
[3]. 非线性微分方程的可解性研究[D]. 张全举. 西安电子科技大学. 2001
[4]. 倒向随机微分方程的可解性研究[D]. 李敏. 山东大学. 2017
[5]. 可用交换变量位置法求解的几类非线性微分方程[J]. 汤光宋, 祁剑侠. 长沙大学学报. 2000
[6]. 几类分数阶偏微分方程的有限差分方法[D]. 冉茂华. 华中科技大学. 2016
[7]. 分数阶非线性微分方程初值问题的上下解方法[J]. 杨小娟, 韩晓玲. 吉林大学学报(理学版). 2017
[8]. 叁阶非线性中立时滞微分方程的可解性[J]. 王丽丽. 通化师范学院学报. 2013
[9]. 分数阶微分方程边值问题的可解性的研究[D]. 郝晓红. 安徽大学. 2013
[10]. 几类微分边值问题的正解[D]. 曹斌. 上海师范大学. 2010
标签：数学论文; 微分方程论文; 不动点论文; 线性微分方程论文; 非线性论文; 微分算子论文; 线性系统论文; 梯度算子论文; 线性空间论文; 应用推广论文; 微积分论文;