一堂“二次幂求和”的探究式教学案例，本文主要内容关键词为：案例论文,式教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着新课程的实施，更新教学观念，改变教学方式，探索高效和谐的教学方式，已是每位教师直面的问题。同时，课标指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。而探究式教学无疑顺应了新课程所倡导的理念。
本文以“二次幂求和探究”为例，对如何引导学生进行自主性学习与探究式教学做一粗浅的探索。
一、教学过程
1.给出问题
图1
课标指出：数学活动必须建立在学生的认知水平和已有知识经验基础上，使教学活动始终处于学生的“最近发展区”，学生已有的认知结构是学生知识的生长点，也是教师开展教学活动的起点。
介绍数学史1 其中方法3的钢管垛模型正是公元前6世纪古希腊科学家毕达哥拉斯三角形数的一个翻版。毕达哥拉斯学派把满足关系式（用现代记法）：
问题2 对一次幂求和方法的反思探究。
反思1 对一次幂求和方法1的探究
按顺时针方向旋转180°，得到然后两图相加即得。
反思总结 可见一次幂求和方法的关键是：一（旋）转二补（齐）
问题3 同学们能否从一次幂的求和方法或模型中获得启示，来求二次幂的和？
图5
：由钢管垛模型类比联想到如图5模型（模型1）。其中第一层放1根钢管第二层放4根钢管，第三层放9根钢管，第四层放16根钢管，这样一直放下去，第n层放
根钢管，那么钢管的总数就是所求的和。
教师：这个模型好，但是我们不能用前面的方法来拼一个平行四边形来解，故无法求出钢管的总数。
图6
：由图1类比联想到如图6的模型（模型2）。第一层放1个正方形第二层放4个正方形，第三层放9个正方形，第四层放16个正方形，这样一直放下去，第n层放个正方形，那么正方形的总数就是所求的和。
教师：与模型1类似，仍无法求出正方形的总数。
图7
：由模型2拓广想到如图7的模型（模型3）。第一层放1个单位的正方体，第二层放4个单位的正方体，第三层放9个单位的正方体，第四层放16个单位的正方体，一直放下去，第n层放个单位的正方体，那么立方体的总数就是所求的和。
教师：这个模型很漂亮，在以前的数学课本封面上就有这个图。目前我们还是难以求出这个漂亮图形的体积
图8
：由抛物线想到如图8的模型，抛物线在横坐标为1，2，3，…，n的点的纵坐标分别为
，
。因此纵坐标的和就是所求的和。
教师：这个模型非常好，大胆创新，耐人寻味。但求纵坐标的和还是有相当的难度，不过等同学们学习了微积分之后，就可以求出这个纵坐标的和。
现代教学论认为：教育的真正目标在于，要学习者能成为自己知识结构的精心设计师，使学习者善于学习，促进其学习和认知活动。
问题4 能否对二次幂求和模型进行改进及进一步探究？
改进1 由求法1可对二次幂求和进行如下改进。
改进2 由模型1、2和改进1受到启发，把模型1、2进行改进，可得到如图9的模型
改进3 把图9的模型改写成一个数表，可得到如图10的模型。
这种强调教学过程的生成性，有利于课堂的自然和谐，有利于师生互动，有利于发挥学为主体、教为主导、探究为主线的教学效益。
介绍数学史2 其中图10是类似杨辉三角，其实我国科学家贾宪在杨辉之前就对这种三角进行了研究，因此，杨辉三角也叫贾宪三角。古代欧洲科学家帕斯卡也对这种三角进行了深入的研究，故在西方把这种三角称为帕斯卡三角。可见不管是我国还是欧洲的古代科学家都对这种三角的性质进行了深入的研究，说明了古代中国与古代欧洲的科学文化处于当时世界的先进水平，为人类的科学进步作出了突出贡献。
问题5 能否借助杨辉三角的性质对图10模型进行更深入的探索研究？
步骤1 把图10进行美化，可得到如图11的“二次幂三角”模型。
步骤2 把图11的“二次幂三角”按顺时针方向旋转120°，得到如图12的“二次幂三角”，再把图12的“二次幂三角”按顺时针方向旋转120°，得到如图13的“二次幂三角”
步骤3 将这三个“二次幂三角”对应位置上的数相加，得到图14的“二次幂和三角”。图14“二次幂和三角”中所有数字之和就是所求二次幂和的三倍。
认识论和心理学研究表明：认知在前进中冲突，在冲突中进步会调起学生的学习热情，学生的手、口、眼、耳、脑五官热腾起来，保持了旺盛的探究热情，对下一步的更深更难更高的探索开辟了道路。
思考 如何对以上的探索过程进行总结，能否提出新的建议与问题？
教师：探索的成功在于有系统地研究与全体同学的合作，以及一种良好的研究思路与方法。对于模型1、2能否像一次幂那样进行求解充满兴趣。
教育家赞可夫语：教学方法一旦触及学生情绪和意志领域，触及学生的心理需要，这种教会变得高度有效。
3.拓广研究
问题6 能否利用钢管垛或正方形垛模型进行添补来求二次幂的和？
通过探究，我们解决了这个问题。
步骤1 先把钢管垛与正方形垛模型改成一侧对齐的正方形垛模型。如下页图15。
步骤2 图15的第一层补上3个正方形，第二层补上5个正方形，第三层补上7个正方形，直到第n-1层补上2n-1个正方形，得到如图16。
图15
图16
步骤3 对图16继续进行添补：第一层补上5个正方形，第二层补上7个正方形，第三层补上9个正方形，直到第n-2层补上2n-1个正方形，得到如图17。
图17
步骤4 这样依次不断对图进行添补，直到最后一次，也就是第n-1次，只需在第一层补上2n-1个正方形，就得到一个矩形，它所含的正方形总数为
，如图18。
利用一次幂的和即可得二次幂的和。
二、教学反思
1.教学观的认识
课标指出：教师是学生数学建构活动中的设计者，也是活动的组织者、参与者、促进者，而并非仅仅是知识的传授者。在探究过程中，暴露了学生的思维过程，让学生主动思考，积极讨论，还问题的探索权于学生，还课堂于学生，也让学生经历了数学发现和探索的历程，提高了学生的思维水平。本节课在教师的引导下，通过一次幂求和例子的分析和模型化策略的形成，促使学生自主探索活动的展开，使学生理解数学结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法、追寻数学发展的历史轨迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。在教学中着力培养学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，发挥学生学习的积极性与主动性，使学生成为学习的主人。
2.教材观的认识
新课程倡导教师二次开发教材，这要求教师从传统的课程“消费者”，转变为积极的课程开发者，从“教教材”走向“用教材”，教学不是简单地传递、灌输书本知识，而应结合具体教育情景创造性运用教材，其间可能涉及教材内容的调整和加工，教材资源的整合和教师自主开发资源等，从而达到更好地开发教材的目的。本课题的教学设计紧扣新教改与新课程理念，注重校本课程的开发与研究，注重师生交流、互动、共同成长，注重学生的积极情感体验，着力开创绿色的、生态的、可持续发展的和谐课堂教学模式。
总之，我们应选择适宜的教学观、教材观、学习观，来平衡教师、学生、教材，促使整个课堂教学和谐平衡，让学生的数学学习走出教室，最终形成一种大学习观与大课程观：课本不是课程的唯一的资源，历史才是我们的教材；教室不是学生的世界，社会才是学生的教室。