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一、基本情况 1.授课对象 授课班级为江苏省四星级重点高中的高一普通班.学生的数学基础较好，具有一定的数学思考、推理能力.课堂教学气氛较活跃，部分学生在课堂内能够大胆发言回答问题或者提出问题.但部分学生在数学学习方面的独立性、计划性、自主性、思辨性等还有待提高和完善，这需要教师在日常的数学教学中加以重视和培养. 2.教学内容分析 教学使用的教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）》（苏教版）.学生已学习了第2章函数中的第1节函数的概念以及第2节函数的简单性质，在这样一个教学的节点上，设计安排函数
（*）的图象及性质的教学. 基于两方面的考虑，一是函数（*）在高中数学教材中，尽管它是以习题的形式出现的（见必修1的第43页第6题及第45页第10题），但对于学生理解基本函数的性质有着重要的作用和地位，有必要在适当的时机加以补充；二是学生学习了函数概念及性质，正好借此机会加以复习巩固，借以培养学生面对新问题的敢于思考、勇于探究的科学精神. 教学目标 （1）历经函数（*）的图象及性质的探讨过程，体验利用已有的数学结论和方法，来发现、探索数学未知的曲折和成功，体会数学研究的一些最基本的要领和方法，从中感受科学合理地思维的乐趣；（2）通过学习探究，进行猜想，发现函数的性质，并会数学地加以说理和证明；（3）能够初步地解决相关的函数值域、函数的奇偶性和单调性、参数的取值范围等具体问题. 教学重点 通过独立探索或合作讨论的学习方式，引导学生积极主动思考，得到函数f（x）所具有的性质，并能简单应用. 教学难点研究函数（*）在区间（0，+∞）上的值域情况以及单调性的猜想、证明的思路引导. 二、教学过程 1.给出教学问题，引导学生探究 师：前一阶段我们学习了函数的概念以及函数的简单性质，今天这堂课与同学们一起来研究函数
（*）的图象及性质. 板书课题，随后与学生一起回顾和归纳函数性质的具体内容，函数性质主要包括函数的定义域、最值、值域、函数的奇偶性、函数的单调性以及函数的图象等[1].开宗明义，引起学生的课堂注意，拉开学生的思考序幕. 生1：函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），在该定义域上的函数是奇函数…… 师：那么该函数的最值以及它的单调性会是怎样的？如何来思考呢？ 既然同学们已经发现了这个函数是奇函数，那研究函数f（x）的性质我们可以怎样进行？ 生2：老师，我觉得只要在区间（0，+∞）上来研究它的最值及单调性，因为函数是奇函数，利用奇函数的性质，就可以得到函数在整个定义域上的值域及单调性情况. 在之前的函数奇偶性、单调性的综合应用中，已经和学生作了探索和归纳，即“奇函数在它的关于原点对称的两个区间上具有一致的单调性；偶函数在它的关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.”生2能够及时地回忆起，并大胆地提出设想.其他同学思考片刻后，认同并报以肯定的掌声. 师：非常好，那接下来我们先来研究函数（*）在（0，+∞）上的值域问题吧！ 留一定的时间让学生思考，教师在教室里巡视，了解学生的思考和作答情况，先暴露学生中的错误和不当之处.
师：生3通分变形后，感到无法继续下去，解题受阻.生4想到了配方处理，是一个不错的想法，但最后的结果正确吗？如何调整和改进？
暴露学生思考中的问题，引起学生的再思索，并让学生作出正确的调整，有利于培养学生的自我监控能力，提高学生的自主评价意识，从而使学生能够真正掌握. 师：好，在解决了函数f（x）在（0，+∞）上有最小值2后，接下来我们研究它在（0，+∞）上的单调性.由刚才得到的函数在x=1时有最小值2的结论，对于研究它在（0，+∞）上的单调性，你受到怎样的启发？ 生5：我猜想函数f（x）可能在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增. 师：生5这个单调性的猜想是否正确呢？如何来加以验证？ 生1：能否利用函数单调性的定义来证明. 随后，让学生动手操作，分成两组，一组证函数在区间（0，1]上单调递减，另一组证在区间[1，+∞）上单调递增.同时，选两名同学板演（略）. 这个教学过程设计，旨在让学生经历判断、猜想、严格证明的全过程，感受数学上发现、验证的一般途径和方法，进而鼓励学生遇到问题，可以去大胆猜想，同时要小心求证. 师：通过同学们的积极思考和认真努力，圆满地解决了函数（*）在（0，+∞）上的值域及单调性等问题下面请大家利用奇函数的性质来思考函数（*）在（-∞，0）的值域及单调性.同时，再思考一下这个函数的图象会是怎样的？你能够在直角坐标系中作出来吗？ 2.及时课堂小结，留有深刻印象 运用几何画板，作出函数（*）的图象呈现给学生（图1），同时让学生观察片刻，了解函数图象的直观形象.然后，师生共同对函数（*）的性质及图象作归纳和小结如表1.
同时给学生提醒：（1）函数的值域是（-∞，-2]∪[2，+∞），但在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是没有最值的，2和-2是函数的极大值与极小值，这会在今后的学习中接触和理解；（2）函数的单调性是函数的局部性质，要准确地领会和表示. 师：以上我们探讨研究的函数是高中阶段的一个很重要的常见函数，它有着较为广泛的应用.为了方便，我们来给它起一个名称，大家观察它的图象，很像教师改作业时打的勾吧！那以后我们就称它为“对勾函数”吧！希望同学们通过认真思考，发挥聪明才智，遇到的问题都能做对. 3.留置课堂练习，巩固学习成果 课堂练习的布置应有一定的基础性和递进性，这一方面要兼顾到学习基础相对薄弱，数学思维相对较慢的学生，使他们也能体验较多的成功；另一方面，也要考虑到思维能力强，学有余力的学生的学习需求，为他们的思维提升提供空间. 练习1 求函数
的值域及单调区间. 变式1 求函数
在区间[2，5）以及[1，5）上的值域及单调区间. 变式2 求函数
在区间[-5，-2]上的值域及单调区间. 练习2 已知函数
是区间[2，4]上的单调增函数，求实数m的取值范围. 上述4个练习，由易到难，由确定到变化，由顺序解题到逆向思考，层层递进，以满足不同学生的不同学习需求.同时，在思考处理上述练习时，应充分结合相应的函数性质，尤其是要善于借助函数的图象直观进行思考. 重点给学生呈现练习2的分析及解答：分类讨论，宏观感知，当m≤0时，函数
是区间[2，4]上的单调增函数，当m＞0时，则
，得m≤8，即0＜m≤8，综上得m≤8.
前者的宏观感知中，体现了分类讨论、数形结合等数学思想方法的有效运用，较好地提升了学生的思维能力；接下来给出的代数推理过程，为培养学生严谨的数学表达，规范的代数论证提供了范式，也使学生解题有章可循. 4.布置课后作业，兼顾课堂延续 （1）布置与课堂内容对应的相关练习略. （2）课后思考（选做）：若函数
在区间
上有最大值，试求实数a的取值范围. 三、回顾与反思 1.教学设计的意图 课堂教学设计就是为了达到教学目标，教师对课堂教学的过程与行为所进行的系统规划.数学教学设计是对数学教学中学和教的双边活动进行设计.数学是思维的科学，数学教学是数学思想方法的教学.因此，数学教师应该致力于帮助学生摆脱不合适的思维习惯，逐步养成理想的思维习惯.不合适的思维习惯有：经验证明图式、基于联想的预测、冲动性期望、无所指的符号推理（解释）.而理想的思维习惯包括：演绎证明图式、基于协调的预测、分析期望、有所指的符号推理（解释）.[2] （1）关于教学内容的定位. 从与高中数学教学内容的联系来看，所选教学内容
的图象及性质，上承函数的概念及简单性质，下延基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的学习，还呼应基本不等式的学习理解，因为基本不等式
，其实质是
，从学生学习的角度来看，既是对前面所学知识的巩固运用，也是学习新知识、发展能力的新载体. （2）关于课堂练习的选题. 课堂练习可以帮助学生加深和巩固知识，形成技能和培养能力，促进数学思考，获得解决问题的经验.同时，也可即时反馈，让教师及时了解学生的掌握情况，及时纠错和做出疑难剖析.练习1属于基本的模仿操作，两个变式逐步深化和灵活性加强.练习2则需要问题理解基础上的策略处理. （3）关于教学流程. 数学课堂教学应紧扣教学目标，关注知识的发生过程与学生的数学学习过程的有机统一.由此为依据设置问题情境，引导学生展开观察、猜想、特殊化和推广等思维活动.例如配方法求
在（0，+∞）上的最小值，在解决最小值后的单调性的猜想，是站在学生的角度来设计的.在保障学生的教学主体地位的同时，也应发挥教师的主导作用，调控教学节奏，给不同需求的学生提供不同类别的帮助，在练习环节布置可选择的作业，促使不同层次的学生都学有所得. 2.教学反思 （1）知识的补充或拓展应寻找合适的时机 高中数学内容中，有一些相对重要的知识或结论，需要在正常的教学中加以渗透或补充，比如函数
，它在高中数学中是一个重要的函数模型，选择怎样的时机，系统完整地介绍给学生，应根据教材的内容编排，自然而然地嵌入，使整个教学内容浑然一体，学生不觉得突兀，能够自然地接纳. （2）教学设计要从学生的实际出发 数学教学设计不是教师单一的、线性的、一厢情愿的活动，具体在每个教学环节，要同时考虑教学的内容和目标，教学组织中活动的主体——学生.要关注学生的智力需要，当学生因现有知识的局限，面对问题情境产生困难时，他们更有可能体验一种想要解决问题的内在愿望，而问题的解决可能导致他们对现有知识的再认识，再理解，从而完成对新知识的建构.因此，从学生的实际出发，一方面，要清楚学生的当前认知水平、数学技能和能力；另一方面，设计应处在学生思维最近发展区内的学习任务，采取有步骤地设置思维障碍等方法，铺设恰当的认知台阶，激发学生的学习热情. （3）数学教学要致力于学生的数学理解 数学理解是一个数学知识进入到个体认知结构当中与原有认知结构中的旧知识形成内部网络的过程.学生对知识的掌握，只有做到了数学理解，才是真正的理解，才能作为稳定的知识结构而固着，并随时发挥作用.数学理解的过程起始于积极主动的探索，因此，设计具有认知冲突的探索性问题是数学理解、数学建构的起点.数学理解的关键是新旧知识之间的联系，例如对于函数
，学生很容易与函数y=x和
联系起来，既有熟悉的旧知识，又有矛盾着的新知识，这有助于学生的思考探索和数学理解.
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