高中数学十大难点概念的调查研究，本文主要内容关键词为：十大论文,调查研究论文,难点论文,高中数学论文,概念论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
概念是思维的基本形式，数学概念是数学思维的核心和逻辑起点.在以掌握概念、原理为主要目标的中学数学学习中，数学概念是学生认知的基础，学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力、创造思维能力和分析解决数学问题的能力等等，都是以清晰地掌握和运用数学概念为前提的.在中学数学教学中，数学概念教学始终处于数学教学的核心地位[1-11].
几乎所有的高中数学教师都有这样的体会：在对高中数学几百个概念进行教学时，的的确确存在着这样一些重要的数学概念，学生在学习这些概念时普遍感到难以理解和掌握，成为他们在概念学习中的难点；教师们对这些概念的教学也感到难以把握、难以突破，成为教师在概念教学中的难点.这样的一些概念我们不妨称之为难点概念.高中数学中哪些概念可以称得上是难点概念？不同教师会有不同的答案，而且教师心目中的难点概念与学生心目中的难点概念也不尽相同.令人遗憾的是，我们至今尚不十分清楚高中数学中哪些概念是师生公认的难点概念，而这恰恰是广大教师研究和改进对这些概念的教学方法、化解教学难点、提高教学质量和效率的前提.因此，我们在开展《高中数学难点概念的PCK分析研究》课题研究中，把《高中数学十大难点概念的调查研究》作为其子课题，通过在一定区域范围内的调查研究，试图找到统计意义上的高中数学难点概念[12-26].
二、研究过程
（一）调查对象
调查对象由教师和学生两部分组成，其中对教师的调查对象是上海市松江区的全体高中数学教师，有效样本容量为85；对学生的调查对象是上海市松江区内的四所高中的部分高三年级学生，有效样本容量为410（其中一所市示范性高中有效样本容量为112、一所区示范性高中有效样本容量为100、两所普通高中有效样本容量合计为198）.
（二）调查工具和方法
为了使调查工作能全面、准确地反映高中数学中的难点概念，研究者对上海现行高中数学教材中的所有概念进行了全面的梳理，梳理的范围包含了基本内容（必修）和拓展内容（选修）在内的高中数学全部7册教材，梳理的对象是教材中下了定义（文字表述）的全部数学概念，对梳理所得的全部381个概念（其中基本内容部分含305个概念、拓展内容部分含76个概念），按教材编排的先后顺序，以“概念名称”、“文字表述”、“符号表示”为表头进行表格化整理，形成《高中数学概念一览表》.在此基础上，结合自身的教学经验和体会，从《高中数学概念一览表》所列的381个概念中挑选出认为难度较大的54个概念，形成《高中数学十大难点概念调查问卷》的概念选项.考虑到调查对象对某些数学概念可能无法即时回忆起其文字表述（定义），在设计调查表时，不仅给出了概念名称，同时也给出了其相应的文字表述.
调查对象填写“高中数学十大难点概念问卷调查表”的主要内容为：（1）填写被调查者必要的个人信息；（2）从调查表所列的54个概念中选出10个最难的概念；（3）简要说明所选的10个概念成为难点概念的理由.
三、研究结果与分析
（一）对教师的调查结果与分析
1.对全体教师的调查结果与分析
上海市松江区2011年在职的高中数学教师共113名，由于各种原因，收到的有效问卷共计85份.对全体教师的高中数学十大难点概念的问卷统计汇总如表1.
对调查表中入选为难点概念理由的说明，教师们不仅从相应概念当堂课时教学的角度，而且从整个章节的角度全面考虑学生在该概念学习中遇到的困难，这样的分析也是我们所期待的.整理表1中教师们对10个难点概念入选的理由，整理归纳出在这些概念教学中遇到的如下主要困难：
（1）反函数概念
①文字表述较长、涉及符号较多，抽象性高；
②学生对其上位的函数概念的理解本来就不够透彻，经“逆向”后，“任意”、“唯一”的对象以及定义域、值域、对应法则全部颠倒；
④反函数部分学习课时少，对反函数的单调性以及图象性质等未能作进一步的学习，难以形成整体理解.
（2）球面距离概念
①学生没有曲面上距离的概念，对球面距离的概念感到十分陌生，从平面距离到球面距离的思维跨度大、抽象性高；
②立体几何教学课时删减后，学生空间想象能力大为下降，球面距离的图形难以画出，找不到几个基本图形的关系；
③教材指出“联接球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短”，但未给出证明，教师在教学中也难以给出必要的说明，学生只能记忆，无法理解；
④部分学生地理学得较差，基本没有经、纬度概念.
（3）曲线的方程概念
①文字表述较长，抽象性高，像绕口令；
②在方程——方程的解——点的坐标——曲线的关系链中，方程的解与点的坐标是一一对应，但方程与曲线又不是一一对应的，理解困难；
③符号F（x，y）=0第一次出现，其含义学生不清楚；
④概念是从纯粹性和完备性两个方面描述的，但后期在求出曲线的方程后，教材注明又不要求给出证明，不少学生认为引入这个概念纯属多余.
（4）函数概念
①文字表述较长、涉及符号较多，抽象性高，学生理解有困难；
②一次性地给出了函数、自变量、因变量、定义域、函数值、值域六个概念，学生感到目不暇接；
③对“每一个”、“唯一的”、“确定的”、“对应法则”等数学语言还不太习惯，对符号f（x）的理解也不能到位；
④学生习惯于初中的用一个解析式表示函数，对分段函数以及图象法、列表法表示不熟悉；
⑤对函数中变量的灵活性、函数表示法的多样性、在函数中对应法则与定义域需同时考虑的整体性，以及函数与方程的关系等等，都是学生学习的障碍.
（5）数列的极限概念
①文字表述较长、符号新，学生理解有困难；
②生活语言中的“极限”概念与数学中的“极限”概念并不完全相同，对学生学习极限概念形成干扰；
③学生难以分清“越来越接近”与“无限趋近”的区别；
④学生认为“极限是一个过程”与“极限是一个确定的常数”是一对矛盾；
⑤极限思想的形成需要一个过程，但由于这部分教学课时太少，影响了学生极限思想的形成与巩固.
（6）数学归纳法概念
①文字表述较长、思想方法新，学生没有心理准备；
②用有限步骤能验证对无限个自然数都成立，学生感到难以置信；
③学生对数学归纳法的原理不能正确理解，典型的疑问是“如果假设错了呢？”，因为在错误的前提下是不能得到正确的结论的；
④不会使用数学归纳法进行证明，典型的问题是当n=k+1时不会用假设.
（7）二面角概念
①缺乏空间想象力，作不出二面角；
②将“两个半平面”误读为“两个平面”；
③不理解二面角的大小为什么要用其平面角的大小来度量；
④缺乏作二面角的方法（教学课时删减有关）.
（8）反正弦函数概念
①学生对反函数的概念原本就理解得不透彻；
③在学生的心目中，反函数是实数间的对应关系，而反正弦函数是实数与角的对应关系，有点转不过弯；
④在学生的心目中，反函数是用反解的方法求得的，但正弦函数无法用反解的方法求其反函数，只能是规定，而且表示符号又是全新的.
（9）参数方程概念
①学生对“为什么引入参数方程”接受不了；
②文字表述较长、符号又新又多，学生理解有困难；
③学生对如何取参缺少思考方法，参变量的作用、地位及意义有时看不清；
④与普通方程互化时的等价性问题是个难点；
⑤学生接触的频率较低，缺乏在应用中巩固的机会.
（10）充要条件概念
①学生对为什么要学习充要条件不理解；
②充分条件、必要条件的相对性使两者关系容易混淆；
③涉及的数学知识面广，对证明、举反例等综合的能力要求高；
④与逻辑关联词、推出关系、集合等知识联系密切，逻辑性强、抽象性高.
2.对不同性别教师的调查结果与分析
本次调查收到的85份有效问卷中，男教师占45份，女教师占40份.不同性别教师的问卷统计汇总如表2.
比较表2与表1可以发现，除了在排序上稍有不同外，男、女教师对高中数学十大难点概念的选择差异不大.如果以表1为基准，女教师对表1的认同率达90%，唯一的不同之处是女教师认为单调函数应列入十大难点概念之列；男教师对表1的认同率为70%，认为不仅是单调函数，包括数学期望、周期函数也应在十大难点概念之列，表2也在某种程度上体现了男、女教师对难点概念认识上的细微差别.归纳出教师们在这些概念教学中遇到的如下主要困难.
（11）单调增函数概念
③增函数的概念与学生心目中的形象相近，但其定义学生不容易接受，他们总是试图寻找更简单、更易接受的定义；
④单调函数程序化的证明步骤，与加深概念的理解关系不大.
（12）周期函数概念
①定义中的“任意”、“存在”等数学语言理解困难；
②T是常数，但其数值又不知道，比变量x更难捉摸；
③即使求出了函数的周期，也不知道其是否为最小正周期；
④f（x+T）=f（x）的形式与轴对称函数的形式相近，容易混淆.
（13）随机变量的数学期望概念
①概念的名称较难理解，学生对计算公式的含义、意义不明确；
②学生对涉及的随机变量、随机变量的分布列、加权平均数等相关概念理解不深，影响了对本概念的掌握；
③学生对其是随机变量取值的加权平均数这一本质难以理解；
④由于概率部分课时较少，学生只会硬算，基本上没有应用的机会.
3.对不同职称教师的调查结果与分析
调查收到的85份有效问卷中，二级教师有10人，一级教师有46人，高级教师有28人.不同职称教师的问卷统计汇总如表3.
分析表3可以发现，除了在排序上稍有不同外，不同职称的教师对高中数学十大难点概念的选择差异不大.对照表1，二级教师的选项中有周期函数、集合概念；一级教师选项中有单调函数、定比分点概念；高级教师选项中有随机变量的数学期望和极坐标方程概念.我们归纳出教师们在这些概念教学中遇到的如下主要困难.
（14）集合概念
①集合概念的高度抽象性、集合元素的多样性；
②大量新符号的理解与运用；
③元素3性的理解、集合表示法的合理选择；
④逻辑联结词“且、或”的正确理解.
（15）定比分点概念
①学生难以体会到定比分点概念的应用价值；
②λ为一个向量是另一个向量的倍数的值，但不能是两个向量之比，也不能是两个向量的长度之比，难以理解；
③起、分、终点不易分清，且与λ之间存在关系，学生易错；
④解析几何没有涉及定比分点，因此基本没有应用的机会，学生认为引入这个概念纯属多余.
（16）极坐标方程概念
①无法理解引入“极坐标方程”的价值；
②极坐标系下曲线与方程关系的定义与直角坐标系下有所不同；
③无法从极坐标方程中看出曲线的类型；
④求极坐标方程的步骤难以掌握.
（二）对学生调查的研究结果与分析
在对学生进行调查时，由于要求调查对象必须是学习过高中全部数学概念的学生，因此我们选择了即将在2012年毕业的高三学生，在2011年9月进行调查时，这些学生基本上已学完了高中数学的主要内容.对全体学生调查问卷统计汇总如表4，对各类学校学生调查问卷统计汇总如表5.
分析表4可以发现，学生对高中数学十大难点概念的选择较为一致.女生的选择与全体学生的选择相比较，除了在排序上稍有不同外，所选项目完全相同（这应该与样本中女生较多有关，但这也更符合当前在校男、女生比例的现状）；男生并不认为排列、组合和反正弦函数是十大难点概念，他们认为定比分点、数学归纳法、总体方差这3个概念要更难些.
分析表5可以发现，各类学校的学生对高中数学十大难点概念的选择也较为一致.与全体学生的选择比较，市示范性高中的学生提到了定比分点、总体方差和极坐标方程；区示范性高中学生提到了定比分点和总体方差；普通中学学生则认为周期函数、数学归纳法应列入十大难点概念.
整理学生们对10个难点概念入选的理由，对于这些概念在学习时所遇到的主要困难，我们发现学生们并不仅仅是从概念本身的学习角度，更多的是从与这些概念相关的数学知识和解题的角度进行思考的，学生们提到了如下方面的主要困难.
（1）二面角概念
空间想象力差、难以直观地看出；不会作二面角的平面角、二面角找不到；分不清何时为锐角或钝角.
（2）参数方程概念
不明白建立此概念的用途、不知其功用；寻找参数难、弄不清参数所代表的具体含义；不太习惯，各种曲线的参数方程感觉很复杂；学习时间短、综合性强.
（3）二分法概念
课时少、训练少、不常用、很生疏、不重视.
（4）球面距离概念
概念抽象、计算麻烦、易错；与两点间距离混起来；对球的一切知识很陌生；同地理学科有关；应用、训练的机会少.
（5）极坐标系概念
搞不清ρ、θ到底是在什么范围、平面上的点与其极坐标到底是不是一一对应；不知道有什么用；学习时间少，训练、应用少.
（6）函数概念
考点多、类型多、题型变化多、不好掌握.
（7）反函数概念
定义域、值域不好求；抽象；复杂些的题目有困难.
（8）反正弦函数概念
对反函数不理解，反正弦函数与正弦函数关系不清楚；记不住图象；定义域、值域易错；逆向思维较烦；定义域易被忽视.
（9）排列概念
多种情况时分类困难，无从入手，做错了也检查不出来；排列与组合在应用时分不清、思路混乱；考虑不全面、经常出现重或漏的情况；思维要求太高.
（10）组合概念
与排列的情况差不多，只是更加搞不清.
（11）定比分点概念
难以把点与向量联系起来；老师讲得少、公式易忘；公式复杂且有可以替代的其他方法；搞不清“λ”与分点位置关系、直观的几何意义不明确；不知有什么用，也不熟悉.
（12）数学归纳法概念
格式复杂、不知何时使用最为恰当；在证明n=k+1时有困难，变形不会，不会使用假设.
（13）极坐标方程概念
与普通方程的关系搞不清；与直角坐标系方程的转化公式不好记忆；求方程时ρ、θ的关系难想到、几何意义不明显；学习时间短.
（14）总体方差概念
与标准差、标准差的点估计值等概念混淆；不常用；忘记公式；算式太长了.
（15）周期函数概念
f（x+T）=f（x）的各种衍生方程很多；最小正周期的确定困难、周期证明较难；表达方式太抽象化、难以应用于实际.
（三）对师生调查结果的比较分析
把全体师生对十大难点概念的排序汇总在一起，见表6.
分析表6可以发现：
（1）在十大难点概念中，师生共认的有6项，占60%.
（2）教师选择的另4个概念分别是曲线的方程、数列的极限、数学归纳法、充要条件，这些概念的共同特点都是重要的基础概念、抽象性高、逻辑性强.
（3）学生选择的另4个概念分别是二分法、极坐标系、排列、组合，这4个概念本身的难度应该并不太大，其中二分法、极坐标系成为难点概念的原因应该是学习课时少、应用机会少；排列、组合成为难点概念的原因应该是学生在解具体数学题时有困难.
四、研究结论
（1）师生心目中的高中数学十大难点概念具有较高的集中度.
（2）高中数学十大难点概念中的大多数概念都是相关内容的核心概念，这些概念的学习情况对相关内容的后续学习影响重大.
（3）高中数学十大难点概念的成因主要有：
①概念本身问题：部分概念抽象层级多，抽象思维和逻辑思维要求高，表征方法少，具体化、形象化困难，理解难度大；
②教材编写中的问题：部分概念定义的文字表述过长、语言枯燥、符号抽象难懂，教材中对概念的形成提供的感性材料不够充分，巩固概念的配套练习不够恰当，教学课时安排过于紧张，学生缺乏深入理解所必需的时间；
③教师教学中的问题：对所引入概念的必要性（背景）阐述不够重视；对概念本质属性的剖析不够到位，没有从文字叙述、图形、数学符号等多角度地揭示概念的内涵和外延；对概念辨析的教学环节重视不够，普遍存在以解题代替巩固练习的现象；
④学生学习中的问题：不能理解部分概念学习的必要性，学习动力不足；上位概念理解不深、固定点知识薄弱；语言转换能力缺乏，难以用自己的语言表述概念；表征方法少，缺乏原型和样例支撑；不清楚相关概念的内在联系，无法形成恰当的概念网络结构.
感谢《高中数学若干难点概念教学分析研究》课题组成员姚萍、董顶国、何霄、曹素玲、尚皓、顾争梅、奚志鸿、徐素琳、王兵、朱成兵、陈俊飞、翁旭宇老师对问卷调查的统计等工作提供的帮助.