MPCK视角下“三角函数周期”教学设计的比较分析与建议_数学论文

MPCK视角下“三角函数的周期性”的教学设计对比分析与建议，本文主要内容关键词为：周期性论文,教学设计论文,视角论文,函数论文,建议论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      1986年，舒尔曼（Shulman）针对当时教师教育课程研究中存在学科知识与教育学知识游离的现象而提出PCK（Pedagogical Content Knowledge）概念.他认为PCK就是教师开展教学活动时所具有的独特知识，这种知识是教学内容与教学法的有机融合，用以说明教师如何选择特有的课题（问题或专题等）组织教学，以适应学习者多种多样的学习兴趣与能力.之后，国内许多学者对PCK作进一步研究，呈现出多元化状态.

      黄毅英教授认为，数学教师从事专业教学所应具备的核心知识称为MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），即数学教学内容知识.他把MPCK分为三类知识：①MK（Mathematics Knowledge）即数学学科的知识：包括准确理解特定课题的内容，充分理解教材和课程的目标、思想等；②CK（Content Knowledge）即内容的知识：包括学生的知识、学习的困难、学习的情境等；③PK（Pedagogical Knowledge）即一般教学法的知识：其核心是知道学生怎样思维，由此确定教学方法和教学策略.为了更好的表示三种知识与MPCK的关系，黄毅英教授用图1来表示，MPCK是3个基本集合MK、PK、CK的公共部分.当然，图1模型并不是静态的，而是动态发展的.如图2所示，随着教师教龄的增加，教学经验的积累，每一成分的知识增加，图形变大，交集部分增多，表示教师的MPCK发展了.呈现出优秀教师的特征：数学知识丰富、数学教学法知识灵活、数学内容知识多样.

      最近，笔者参加了一次省级骨干教师研修活动，活动的主题是“三角函数的周期性”的同课异构.经过专家指导，小组交流，个人独立感悟，最后呈现出具有代表性的两种课堂教学设计.从整节课看，两位教师都是在问题引领下设计路线：概念引入→概念建构→概念辨析→概念运用，但在这四个教学环节中，问题的设计存在着明显差异.这些差异折射出两位教师关于课题“三角函数的周期性”的MK、CK、PK存在着异同，从而在教学中两位教师的MPCK产生不同的呈现方式.以下笔者结合两位教师在四个教学环节中不同的MPCK呈现，对比分析两位教师关于课题“三角函数的周期性”的MK、CK、PK的异同，并尝试给出教学建议.

      

      

      二、不同MPCK呈现的对比分析

      环节一 概念引入

      MPCK呈现1：请你在生活中寻找一些周期现象的实例，并指出这些现象的变化规律是什么？在数学中，是否也有周期现象？又是怎样体现周期性的？

      MPCK呈现2：我们知道，三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么，“周而复始”的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中.那三角函数是怎样体现这种性质的？你能描述一下这种性质吗？

      评析 呈现1“贴近”学生的生活现实.学生对生活中的周期现象并不“陌生”，可以列举出生活中大量的周期现象；但学生对周期现象又是“模糊”的，难以清晰地描述其周期性.这时，需要引导学生“去”生活化，概括出其本质特征——周而复始.周即经过一段时间，复始即重复出现，实质是一个量在变，另一个量随之变化的同时每隔一定时间就重复出现，而且对任意时刻都成立.这种现象生活中有，数学中也有.那对于函数来说，什么叫重复出现.呈现2从数学内部提出问题，“贴近”学生的数学现实.从全章看，为了寻找刻画周期现象的数学模型，引入了三角函数，所以，周期性是三角函数的本质属性.但三角函数是怎样体现周期性的？引导学生温“故”：诱导公式一，而知“新”：三角函数的周期性.

      基于以上分析，为了更好表示教师MPCK的三种构成成分在本教学环节的表现，借助表1对比分析.

      环节二 概念建构

      MPCK呈现1：填空：sin（x+2π）=________，cos（x+2π）=________，这两个等式的成立与角x的取值有关吗？若将角x的终边再旋转，得到等式：sin（x-2π）=sin（x-4π）=…=sinx，由此你能发现什么规律？如果将符号sin抽象成一般函数符号f，2π抽象为一般的非零常数T，这些等式又可怎样表示？由此，请你尝试给出周期函数的定义.

      MPCK呈现2：如何用数学语言刻画函数的周期性？

      评析 呈现1设计的问题“嚼”得太碎，是“赤裸裸”的问题“圈套”，步步“诱使”学生得到形式化的定义，学生最终接受的可能只是“形式”上的.其中，问题“若将角x的终边再旋转，得到等式：sin（x-2π）=sin（x-4π）=…=sinx，由此你能发现什么规律？”干扰了学生对定义中非零常数T的理解和抽象.对于呈现2，在问题“如何用数学语言刻画函数的周期性？”引领下，引导学生温故诱导公式sin（x+2kπ）=sinx，不妨固定角x，对于每一个整数k都成立，即终边相同的角正弦函数值相等；若固定整数k，不妨取k=1，得等式sin（x+2π）=sinx，该等式对于每一个角x都成立，其自然语言的描述：每当角x增加2π，正弦函数值都相同.这就是正弦函数的周期性.对于余弦函数和正切函数也有类似的性质.那对于函数f（x）的周期性如何定义？

      基于以上分析，为了更好表示教师MPCK的三种构成成分在本教学环节的表现，借助下页表2对比分析.

      环节三 概念辨析

      

      MPCK呈现1：①正面分析概念，找出关键字词；②比较记忆（与函数的奇偶性定义比较），加深印象；③列举正例和反例（具体例子略），加深理解概念；④引入最小正周期概念.（正弦函数的周期有多少个？你能选一个作为“代表”吗？为什么？是不是所有周期函数都有最小正周期？）

      MPCK呈现2：判断下列说法是否正确？并说明理由.

      

      

      评析 概念辨析的目的是更深刻地理解概念的本质属性，属于概念建构的一部分.设计辨析问题时，既要关注概念的标准形式（原型），又要关注概念的非标准形式（概念变式），以突出概念的本质属性.呈现1从正面分析找关键字词，与函数奇偶性定义比较分析，举出反例否定性变式等多角度进行概念辨析，体现了数学概念辨析的一般程序，为学生以后辨析概念提供了一般操作范式.总体上，学生的信息是从外向内的.呈现2设计了3个具体实例，在变式，拓展等问题解决过程中需要学生从记忆或建构经验中搜寻对应周期函数概念的关键字词、表示或背景.学生的信息是从内向外的，体现了学生辨析的自主性.

      基于以上分析，为了更好表示教师MPCK的三种构成成分在本教学环节的表现，借助表3对比分析.

      环节四 概念运用

      

      

      评析 呈现I引导学生先聚焦目标和条件，由条件和目标联系到周期函数的定义，即寻找非零常数T，使得cos2（x+T）=cos2x对任意实数x都成立，再利用变量代换，从而问题得到解决.再引导学生，变式拓展研究，导出一般周期函数的周期公式.呈现2从学生直觉的理解“猜”，到理性的判断，f（x+T）=f（x）反映了自变量x的改变一定量T后，函数值不变.要2x的改变量为2π，那么x的改变量应为π.再引导学生数学地写出过程.接着，引导学生进行自我提问，进一步探索

的改变量为2π，x的改变量为6π，等等.从特殊导出一般，概括出周期公式.

      基于以上分析，为了更好表示教师MPCK的三种构成成分在本教学环节的表现，借助表4对比分析.

      通过以上四个教学环节的对比分析，我们可以看到在每一个教学环节中都体现出：教师的MK对教材内容相对准确地把握、教师的CK关注到学生的已有知识和预测到学生学习中可能遇到的困难、教师的PK能根据MK和CK的理解加以灵活选择；但，由于教师的MK关于教材内容理解的侧重点不同、教师的CK关于学生已有知识和学习困难的关注点不同、教师的PK关于学生怎样思维的切入点不同，从而教师的MPCK产生不同的呈现方式.

      三、MPCK视角下的教学建议

      1.深挖教材内容，丰富MK

      从三角学的发展史看，三角学原本是几何学的一部分，目标是解三角形，后来发展到任意角的三角学，衍生出三角函数，是数学认识上的一个飞跃.解三角形是静态的，角度不超过180度，纯粹计算的数学；而三角函数则是动态的，处理任意角的，思辨的数学，其根本重要性在于周期性.

      从数学的文化背景看，同样是看到周而复始的现象，文学家与数学家看到的东西是不一样的.用数学家的眼光看世界，能够追根求源.在周而复始运动中，一个量在变，另一个量随之变化，这是函数的特征；且自变量无论怎样变化，因变量随之变化的同时每隔一定值都会重复出现，即函数的周期性.这个表述读的费劲，写的繁琐，关键有歧义，怎么办？数学语言能做到.使现实问题形式化，精确化，可操作化……这些建构的过程在数学概念的形成过程中具有一致性.

      对于本课例，从全章看，对周期现象的研究，首先从周期运动开始，利用圆周运动建立数学模型，定义三角函数，数形结合——三角函数线，围绕的都是周而复始的现象.换句话说，我们正是为了研究周期现象，才研究三角函数的，所以周期性是三角函数的根本属性.但三角函数“真”的具有周期性吗？又是怎样体现周期性的？需要进一步研究.

      通过以上不同的角度深挖教材内容，可以使教师站在不同的高度理解教学内容，进而不断丰富教师的MK.值得注意的是，教师的深挖并不代表学生的深知，要根据你的学生的实际，准确定位，合理渗透.比如：“怪函数”狄利克雷函数的周期，函数y=sinx（x≥0）是周期函数吗？等等本节课无需涉及.

      2.深度理解CK，灵活选择PK

      

      学生的最近发展区是教学的起点.对于本课例，学生已经从生活中的周期原型（圆周运动）建构到数学中的周期模型（三角函数），但学生对三角函数周期性的认识仍只是感性的认识，怎样把这种感性认识上升到理性认识？不同的学生其知识水平、能力和认知方式都存在差异，要根据你的学生的实际，搭建适合你的学生的“脚手架”.是（主动）接受式学习？还是发现式学习？是学生独立思考？还是合作交流？等等.三角函数的周期性理解到位后，对于函数的周期性，你能用数学语言来刻画吗？怎样刻画？这是本节课中学生最大的困难，但学生有类似的经验：函数奇偶性的定义.

      问题是学生思维的起点.数学是思维的科学，强调逻辑思维，一个问题的提出，后续问题实际上就是该问题的逻辑展开，所以，教学设计一定要关注初始问题的设计，之后都能自然引出.不同的引入方式需要不同的问题.根据数学与生活的关系，数学来源于生活或者已有的数学成果.一类为结构性问题，主要来自于知识结构的内部，其特点是与思维活动联系比较紧密；另一类为应用性问题，是为了解决一个实际问题而提出，其缺点是缺乏对数学知识整体性的考量，这两类问题都有各自的优缺点.从本节课概念引入环节看，两位教师对初始问题的设计都有其合理的成分，重要的是适合你的学生.另一方面，问题的呈现可以是问题链，也可以是问题串，无论是怎样的问题形式，脉络要清晰.对于本节课，学生建构周期概念的难点是“如何用数学语言刻画函数的周期性？”.关键词：数学语言（学生有经验）、函数（学生是明确的）、周期性（学生不陌生）.学生易联系到三角函数的周期性，通过诘问，梳理脉络.“为什么三角函数具有周期性？因为三角函数是刻画周期现象的数学模型.为什么三角函数可以刻画周期现象？你是怎么知道三角函数可以刻画周期现象的（元认知问题）？”因为周期现象的广泛存在，从而产生建立“刻画周期性运动的数学模型”的需求（数学家的眼光）.而周期性现象是由周期性的运动引起的，进而选择最简单的周期性运动：圆周上一点的运动，从怎样刻画圆周上一点的位置这个问题出发，寻找不同的刻画的方法，而这些刻画方法之间的内在关系正体现了周期性运动的特性，从而就可以建立刻画周期性运动的数学模型，于是定义了三角函数.至于为什么用数学语言来刻画？在教学中，学生先用“自己的”语言描述，在描述的过程中，可以感受到需要用统一的、简洁的、明确的语言来刻画.所以，对于本节课，主要是解决两个问题：（教学的先行组织者）三角函数是怎样体现其周期性的？（核心问题）如何用数学语言刻画函数的周期性？这两个问题若处理好，对于周期概念的辨析自然就落实在学生周期概念的建构过程中.

      例题是学生优化认知结构的固着点.当学生面对新的问题情境（求函数f（x）=cos2x的周期），自然要思考如何运用新知（周期函数的定义）进行判断、推理和计算（学生已有的问题解决基础算子，即产生式），直至问题解决.但学生原有认知结构无法提供直接的解题思路，这就打破了原有认知平衡，怎么办？教师可以先讲道理，通过精心设问引导学生回到周期定义中，由特征方程f（x+T）=f（x）出发，寻求解题思路；也可以让学生先说一说直觉的理解（学生已经知道函数fx）=cosx的周期），然后再根据周期函数的定义进行理性的判断；最后，引导学生变式推广探究，并能数学地表达过程.无论采取哪一种教学方式，都要适合你的学生的思维能力，特别是：你的学生会怎么想？进而帮助学生把刚刚掌握的“静态的”陈述性知识内化为“动态的”程序性知识，从而进一步优化和完善认知结构.

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