论实验数学对欧几里德范式的挑战，本文主要内容关键词为：欧几里德论文,范式论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
〔中图分类号〕B085 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1000-0763(2002)03-0028-06
一场空前的跨世纪的数学革命正在进行。
一、走进巅峰的欧几里德范式
众所周知，在23个世纪之前，有一位名叫欧几里德的希腊数学家编撰了一部在数学史上，乃至整个人类文化史上最有影响的书——《几何原理》。这部书不仅是当时整个几何学的最高成就，更重要的是它建立起了数学的范式：数学就是一个以一些基本公理和定义为基础，通过一系列逻辑步骤演绎而得的定理体系。从此，一代又一代的数学家就是在这个范式的指导下创建了丰厚而深刻的近现代数学。两千多年来，几乎没有人怀疑过这个经典范式——欧几里德范式。根据欧几里德范式构建的数学演绎系统，有一个明显的基本特征，从该系统的底部（基础）经过逻辑证明的途径向顶部（结论）传递真值。也就是从前提向结论传递真值。所谓底部就是一个基本命题的有穷集合，其中包含的是被人们普遍接受的或认为是不证自明的基本公理和恰当的基本定义。这里我们不妨将它称为基础集。以这个被认为是确实可靠的基础集为基础，只要随后的一系列逻辑证明无误，那么，由此构建的定理体系便是正确无误的。数学的真是依基础集的真。这就是欧几里德范式下的数学系统的基本特征。两千多年来的数学史，就是一个不断完善欧几里德范式的历史。这一范式在20世纪二、三十年代达到了登峰造极的地步。罗素的逻辑主义计划、希尔伯特的形式主义纲领，正是欧几里德范式在当代的延伸、发扬。
创立欧几里德范式的《几何原理》，按照现今“一个公理系统只有一个论域”的观点，它只是开创了实质公理学。而体现了希尔伯特形式主义纲领精神的早期著作《几何基础》，则把实质公理学提升到形式公理学的高度。正是在这部形式公理学的奠基之作的影响下，数学中各个分支的公理化相继完成，各种不同的形式系统不断建立。在这个形式公理化运动席卷整个数学的历史年代，以及1902年由于罗素悖论的发现而引发了第三次数学危机的历史背景下，世界数学界提出了数学基础的可靠性问题。罗素、希尔伯特等数学大师纷纷提出了各自避免悖论、拯救数学的计划与纲领。这些计划与纲领不仅深刻地体现了欧几里德范式的精髓，而且把欧几里德范式推到了它的顶端。然而由于哥德尔不完备性定理的证明，以及其它一系列结论的获得，从根本上摧毁了罗素逻辑主义计划和希尔伯特形式主义纲领。但是在当时并没有人意识到，这同时也意味着欧几里德范式一统天下的局面将要永远失去。当然，即使在今天，认识到这一点并能接受这一点的人也还是少数。
应该提到的是，在60年代，人们开始总结早期基础主义失败的经验教训的时候，有人开始认识到欧几里德范式的局限与失败。这主要是以拉卡托斯为代表的现代经验论者的声音。由于这种声音只是发自一些哲学家之口，因此几乎所有数学家对此均未给予理睬（拉卡托斯的拟经验观之立论根据其实也是有不足之处的）。欧几里德范式依然作为一种最基本的指导原则和最根深蒂固的数学信念支配着全体数学家们的数学创造。通常人们坚持的数学信念依然是：所有的数学定理都是演绎的；数学在本质上是一种演绎科学而非归纳科学；数学与自然科学相反，仅依赖于证明，而不像自然科学那样依赖实验；数学定理达到的可靠性程度是自然科学定律所无法比拟的，等等。
然而就在20世纪即将过去的这最后20年里，由于计算机的深刻影响，数学的欧几里德范式发生了突变，整个数学世界开始分裂——演绎数学与实验数学，传统的一系列数学信念（数学哲学）发生了变革。一场跨世纪的数学革命已经爆发，并正在向纵深发展。可以预计，这次数学革命的力度将是空前的，它的革命性将超越历次数学的重大变革，它很可能将从根本上转变数学的基本走向和人们对什么是数学的根本认识。
二、实验数学的跨世纪登场
早在1976年，美国伊利诺大学的两位数学家哈肯和阿佩尔郑重宣布，他们解决了一个已经有整整一个世纪历史的世界著名数学难题：四色猜想。这一消息一经公开，立刻引起了世界数学界不小的反应。这不仅仅是因为人们曾经认为这个猜想如同费尔马大定理一样困难，更重要的是其中的证明竟是借助计算机完成的。不过当时人们的争议主要集中在“用计算机完成的数学证明是不是可靠的”这样一个问题上，几乎没有人认识到这已是一个新的数学时代——计算机数学时代——来临的前兆。事隔20余年后的今天，我们完全有理由认为，四色猜想的计算机证明，敲响了新世纪数学的钟声，开辟了一个全新的计算机数学的新时代。
从50年代初电子计算机发展以来一直在酝酿着的事情终于发生了：计算机从数学家手中接过了从事真正的数学证明的重任。然而就在不少人欢呼这一时代来临的同时，却有一些人发出了怀疑的声音：四色猜想的证明过程主要是利用了计算机获得的结果，而这些结果从本质上来说不能经受人工检验，这样的过程是不能被看作为数学证明的。对这些人来说，四色问题仍然悬而未决。美国学者蒂莫兹科就是其中很有代表性的一位。他在《四色问题及其哲学意义》中明确指出：四色问题是否确实是一个定理，还需要哲学上的研究。并认为如果我们要接受四色问题作为定理的话，则要改变我们的“定理”的意义，改变“证明”的意义。[1]具体地说，蒂莫兹科认为，四色问题的证明不具有可验证性，而且是否可以形式化也依赖于人们对计算机辅助证明的认识。蒂莫兹科的文章一经发表，立即有人提出了反驳：对不起！蒂莫兹科，四色定理是可检验的，并且确实被检验过。说它是可检验的，这是根据任何有限的形式证明都是可检验的这个事实得出的——人类只需要学会长寿来处理这些冗长的证明。说它是已经被检验过的，这是因为计算机已经一步一步地检验和证明了这个定理。[2]当然有人会说，四色定理没有被验证，是指没有被数学家验证。对此的回答是，即使任何数学家都能检验任何已知的证明，但这不是所有的人都能做到的：绝大多数人不会从事最复杂的证明，他们必须求助于权威。四色定理的证明只不过扩大到需要求助于计算机。在我们看来，这好比一个近视眼看远处事物时要求助于正常人，而当其间的距离充分远时，连正常人也要求助于望眼镜。尽管一时有一些人对四色定理的证明提出了怀疑的看法，但总的来说，随着时间的推移和计算机在社会中日趋增长的应用，拒绝接受四色定理计算机证明的数学家人数已在逐渐减少，大多数人，尤其是年轻的一代数学家们现在认识到：计算机的出现不仅大大地改变了数学研究的方式，而且从根本上改变着证明概念本身。计算机辅助证明、计算机辅助检验应该看作是一种有效的数学证明和检验。正是在这样一种观念的变革过程中，全新的实验数学诞生了。
关于何为实验数学，目前尚未有统一的定义。有人对其作了这样的描述：实验数学是这样一个数学分支：它通过对猜想和非形式化的信念的实验探索，以及对此过程中所获信息的仔细分析，最终对数学界提出的各种洞察到的事物加以组织、分析和传播。[3]
我们认为，所谓实验数学，简要地说就是以计算机为工具，通过大量的个例归纳、搜寻和检验来获取数学结论的一种新的数学分支。它不再像传统演绎数学那样通过逐步的逻辑演绎的办法来研究数学。计算机已经酝酿出了进行数学研究的一种全新手段——计算机实验。实验数学家和大多数其他的科学家一样，通过归纳的方法而不是逐步演绎的方法来获取知识。所不同的是，别的科学家们设计针对现实世界的各个部分的实验，而新一代数学家们则通过搜寻只存在于计算机中的抽象世界的图案或数据来进行实验。长期以来，数学家们总是将时间花费在思考构造证明的方法上，在与不可思议的事物进行头脑中的孤独的战斗时，他们仅有的装备是一张纸和一支笔。现在他们则可以像孩子们玩电子游戏一样在计算机上自娱了。
最致力于推动实验数学的是一批年轻的美国人。他们是一代伴随着两性自由离合论成长起来的科学家。如今他们期盼着自由的数学，他们不再被欧几里德范式所束缚。他们常常做出假定而不严格地证明，往往只给出几个简单的例证，就向所有可能的情形推广。实验对于他们来说是对付数学的一种不同的方法，而且他们感到实验摆脱了已有的研究方式令人耳目一新。他们希望看到对于好的实验的正式承认，无论它们是否有定理相随。一些人已开始呼吁，要给予从证明到实验这种转变以习惯上的承认。总之，新一代思想自由的数学家已学会用计算机来改变日常的工作模式和思维模式。他们相信，数学家们一直都在做实验，变化了的只是实验的规模。正如有人所言：“实际上，可能数学本身正在进入一个实验阶段。在依照欧几里德的规则生活了23个世纪之后，数学家们可能正在变得稍稍不拘小节些了。当维多利亚时代人发现非欧几何时，他们认为可以推翻欧几里德了。但是他们仍按照旧的方式工作。也许只用在今天，100年之后，新的自由的许诺才兑现。欧几里德范式也许是不像我们想的那样基本了”。[4]
三、欧几里德范式向实验范式的转换
实验数学的产生，在世界数学界和数学哲学界引起了极大的冲击，许多著名数学家纷纷发表自己的看法。美国数学学会《公报》等多种刊物，近几年连续发表了数十位数学家、数学哲学家对实验数学的看法。对此笔者已作了专门评介[6]，在此不再复述。在实验数学引发的大量问题中，绝大部分都是一些具有哲学性的基础问题。这些问题因其十分的重要而迫使有关人士予以足够的重视。
我们认为，实验数学的诞生，对现有数学最大的影响就是对盛行时间长达二千余年的欧几里德范式的动摇。一个范式或一个理念，能够盛行二千余年，这在整个人类科学史上，甚至整个人类文化史上都是十分罕见的。实验数学的诞生，是有史以来第一次真正地从数学内部对基本的欧氏范式的革命。包括非欧几何学在内的以往数次重大的数学变革，都没有对数学的演绎范式构成冲击，尽管它们都是值得大书特写的数学革命。可以说，这场跨世纪的数学革命的空前性，就表现在它对整个数学的演绎范式构成了严峻地挑战，很可能在21世纪将改变数学的基本结构、基本观念、基本原则和基本方法。既使不出现欧氏范式的彻底更替，至少也会是两种范式相互并存。
1.数学研究方法与手段的变革。
这一变革根源于计算机在数学研究过程中的运用。这是实验数学得以产生的最基本的条件。研究工具的改换，直接导致的就是研究方法的变革。计算机搜索、计算机归纳、计算机证明、计算机检验、等一系列全新的研究方法应运而生。人们原来完全要靠大脑作的一些事，现在可以放心地交给计算机去做了。计算机的引入，彻底结束了完全用笔和纸推动数学发展的“手工”历史，迈进了用计算机推动数学发展的机械化、自动化时代。计算机研究方法的运用，不仅为数学家们节省了大量体力和脑力，更重要的一点是，它使数学家们发现和认识到以往仅靠大脑和双手所无法发现和认识的新现象、新结论，创建了许多全新的数学分支，如分形几何学就是一例。另外，一些原来认为只能由大脑承担的传统分支学科也被计算机承担，如计算机代数学的产生，使得许多符号计算、推理的工作也被计算机接过去了。
实验数学中最独特的方法，也是引起争议最大的方法是，计算机归纳（计算机推测）和计算机证明。许多其它争议都可以归结到对这两种方法的看法上。故下面重点对这两种方法作些专门的讨论。
简单地讲，所谓计算机归纳或计算机推测，就是以计算机中的数学客体为对象，根据已知的东西想象未知的东知，同时给出一个猜测性的结论。按理说，推测在数学中的运用是普遍而悠久的。有人就认为，毕达哥拉斯定理就是完全凭实验推测得到的，并且认为多数数学进展都是始于对案例的实验、推测。人们总是，当发现有足够的案例支持某个推理时，就试着去证明它。证明了，推测便成为定理而接受；证伪了，推测便成为谬误而抛弃。归纳、推测作为一种研究方法在以往始终没有引起人们的反对，就是因为在每一个推测之后，紧接着有一个严格的证明。若是没有这严格的证明，相应的推测就作为数学猜想流传下来，并且不断激发后来者去证明，哥德巴赫猜想就是一个典型的例子。这是演绎数学的传统。然而如今的实验数学却不是这样。年轻的实验数学家们不再受传统范式的束缚，他们常常只是给出几个简单的案例，就向所有可能的情形推广。实验、推测对于他们来说就是研究数学的一种独立的方法——仅有推测就够了。这与老一辈数学家们的“仅有推测是不够的”形成了鲜明的对照。也正因为如此，人们才对实验数学的合法性提出了种种质疑。为此，一些实验数学家们开始呼吁，要给以从证明到实验的这种转变以习惯上的承认。我们以为，一些人对数学中引入推测表示担忧，其根本原因在于认为推测的结论是不可靠的，认为人们拥有的数学知识必须是经过严格地逻辑证明了的定理。我们认为，如今是到了对这种习以惯之的信念表示怀疑的的时候了。在我们看来，这种习惯信念是建立在对下述三个问题的直接肯定的基础之上的，然而这种肯定又是没有充足根据的。这三个问题是：1我们是不是必须拥有严格证明的定理？2我们是不是总能获得严格证明的定理？3推测性结论就真的不可靠、真的无用吗？
对于第一个问题的回答，涉及到两个方面：一是目的性，即我们为什么要拥有数学定理？或者说，我们为什么要进行数学研究？由此，第一个问题也就从一个侧面变为：是不是只有严格证明的数学才是符合我们的根本目的与要求的数学呢？那么，人类从事数学研究的目的是什么呢？从终极意义上讲，我们以为就是为了人类的福祉。这是一个十分宽泛的说法，适合于一切科学研究的终极目的。具体一点，这一终极目的主要体现在数学为其它各门科学提供一种形式化的语言、方法和思想。简言之，在于被应用。一旦用“被应用”作为回答问题的标准，我们的答案也就清楚了：我们并不必须拥有严格证明的数学定理。这是整个数学史及科学史告诉我们的事实。今天被认为是严格的数学，是在19世纪末以后才确立起来的。可数学不一直在“被应用”吗？不仅是“外在的应用”——用于自然科学等，也包括“内在的应用”——用于数学自身。许多推测的直接应用更是可直接回答我们的问题。最有代表性的就是黎曼猜想在物理学中的深刻应用。二是涉及到如何看待“严格证明”本身的可靠性。数学发展的整个历史早已显现，“严格证明”本身就是一个历史性的概念（对此后文还将论述）。这样一来，我们又能在何种意义上实现必须拥有严格证明的数学这一要求呢？要知道，如今的数学基础依然存在着逻辑的裂缝。对严格证明可靠性的不切实际的信念，是错误地肯定第一问题的重要原因。由此看来，必须拥有严格证明的数学只能是一种美好的愿望。这已涉及到对第二个问题的回答。
过去人们大都相信，数学中没有不可知的东西，今天没有证明的东西，明天一定会被证明。然而20世纪30年代以后，由于递归论的发展，使人们终于认识到：现代数学中存在着大量不可计算、不可证明的数学问题或命题，如丢番图方程整数解问题等。丘奇——图灵论点作为一块试金石，把数学中一切问题或命题划分为可计算的与不可计算的两类。这说明在原则上或理论上，我们就并不总能获得严格意义的结论。从现实意义上讲就更是如此，现代计算复杂性理论已告诉我们，当一个问题的复杂性达到指数复杂性时，它便通常是不可现实求解的。在这些铁的事实面前，如果一再坚持严格证明的传统信念，那就不仅仅是一个不合适宜的问题，而且将会被世界数学发展的新的主流所抛弃。不被传统信念所束缚，勇于在新世纪数学的前沿冲浪，这应是新一代数学家的气魄。
还应回答的一个问题是推测性结论是否可靠、是否有用。对此，这里可以简要地说，推测性结论具有一种概率可靠性和应用的有效性（后面将进一步论述）。
纵观上述，我们看到，强求数学知识的绝对严格性不仅是不现实的、不可能做得到的，而且也不一定是必要的。由此，用强求严格性来拒绝计算机推测是站不住脚的。
计算机证明的第一次成功运用，是在1976年对四色定理的证明。由此也就揭开了人们对计算机证明争论的历史。可以说，争议的焦点集中在计算机证明是不是具有可检验性这个问题上。有人提出了“一个定理的证明如果没有被人看到，那么这个定理能否算证明了？”的问题。另外，基于计算机本身的可靠性而引起的计算机证明的可靠性问题、计算机证明是否排斥人们的洞察力问题等，也是引起一些人不能接受计算机证明这一新方式的重要原因。要弄清楚这些问题，首先涉及到对什么是证明以及证明具有怎样的功能、作用的看法，对此应该先有个交待。
可能与世人的印象相反，数学界内部对什么是数学证明的认识分歧很大。这里我们只是以目前多数人接受的说法来界定一下数学证明：数学证明就是以一些基本概念、基本公理为基础，运用逻辑规则和方法推导数学命题的方法或过程。对于这样一个“定义”，多数人认为，它在本质上就是一个判定数学命题真假的方法，是为人们提供数学命题可靠性保证的手段。数学证明的功能或作用也正体现于此。然而接下去的一系列考察，却要对这些认识提出一个又一个的质疑。
纵观整个数学发展史，数学家犯过的错误数不胜数。仅费尔马大定理的证明，就多次有人宣称自己给出了证明。可事实并不是那么回事。另外，即使证明真的无误，谁来判定呢？要知道，有些证明是很长很复杂的。如1980年基本解决的单群分类问题。美国哥仑斯坦曾作过估计，把分散在各杂志、各书籍中的有关成果全部收集起来，至少长达5千多页。谁能保证这5千多页里没有错误？谁又有这个功夫去仔细验证？即使真有这样的人，怎样肯定任何错误都逃不过他的锐利目光呢？可见，实际中的证明并不必然保证命题的可靠。
其次，实际中的证明，通常不是严格地纯逻辑推导，而是如英国数学家哈代所说的“指指点点”。他在《数学证明》一文中说：“严格来说，没有所谓证明这个东西，归根结底，我们只能指指点点。……它只是修辞雄辩，用以加强心理感受；它只是讲课中在黑板上画的图画，用以激发学生的想象力”。既然是“指指点点”，自然涉及人的因素。进行证明的是人，理解证明的也是人。实际中的数学证明，往往是一项社会活动，一项复杂的涉及逻辑、直觉、心理、文化与社会的综合性活动。由此，也更加让人体会到，“严格证明”只是一个相对的历史性概念。无怪有位数学家说：“一个证明只当它通过‘被接纳为证明’这项社会行为后，它才算是证明”。[7]
由此可以看到，对计算机证明可靠性的担心往往来自对传统数学证明不恰当的信任，以及一些人在作判断时缺乏一致的标准。“当一个普通的数学定理发表时，我们并不要求它有一个形式的、机械可验证的证明。那种证明太长，难以理解，而且，或许无论如何都得不到，因为世界上的纸张、脑细胞和计算机的存储容量等等都是有限的。同样，对于依赖于计算机得到的结果，坚持要有正确的正规的证明也是不合理的。我们认为，合理的要求是应该的：对所有算法有一个陈述和一种可以公开得到的实施方法，其他人可以独立地进行验证。”对于物理机械的计算机的可靠性，人们同样要有一个基本的信任。不要忘了，如今世界各国每天都在用计算机设计桥梁、控制航天飞机飞行、记录货物库存、结算金融收支等等。对基于计算机运算的数学结果，我们必须学会赋予其一定程度的可靠性。建立适用于实验数学的一套可靠性与可接受性标准是当前数学界和数学哲学界的一件重要的任务。《实验数学》的创办者爱泼斯坦对此提出了自己的看法。认为发表计算机结果的研究人员，应该首先公布程序，接受公众的详细检验。如果该结果由其他研究人员用不同程序独立得到验证，可靠性就有了保证。否则，可靠的程度便依赖于许多因素，如程序是用什么语言写成的等等。[5]总之，应该相信，在数学研究中使用计算机远不会危害数学的严密性。
关于“一个定理的证明如果没有被人看到，那么这个定理能否算被证明了？”的问题，有一位数学家作过这样一个深刻的分析：计算机内部的工作对我们来说并不是神秘的，计算机是由我们根据我们的数学而设计、制造和编程序的。我们能够做计算机做的工作，计算机所做的只不过是做得更快一些罢了。计算机的工作不仅是可检查的而且是可理解的——我们能够命令计算机打印出它的计算的任何细节部分，从而通过数学家的检查，只要有人愿意做这个检查。其实，我们描绘计算机所做的工作比描绘数学家所做的工作更精确。[8]计算机比数学家的计算速度增加了，但计算的本质并没有发生根本的质变。因此，接受一个用计算机证明的定理是适当的。就如接受一个用望远镜观察到的星体或用显微镜观察到的细胞一样是适当的。计算机证明排斥洞察力吗？这是另一个需要重视的问题。一般地认为，计算机证明排斥洞察力。这是我们不能完全同意的，因为事实上计算机已经帮助人们获得了一系列有意义的结论，发现了一些我们原本无法发现的东西，四色定理的证明、分形几何的产生、计算机代数的出现，都说明了这一点。因此，从根本上讲，计算机并不必然排斥洞察力，相反，它还可为人们提供一个更加直观、更加生动的新的数学领域。再者，传统数学通常只给出漂亮、周密、严格的结论，多数人往往不知道这些新结论是怎么发现的；相反，实验数学则十分重视数学的发现，对重要的猜想和探索性研究给予保留，使人们能共享洞察所见，获得启示。
2.数学结构、性质与观念的变革
实验数学的兴起，不仅改变了数学研究的方法与手段，进一步，还改变了数学的基本结构、基本性质和基本观念。下面我们逐一论述。
(1)数学结构。这里我们说的数学结构有两层含义：一是组成结构，二是表达形式。欧氏范式下的数学理论，大体就是由基础命题集（公里、定义）＋演义命题集（定理）构成的。而在实验数学中，则又增加了一个重要的归纳命题集（猜测性命题或概率性定理）。于是数学的组成结构变成了一个演绎——归纳体系：基础命题集＋演绎命题集＋归纳命题集。应该强调指出的是，在欧氏范式下的数学并非不存在数学猜想或数学假说，只不过在这种范式指导下，数学猜想并不作为数学命题或正式结论而被人们（数学共同体）接受，它们不具有可接受性。仅仅是作为定理的“候选者”、严密数学的“编外对象”而存在。它们在本质上还是一类有待求解或求证的数学问题。但在实验数学家眼里，数学猜想的地位就大不一样了。它们不再是“候选者”、“编外对象”，而是正式的数学成员。它们具有与定理完全同等的可接受性。当然，应该明确的是，这里所说的数学猜想与传统意义下的数学猜想是有区别的。传统意义下的数学猜想往往是通过对很有限或少数对象进行归纳、搜寻和检验而获得的，包含了较多的直觉信念的成份。而今实验数学中的数学猜想，则是以计算机为工具，通过大量的个例归纳、搜寻和检验来获得的。所依据的归纳对象，在数量上有很大差距。由此获得的数学猜想的可靠性程度可能也就有了较大的不同。把具有高概率的数学猜想作为结论接受应该说是有其合理性的。
算法与演算是处理计算过程与推理过程的两大方式。但是，长期以来，人们只把数学理论（及一切演绎科学）表示成一个公理系统，亦即表示成一个内容丰富、结构复杂的演算，其中虽有若干片段是表示成算法的，如对求最大公约数给出了辗转相除法等等。但是，这些只是些零星片段，整个数学并没有表示成一个算法体系；这些零星片段的算法也被人们认为是“笨方法”，不够巧妙。但从计算机出现以来，算法的重要性便突出地显现出来了。实验数学的产生将直接改变数学传统的唯一的表示形式——同时把整个数学理论也表示成一个大算法。
(2)数学性质。这里说的数学性质分为方法论层次上的性质——演绎还是归纳，与本体论层次上的性质——经验还是理念。先说方法论层次上的性质。数学是一门演绎科学的观点，在世界数学界一直占据着绝对主导的地位，这是无庸置疑的事实。尽管始终有经验主义者对此表示不同意见。但这往往仅被当作哲学上的不同见解，事实上并未影响到数学家的具体研究。如今不同了，已经有人开始直接把归纳作为处理数学的一种独立的方法了，与此同时概率性真理的概念也已引入数学。在这一现实背景下，如果还只是在哲学上谈论数学是演绎的还是归纳的，说太脱离实际了。我们以为，只要不无视实验数学的存在，能够客观地接受它，那么就不难认定数学既是演绎的也是归纳的。演绎与归纳只不过是数学研究中常要使用的两种方式。
另外，许多人谈论数学性质时，是从数学是演绎科学还是经验科学这个角度来谈的。我们认为这个视角是有问题的。演绎应与归纳相对应，经验应与理念相对应。前者是方法论、认识论层次上的概念，后者是本体论层次上的概念。把两个不同层次上的概念拉到一起来谈论，是不是有个层次错乱的问题。有了这样一个层次上的区别，数学的性质就要作更进一步的分析：数学是经验的还是理念的？历史上，对数学是不是具有与自然科学一样的现实经验性，始终有两种截然相反的观点，一方认为数学与自然科学一样，具有现实的经验性。理由有两条：一是数学在自然科学中的成功应用，二是数学（主要是初等数学）根源于现实世界。另一方则认为，数学不同于具有现实经验性的自然科学，它是外在于现实世界的、超验的。我们大体赞同后一种观点。只要那个“伤了几百年脑筋的问题”——“哪一个数学命题可以在实践中直接检验”还是作为一个问题而存在，那么我们就没有理由也没有必要去接受第一种观点。在我们看来，数学及数学对象是人类心智的创造物，是独立于经验世界的模式理念、形式理念（关于这个问题的详细论述超出了本文范围，故不再展开）。这里我们想要论及的是，实验数学的产生，尽管像有些人说的那样，把实验给引进了数学，但是数学作为一种超验的理念性科学的性质依然没有变动。因为这里说的实验并不是对经验对象的实验，它依然是对非经验的理念客体的实验。所以我们说，实验数学的产生并没有改变数学是一门理念性科学而非经验性科学的本体论性质。
(3)数学真理。实验数学对传统数学真理观可谓是冲击最大，这主要表现在“概率性真理”这一概念的提出。概率性真理观是美国数学家齐勒贝格于1994年在他的《标明价格的定理：明天的半严格数学文化》中提出的。他说：在未来，并非所有的数学家都会去关注绝对的必然性，因为到时将有那么多激动人心的新事物待揭示。到时，我们也会有专门的理论数学家，他们将从经验数据中寓出其含义，并发展成概念性的范例。将来还会遇到这样一些命题，值不得为它们的完整证明花那么多钱。我们将很有把握以小得多的代价获得其“几乎必然性”的证明。在半严格数学时期，各种定理将被附上价格标签。如“在某一精确意义下，我们证明了哥德巴赫猜想成立的概率大于0.9999，但要彻底证明其真实性，则需要一笔100亿美金的预算”。由于绝对的真理性变得越来越昂贵，我们迟早会领悟到，只有少数的非平凡结果能用旧式必然性的标准去认识，多半我们会索性放弃这种老要记住价格的苦差事而去完成数学非严格化的进程。[9]齐勒贝格的这些观点，引起了一些人的反对，但也有人指出：看到将概率赋予数学真理，我们可能会感到震惊，但一旦从震惊中清醒过来，通常就会抱怨100亿美金太荒谬了。并认为，定理标价是对彻底解决一个问题的难度的一个附加的度量。[3]这些观点反映了一个虽小但正在扩大的数学家群体的看法，他们要求我们不仅要看到可靠性在数学中的有益之处，而且要看到相应的代价。我们认为，这些观点具有相对的合理性。而且，概率性真理的引入是符合实验数学之本性的。实验数学中大量的推测性结果，具有的就是概率性真理。计算机运算所具有的特性，为我们提供大数量的案例及某些特殊案例奠定了技术性基础。也正因为如此，概率性真理才成为可能与必然。
也许有人会问，齐勒贝格为什么愿意放弃“绝对真理”而引进“概率性真理”？如何才能觉得这不是一个巨大的牺牲？对此有人认为：最合理的回答是，他在追求更深层次的真理。认为面对一个概率值很高的但未严格证明的恒等式，我们可将其作为公理引入。黎曼猜想不是没有证明吗？但它十分有用。只要有大量的实验证据，我们就可以把一个命题作为比实用的假设更进一步的东西——公理，我们要避免的是引进新公理的随意性。[3]我们认为，这实际上是阐明了实验数学中如何引入公理的一种方法。传统数学中不也偶尔要引入公理吗？所引入的公理不也是未经证明的吗？早期数学的公理还具有一点直观自明性，如今的一些公理连一点点直观性、自明性都没有，不也在大胆的使用着吗？实验数学在此只不过是为我们引入公理开辟了另一条道路。当然，公理引入时的随意性需要避免，这就不能不考虑引入公理的相容性、独立性与有效性等。
给定理标价在我们看来不仅是对彻底解决一个问题的难度的附加的度量，而且也是在数学中引入了一种全新的价值观，是给新世纪数学赋予的一种时代特色。就说明这一点，有一个问题我们认为是需要阐明一下的，这就是真理与价值的关系。传统上，人们总是割裂地来谈论二者。讲真理的时候，不去谈价值，这就使得人对真理的认识不能深入，更失之全面。对数学真理的认识亦是如此。真理应该是与价值相统一的，而对价值的把握无疑涉及到目的与需要。数学研究的目的是什么？这是我们重新认识数学真理时必须思考的。前面我们已经提到，数学研究的终极目的是为了人类的福祉。如果不对这一终极目的抱有怀疑，那么就应不难接受概率性真理之标准与概念，就不会拒绝给定理标价。当100亿元还被认为是一个天文数字的时候，我们是不应拿它去证明“哥德巴赫猜想”之类的命题。其实，我们或许可以不花一分钱地把它或它的否定作为公理引入并应用。数学应该是真、善、美的统一。给数学定理标价，或许是促使人们重新考虑数学如何真正成为真、善、美的统一体的一种新视角。
为什么在应用一个数学理论之前一定要严格证明它？为什么就不能接受一些推测性的结论呢？只要一个理论能够被有效的应用（内在的或外在的），同时人们也不知道它会把人们引向某个错误，我们就应该接受它，一旦它不能做到这一点或发现了它的反例我们就要修改它或放弃它。总之，在哪里发现了矛盾、问题，就修改到哪里，并修改到当时所能接受的程度为止。其实这就是我们所能做的一切。哥德尔定理不也正是表明了这样一个道理吗？
〔收稿日期〕2000年7月10日
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