从数学史角度研究数学学习动机，本文主要内容关键词为：角度论文,数学论文,学习动机论文,数学史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
动机是行为发动的起因，也即个体用某种形式活动的主观原因.动机分为内在动机与外在动机.数学研究的动机是一种内在动机，并且是从生理需要出发的，不断发展成为满足社会需要、推动数学研究的驱力.数学学习动机是指与数学学习有关的某种需要所引起的、有意识的行为倾向，是激励或推动学生去行为、以达到一定的数学学习目的（标）的内在动因[1].教育家们相信，有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤[2].所以有必要从数学史角度研究数学学习动机.
一、逻辑推理与实际应用是数学学习动机
数学发展的历史包括两种典型的数学文化：一种是重视逻辑推理的希腊数学文化，一种是重视实际应用的中国数学文化.
数学史家将古希腊数学按时间分期：第一期从公元前600年到前323年；第二期从公元前323年到前30年，也称亚历山大前期；第三期从公元前30年到公元600年，也称亚历山大后期[3].前两个时期，希腊数学文化认为，数学命题只有通过几何形式的逻辑推理论证才能说明其正确性，论证数学成为数学研究的主流，几何形式的逻辑推理证明成为数学成果正确与否的衡量标准.这个标准逐渐发展成为对数学研究的期望或理想，即期望数学成果能够通过几何形式的逻辑推理来论证.在“亚历山大后期”，古希腊数学突破了之前以几何为中心的传统，算术、数论和代数逐渐脱离了几何的束缚.这一时期受罗马实用思想的影响，论证数学不再盛行，如海伦的《量度》中有不少命题没有证明.但论证数学中的逻辑推理在数学研究中仍占有重要位置，如丢番图《算术》书中采用纯分析的途径处理数论与代数问题[4].逻辑推理从几何论证中脱离出来，逻辑推理解决问题的思想发展成为数学研究的新理想，即希望数学问题可以通过纯逻辑推理的方法解决.纵观整个希腊数学文化，数学研究成为满足上述两种理想而付出的劳动，成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.究其本质，逻辑推理思想是几何论证与分析法解决问题的根本，是上述两种理想中最本质的思想，并且满足动机的定义.因此它是古希腊数学研究的一个动机，也是人类进行数学研究的一个动机.
中国古代数学在整体发展上表现为算法的建构和改进[5].所谓“算法”不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性的计算方法[4].算学的目的在于解决实际问题，而实际问题是层出不穷的，因此中国古代数学不仅经受住了统治者废除“明算”科的考验，甚至还有所发展，如元末明初珠算的普及.随着中国数学文化的形成，用数学知识解决实际问题成为算学的理想，即期望数学成果能够被实际应用.中国古代数学研究成为受这个理想而支配的劳动，成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.实际应用满足动机的定义，因此它是中国古代数学发展的一个动机，也是人类进行数学研究的一个动机.
所以逻辑推理与实际应用是人类进行数学研究的两个动机，按动机的分类它们属于驱力，是从生理需要出发的内在动机.数学学习可以认为是有方向性的对已有数学成果的再次研究过程，可以看作是数学研究的特例形式.依据历史发生原理综合分析得出：人类进行数学研究的内在动机一定会在数学学习中表现出来，即激励人类研究数学的内在动机与激励学生学习的内在动机是一致的.
从实际情况出发，逻辑推理可以作为生活中一种娱乐形式，如逻辑推理游戏、逻辑推理小说、逻辑推理电影等都深受公众喜欢；而实际应用也是大家十分感兴趣的，如通过应用基本的空气动力学知识制作航模.
综上所述，逻辑推理与实际应用是数学学习动机，且这两个数学学习动机是学生共有的、内在的，也是在实际教学中易于对学生进行培养的数学学习动机.
古希腊数学中的公理化思想是希腊数学文化的重要特点之一.公理化思想出现的标志是欧几里得的《几何原本》.在数学中引入逻辑因素，对命题加以证明，一般认为是从伊奥尼亚学派开始的，但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进，他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱[3].因此公理化思想的提出要晚于逻辑推理思想，公理化思想是逻辑推理思想的发展.
算法程序化思想是中国数学文化的另一个重要特点.算法程序化思想出现的标志是成书于公元前后的《九章算术》.实际应用思想虽没有明确的出现标志，但在《九章算术》成书前的《周髀算经》、《算数书》等书中涉及的数学知识都蕴含着明确的实际应用思想.算法的提出是为了解决一类实际问题，算法程序化为了使算法严谨、简明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于实际应用思想，且算法程序化思想是实际应用思想的发展.
随着数学发展，公理化思想与算法程序化思想已应用到现代数学中，成为现代数学的特点.但它们不是贯穿整个古希腊数学与中国古代数学研究的内在因素，而是逻辑推理与实际应用数学思想发展的衍生物.公理化思想与算法程序化思想也可作为数学学习的动机，但适宜群体明显要少得多.数学发展至今，数学本身的文化区域性特点淡薄了，希腊数学文化与中国数学文化背后的驱力——逻辑推理与实际应用思想，早已相互融合.近代微积分的应用及理论的严密化过程就是一例.
二、比较古今数学教材以研究初中教材两个学习动机的培养
教材是教学中最重要的用书之一，是教师教学、学生学习的主要依据.《几何原本》、《九章算术》作为西方与中国的数学教科书都有千年之久.两本著作都反映了当时的数学文化背景.重视逻辑推理与重视实际应用分别成为教学思想包含在这两本书中.
因为《九章算术》作为教材多将刘徽注释加入其中，所以将现行数学教材与《几何原本》、《九章算术及刘徽注》进行比较研究.为增加3者的可比性，选择它们共有的内容，且知识体系完备，预备知识基本一致，学生认知水平大抵相同的勾股定理部分作为比较对象.这种比较虽不能以点代面，但仍有较强的代表性与启发性.现行数学教材采用经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册[6]，以第18章第1节勾股定理内容为标准，选择《几何原本》、《九章算术及刘徽注》部分内容进行比较.因《几何原本》的成书结构是公理化体系，利用已知命题证明未知命题，且命题后没有辅助理解该命题的习题，所以选择其中与勾股定理有关或利用勾股定理证明的命题作为比较对象.由于初中教材在讲解勾股定理时，预备知识中未包含圆、无理量及立体几何内容，故选择《几何原本》[7]第Ⅰ卷命题47、48，第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13作为比较对象.《九章算术及刘徽注》的勾股章是利用直角三角形性质求高深广远，因初中教材勾股定理的预备知识中没有相似三角形及勾股数组的内容，所以选择《九章算术及刘徽注》[8]勾股章[一]至[一四]题及[一六]题作为比较对象.
1.各种教材中勾股定理的内容
（1）编写目的
《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》（下简称为《标准》）中勾股定理的教学要求是：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题[9].《几何原本》与《九章算术及刘徽注》虽没有类似的编写标准，但可以从它们的内容及成书体系分析得出.《几何原本》利用勾股定理转换面积间关系证明几何问题，即在直角三角形中，两直角边上正方形面积和与斜边上正方形面积可以相互转换.如第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13都是利用这种思想.《九章算术及刘徽注》利用勾股定理数量关系求得高深广远，解决实际生活的问题.
（2）知识框架
初中教材通过生活发现与几何直观探索，建立从实际到理论再到实际的知识体系，并运用定理解决简单问题.《几何原本》通过已知命题推导勾股定理，建立从理论到理论纯几何形式的知识体系，重在证明未知命题.《九章算术及刘徽注》通过给出3个简单几何问题“术”，建立从理论到实际的应用知识体系，旨在解决实际问题.3者建构的知识框架各不相同.
（3）定理引入
初中教材的导入分为两部分，分析毕达哥拉斯发现的定理特例与探究定理的一般形式.《几何原本》受公理化体系的影响，它的导入可以认为是定义、公理、公设及已知命题.《九章算术及刘徽注》的导入是3个已知两边求第三边的简单几何问题.
（4）定理表述
初中教材用特例猜想定理的一般形式给出勾股定理[6]：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么
《几何原本》的勾股定理以命题形式给出：在直角三角形中，直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形[10].《九章算术及刘徽注》中的勾股定理以3个简单几何问题术的形式给出：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦[8].3者对比，初中教材体现数形结合的勾股定理且形体现在边长上；《几何原本》中体现形的勾股定理且形体现在面积上；而《九章算术及刘徽注》体现数的勾股定理.各自的表述为其内容服务，它们之间存在一定差异.
（5）定理证明
初中教材利用我国古代赵爽的弦图（如图1、图2、图3），通过图形旋转证明定理猜想.这种证明方法是近年来学者们倾向于“古证复原”思想提出的.初中教材对定理证明如下[6]：
赵爽注释的《周髀算经》对勾股定理的证明如下：案弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实一亦成弦实[8].
两种解释代表两种证明思想，赵爽弦图及其证明方法未成最终定论.初中教材选择历史上的数学作为定理证明既应符合历史，又应符合学生认知习惯.图形旋转是否是赵爽的弦图思想，是否符合学生对一般几何问题证明的思维形式，仍需再斟酌.
《几何原本》用三角形全等说明图形之间面积相等，来证明定理，如图5.《九章算术及刘徽注》中勾股定理的证明是刘徽给出的，利用出入相补原理说明面积间关系，由此得到结论，如图6.
（6）定理应用
即黄金分割；命题12、13是余弦定理的两种形式.《九章算术及刘徽注》勾股章中[四]至[一四]都是对定理的应用，分别是[四]圆材取方；[五]葛生木下；[六]葭生池中；[七]系索木末；[八]倚木于垣；[九]圆材埋壁；[一○]开门去阃；[一一]门户高宽；[一二]竿从门出；[一三]竹折抵地；[一四]两人相会，此题刘徽推广得到勾股数；[一六]勾股容圆，解题的关键在于出入相补思想的应用，题中也涉及了勾股定理.
2.初中教材与数学学习动机的培养
通过对3种教材勾股定理内容的比较，分析初中教材在培养逻辑推理与实际应用数学学习动机方面存在的不足.
（1）逻辑推理
第一，初中教材勾股定理的导入没有很好地为定理表述做准备.初中教材表述的勾股定理在形式上属于数形结合，且“形”体现在边长上，但导入的内容是纯几何形式的，且“形”体现在面积上.定理的导入与定理的表述在形式上的不一致，会给学生造成学习与思考的障碍.
第二，习题中单一的数学语言描述僵化了解题的思维《几何原本》与《九章算术及刘徽注》题目都没有用直观的数学语言进行描述，解题前需要建立适当的数学模型，这样的数学思维过程是从现实到抽象的逻辑推理过程，能够锻炼学生抓住问题的本质，这与《标准》中要求初步形成模型思想是一致的.但初中教材没有很好地体现这一点.
第三，教学目的与习题联系不甚密切.探索勾股定理是这节课的重要内容，是《标准》的要求之一.但16道习题全部为计算题，没有利用定理进行逻辑推理的几何证明，也没有对勾股定理证明的再引导及再思考.定理其他证明方法放在选学部分中，易对学生造成一种“勾股定理证明方法不重要”的心理暗示.以上3点都不利于逻辑推理数学学习动机的培养.
（2）实际应用
首先，初中数学教材中题目选材的来源较少.因为时代背景与知识体系不同，初中教材以生活为背景的习题所占比例要远远小于《九章算术及刘徽注》.初中教材中例题、练习与习题涉及实际应用的有9道题，分析这些题目的来源：涉及日常生活的有5题；涉及工程零件的有2题；涉及自然风景的有2题.其中与实际生活背景关联牵强，即不容易在生活中遇到的有4题：分别是教材中探究2后的练习1“圆盖盖正方形洞口”；探究2后的练习“两池塘边两点间距离”；习题第2题“旗杆折断”；习题第9题“等腰三角形工程零件”.其中题目背景与《九章算术及刘徽注》相似或相同的有3题：分别是探究2“梯子靠墙”；习题第2题“旗杆折断”；习题第10题“葭生池中”.而《九章算术及刘徽注》12道涉及实际应用题中，仅有[一四]“两人相会”与实际生活联系较为牵强，但此题重在引出勾股数组.其余题目取材来源丰富，如枝藤绕木、芦苇摆动、柴门微开、竹折抵地等.相比之下，初中教材的题目取材较为单一.
其次，初中教材题目的真实性欠缺.问题的真实性有助于学生身临其境，虽然会增加问题难度，但有利于培养实际应用数学学习动机，《九章算术及刘徽注》习题的真实性通过渲染题目背景，寥寥几笔意境全生.如勾股章第[五]题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”[8]相比之下，初中数学教材则逊色一些.此外《九章算术及刘徽注》12道实际应用为背景的习题有7题涉及运动思想，而初中教材9道以实际应用为背景的习题中只有3题涉及运动思想.以上两点都不利于实际应用数学学习动机的培养.
通过初中教材与《几何原本》、《九章算术及刘徽注》中勾股定理内容比较，发现初中教材中在培养逻辑推理与实际应用两方面数学学习动机的不足.但教材整体仍是值得肯定的，并且这本教材只是义务教育课程标准的实验教科书，是我国课程改革的一个阶段成果.
三、作用与启示
著名数学家陈省身曾说：“数学好玩，数学课要讲得孩子们有兴趣.孩子们都是有好奇心的，他们对数学本来也有好奇心.可是教得不好，把数学讲得干巴巴的，扼杀了好奇心，数学就难了.”[12]其中的“好玩”不是童趣的好玩，不是幼稚的好玩，是领悟数学本质，利用数学思维的好玩.“数学课要讲得孩子们有兴趣”就要培养数学学习动机，从本质上引导孩子发现数学的兴趣.这就要求课程改革重视数学学习动机的培养.教材是教学中最重要的用书之一，教材改革在课程改革中扮演着重要的角色.以下从培养逻辑推理与实际应用数学学习动机的角度论述数学史对教材改革的作用与启示.
首先，数学史为数学教材培养数学学习动机的改革指明了方向.数学学习动机构成复杂，个体间动机存在差异，即使内在动机也种类颇多，为培养数学学习动机提出了难题.通过数学史的分析可知，逻辑推理与实际应用是学生共有的、内在的数学学习动机，是培养数学学习动机的切入点.教材改革应重视数学学习动机的培养，并且将培养逻辑推理与实际应用数学学习动机放在首要位置.
其次，数学史为数学教材培养数学学习动机的改革指出了现行教材存在的具体问题.古代数学教材及数学史料代表前人研究数学的思想，体现数学历史推进的主要步骤.通过对古代数学教材及数学史料与现代数学教材的比较，可以发现现行教材在培养逻辑推理与实际应用数学学习动机存在的不足，前文对《几何原本》、《九章算术及刘徽注》与初中教材的比较研究就是一例.
再次，数学史为数学教材培养数学学习动机的改革提供了参考答案.上述两点启示是易于发现、易于做到的，但教材改革中选取的内容更需要思考.培养逻辑推理数学学习动机应在学生已掌握数学知识中提出，引导学生发现不同数学内涵，思辨数学本质.培养实际应用数学学习动机应在已掌握的数学知识与实际生活的交集中提出，如测量电视屏幕的大小；如何快速猜测“幸运52”中的物价；自行车轮胎再补合算吗[2]？不仅从数学中发现生活，而且从生活中发现数学.但以上素材需要大量的知识储备、高屋建瓴的观点以及对素材内容的反复推敲，这些无疑是改革中的难题.数学史是这些素材内容的最佳来源，如古希腊的各种思辨问题、悖论，再如中国古代数学各种实用问题，它们都经过了前人的研究总结.可以从数学史中找到对这些问题长期研究后形成的深入浅出的观点，稍加整理即可作为培养数学学习动机的素材.
这也谈及数学史对数学教育的作用.第一，数学史帮助学生理解数学；第二，数学史提高学生对数学的宏观认识；第三，数学史可以对学生进行人文教育，进行美育熏陶[13]；第四，利用数学史培养学生数学学习的动机.这应是数学史与数学教育共同关注的课题.
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