基于状态空间的贝叶斯跳跃厚尾金融随机波动模型研究，本文主要内容关键词为：模型论文,状态论文,金融论文,空间论文,贝叶斯论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
资产收益波动在大量的金融实践中扮演着关键性角色，它是资本资产定价，风险管理和投资组合理论的核心变量。通常，研究资产收益波动的模型可以归纳为两类：第一类是Engle[1]于1982年提出的自回归条件异方差（Autoregressive conditional heteroskedasticity，简称ARCH）模型，此类模型中的条件方差为过去的观测值和误差的平方项的线性形式；第二类是Taylor[2]提出的随机波动（Stochastic Volatility，简称SV）模型，与ARCH类模型不同，SV模型中的方差由一个不可观测的随机过程决定，因此，它被认为更加适合金融领域的实际研究。
之后，Geweke[3]在1994年提出用于刻画金融时间序列厚尾特征的厚尾SV模型，即在SV模型中考虑观测误差项服从厚尾分布。Jacquier、Polson、Rossi等[4-5]则分别对标准SV模型和厚尾SV模型进行贝叶斯分析，提出了模型参数估计的MCMC算法。这两类模型虽然能够较好地解释金融随机变量的波动时变性及其厚尾特征，但是对金融市场中突发的大幅度波动缺乏较强的解释能力。针对该问题，Chib[6]将跳跃过程(jump process)引入到SV模型的观测方程之中，通过跳跃过程解释这类波动，提出了跳跃SV模型。Eraker[7]、Nakajima[8]和Kobayashi[9]等人也在SV模型中加入了跳跃过程，以增强SV模型对于金融市场中突发事件的解释能力。国内学者对SV模型也进行了研究。例如，孟利锋和张世英[10]，王春峰[11-12]，徐梅[13]，沈根祥[14]，王吉林[15]和朱慧明[16]等人利用标准SV模型及厚尾SV模型对中国股市进行了实证研究，发现厚尾SV模型比标准SV模型更能准确地描述股票时间序列的波动特征。在刻画股市跳跃特征方面，周彦和张世英[17]研究了跳跃连续时间SV模型。
本文将研究一种拓展的跳跃厚尾SV模型，设计核密度算法估计贝叶斯因子，据此对跳跃厚尾SV模型与其他模型进行比较分析，解决利用AIC和BIC信息准进行模型比较时要求对模型参数进行极大似然估计的局限性；同时，利用中、美两国股市的波动以及跳跃进行对比研究，分析两国股市波动特征的异同。
2 模型结构
跳跃厚尾SV模型是由标准SV模型衍生而来的，如果标准SV模型的观测误差具有厚尾概率分布，并且观测方程中包括一个跳跃过程，则可以得到跳跃厚尾SV模型，其具体表达形式如下：
如果对模型(2)的观测方程进行移项，并在等式两边平方取对数，则可将其转化为如下的线性状态空间模型形式：
其中，
的模型m的似然函数。由公式(11)可以看出，模型的边缘似然函数考虑到了模型各个参数的所有取值的可能性，因此，利用贝叶斯因子进行模型比较，可以减弱先验信息对于模型比较结果的影响，突出数据的重要性。
考虑将跳跃厚尾SV模型和其他模型进行比较时，贝叶斯因子的计算问题。首先，在跳跃厚尾SV模型中，依据数据增广的思想，模型参数不应该只包括，μ，φ，σ，ν，p，δ，还应该包括模型的潜在变量
；其次，跳跃厚尾SV模型的潜变量
服从离散的贝努利分布，它不具有单峰特征；最后，由于不能直接得到跳跃厚尾SV模型似然函数的解析形式，因此无法对其参数进行极大似然估计。基于以上原因，将不能通过AIC或BIC信息准则来估计贝叶斯因子。因此，可以从贝叶斯因子的定义出发，通过边缘似然函数来计算贝叶斯因子。在计算边缘似然函数时，先根据贝叶斯公式，将f(y|m)转化为如下形式：
既然通过MCMC算法能够得到跳跃厚尾SV模型参数的后验分布的样本，那么可以利用这些样本，对模型参数在某一点的后验密度函数值进行核密度估计，从而可以计算出跳跃厚尾SV模型的边缘似然函数，具体步骤如下：
4 实证分析
4.1 数据选取及特征分析
在全球金融危机背景下，选用2006年12月11日至2009年9月1日的上证综合指数以及2006年1月4日至2009年9月1日的标准普尔500指数作为研究对象，以此来分析中、美两国股市的波动特征。指标选取为每日收盘价，样本量分别为665和891，用消去均值后的对数收益率作为模型的观测值
，即
此处，
为第t日的收盘价。两种指数的对数收益率序列如图1所示：对图1进行直观分析，可以看出中国股市跳跃发生的频率要明显高于美国股市，美国股市的跳跃幅度要比中国股市的大。
图1 上证综指和标准普尔500指数对数收益率序列图
为了从定量角度分析样本数据的统计特征，表2列出了两种指数的基本统计量指标。
表2 样本对数收益率序列的基本统计特征
注：**代表在1%的显著性水平下拒绝原假设。
表2的结果表明：上证综合指数的标准差要高于标准普尔500指数标准差，说明中国股市的波动水平要高于美国股市。通过极差指标可以发现美国股市的跳跃幅度要高于中国股市，验证了前面的直观分析。J-B(Jarque-Bera)正态性检验的结果表明两组样本数据在1%的显著性水平下都拒绝了正态分布的原假设。因此，综合定性分析和定量分析，将采用跳跃厚尾SV模型来分析中国和美国股市的波动特征。
4.2 计算过程与收敛性诊断
采用MCMC算法同时产生两条具有不同参数初始值的Markov链，便于检验跳跃厚尾SV模型各参数的样本分布的收敛性。其中，第一条Markov链的参数初始值设定为：μ=0，φ=0.86，σ=0.1，ν=20，p=0.02，δ=0.02，第二条Markov链的参数初始值设定为：μ=-5，φ=0.8，σ=0.2，ν=15，p=0.01，δ=0.05。先对各参数进行25000次迭代，舍弃前15000个样本进行模拟退火(simulated annealing)，再对保存下来的后10000个样本进行分析。收敛性检验中，使用Gelman-Rubin收敛性诊断方法[25]，此方法通过GR统计量来判断模型各参数的样本分布是否已收敛到其后验分布，其中，GR统计量的具体表达式为：
此处，n表示样本量，k表示Markov链的个数，B和w分别表示样本间方差和样本内方差，用公式表示如下：
由图2可知：对于上证综合指数，跳跃厚尾SV模型各参数的GR统计量都随着样本量的增加而趋近于1，说明模型各个参数的样本分布已经收敛到其后验分布。同样，图3中的参数，μ，φ，σ，δ的样本分布也是收敛的。至于参数v和p，虽然它们的GR统计量没有随样本量的增加而趋近于1，但是其取值都在1到1.2之间，因此根据Gehnan、Rubin等[25]的观点，可以认为v和p的样本分布已经收敛。
图2 上证综合指数跳跃厚尾SV模型参数样本分布收敛图
图3 标准普尔500指数跳跃厚尾SV模型参数样本分布收敛图
4.3 模型比较
既然跳跃厚尾SV模型各参数的样本分布都已收敛，那么，可以利用从MCMC算法中得到的参数样本来进行模型比较。由于跳跃厚尾SV模型是标准SV模型的一种拓展形式，因此，将其和标准SV模型以及厚尾SV模型进行比较，可以发现是否跳跃过程能够增强SV模型对于金融市场中跳跃特征的刻画能力。
在跳跃厚尾SV模型中，如果令
，t=1，2，…，n，那么跳跃就不会发生，此时，跳跃厚尾SV模型就转换成了厚尾SV模型；进一步，如果令
，t=1，2，…，n，那么，不仅跳跃不会发生，而且观测误差
，服从标准正态分布，此时，跳跃厚尾SV模型就转换成了标准SV模型。因此，可以根据跳跃厚尾SV模型的边缘似然函数的计算步骤，计算出三种SV模型的边缘似然函数，从而得到贝叶斯因子。用
分别表示跳跃厚尾SV模型、厚尾SV模型和标准SV模型，则边缘似然函数以及贝叶斯因子的计算结果如表3所示。
从表3可知：对于中、美两国股票市场，由于对数贝叶斯因子
都是正的，并且都大于3，因此，根据Kass和Raftery[24]制定的用对数贝叶斯因子进行模型比较的判定标准，可以说明跳跃厚尾SV模型要明显优于厚尾SV模型和标准SV模型；另外，对数贝叶斯因子
在两国市场上的估计值也都大于3，说明在分析股市波动性方面，厚尾SV模型要比标准SV模型好。
表3 模型的对数边缘似然函数值及对数贝叶斯因子
4.4 结果分析
利用第一条Markov链产生的10000个样本，可以分析跳跃厚尾SV模型各参数的样本轨迹、后验分布以及贝叶斯估计结果。图4、图5（见下页）显示了跳跃厚尾SV模型各参数的样本轨迹，其中，图4是对上证综合指数进行分析的结果，图5是对标准普尔500指数进行分析的结果。由图4和图5可知，无论是上证综合指数，还是标准普尔500指数，跳跃厚尾SV模型各参数的样本轨迹已基本保持稳定，且都分布在一条水平直线附近，说明模型参数的样本分布已达到稳定状态。
对跳跃厚尾SV模型各参数进行核密度估计，可以得到如图6（见下页）、图7（见第53页）所示的模型参数后验分布密度图，通过观察发现模型各参数的后验分布密度都具有明显的单峰特征，说明利用后验均值来估计模型参数是合理的。
对跳跃厚尾SV模型的参数进行贝叶斯估计，其结果见第53页表4和表5。
通过对表4和表5的分析，可以得出以下结论：
图4 上证综合指数跳跃厚尾SV模型参数样本轨迹图
图5 标准普尔500指数跳跃厚尾SV模型参数样本轨迹图
图6 上证综合指数跳跃厚尾SV模型参数后验分布密度图
①对于模型的跳跃成分，概率参数p在表4中的估计值为0.0166，在表5中的估计值为0.0052，表明中国股市的跳跃发生频率要明显高于美国股市；跳跃尺度参数δ在表4中的估计值为0.0302，在表5中的估计值为0.0425，则表明美国股市的跳跃幅度要高于中国股市。这两条结论与前面对图1的分析结果是相吻合的。
图7 标准普尔500指数跳跃厚尾SV模型参数后验分布密度图
表4 上证综合指数跳跃厚尾SV模型参数的贝叶斯估计
表5 标准普尔500指数跳跃厚尾SV模型参数的贝叶斯估计
②参数μ表示对数波动
的平均值，而且其在表4中的估计值要高于其在表5中的估计值，由此可知，中国股市的波动水平要高于美国股市。
③表4和表5中，持续性参数φ的估计值都在0.96以上，说明中、美两国股市都存在明显的波动持续性。
④关于波动噪音σ，它在表4和表5中的估计值非常接近，仅相差0.0092，表明中、美两国股市的波动噪音非常相似。
⑤厚尾成分参数v在表4中的估计值要比其在表5中的估计值大，说明中国股市的厚尾特征没有美国股市的明显。
5 结语
本文针对跳跃厚尾SV模型进行了贝叶斯分析，通过对模型的状态空间转换，设计了模型参数估计的MCMC算法，利用Kalman滤波和高斯模拟平滑来估计模型的潜在波动。同时，使用高斯核密度估计方法来估计模型参数的后验密度函数值，并据此设计了计算跳跃厚尾SV模型边缘似然函数的核密度算法，从而解决了贝叶斯因子的计算问题，克服了利用AIC和BIC信息准则做模型比较时要求对模型参数进行极大似然估计的局限性。选择中国和美国的股市收益数据进行实证分析，研究结果表明：金融危机背景下的中国和美国股市都具有明显的波动持续性和跳跃特征，且中国股市的跳跃发生频率和波动水平都要高于美国股市，但是跳跃幅度却小于美国股市；另外，在刻画中、美两国股市的波动特征方面，跳跃厚尾SV模型要明显优于厚尾SV模型以及标准SV模型。本文研究的跳跃厚尾SV模型能够较好地刻画了金融时间序列的跳跃特征，但是对于股票市场中的杠杆效应特征，尚不能刻画。
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