高考中的数学应用问题，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学以其高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，渗透于科学技术以及实际生产、生活的各个领域。数学教育贯彻理论联系实际最有效、最直接的途径是数学试题的改革，因此高考中出现应用性问题是顺理成章的。继1993年、1994年在高考数学试题中放入联系实际的小题之后，又在1995年高考数学试题中放进了一个“鱼价”的大题，一石击起千层浪，高考“指挥棒”的导向，在全国引起了强烈反响。综合考查应用数学知识和方法，解决实际问题的应用问题成为近几年高考的热点问题。
1 历史回顾
恢复高考20多年来，对数学应用题的考察主要经历了四个阶段：一是过热期（1978年至1984年），由于受“文革”的影响，这一时期的应用题较多，但有明显的政治色彩；二是冷落期（1985年至1992年），这一时期高考命题进行过几次重大的改革，应用性问题锐减，甚至有“绝迹”的危险；三是回升期（1993年至1994年），主要是受市场经济的影响，教育改革也逐步地由应试教育向素质教育转轨，虽然只出几道“小型应用题”，但这种过渡是必要的，方向是正确的，社会反映很好；四是稳定期（1995年至1999年）。经过实践，高考命题对应用性问题的考查积累了经验，近六年来，应用题稳定在中等难度水平上，已为人们所接受。
1993年以来应用题考查情况如下表：
通过统计分析可以看出，命题从选择题、填空题、到近年来的解答题；从有实际背景的数学问题，到有数学内涵的实际问题，逐步加大应用题的考察力度，体现了数学教育的目标。
2 考题与启示
高考应用问题都是经过精心加工，变理论型为应用型，而且大都是密切结合课本，改编原题，将知识重新分解组合，综合拓广，使之成为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息的问题。比如1999年理（22）题以钢厂轧钢为背景，虽离学生较远，但详尽的文字叙述和图形刻划拉近了与学生的距离，采用分布设问的形式，其模型分别为不等式和方程问题，但阅读理解能力要求较高。2000年理（21）题只要稍加研读便可知道，第一问实际上是根据图像求函数解析式的问题，第二问的模型是使得一个极易得到的分段函数取得最大值时，自变量的求解问题，1993年以来，数学高考稳步地加大了考应用的力度，在短短的七年中，就发生了两个飞跃：一是从“考小题”转为“考大题”，二是从“考传统应用”转为“考数学建模”。谨慎地指向了未来数学教育的核心——“问题解决”。应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力。这个要求可分解为三个要点：
1.要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用。
2.考查理解语言的能力。要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。
3.考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所限定的数学知识和方法来求解。即把陌生的问题情景数学化，会数学地提出问题解决问题。
从近几年高考应用题来看，解答一个应用问题重点要过三关：
a.事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件。因此需一定的阅读理解能力。如1996年试题，背景材料较复杂，既有增长，又有减少，既有十年的增产，又有一年的增长，还有单产、人均、至多等概念。考生只有在对这些普通语言阅读理解的基础上，才能根据题意，准确的表达出耕地、人口、粮食占有量之间的关系。
b.文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系。如1996年试题要求依题意将地区现有人口、粮食单产分别以字母P、M表示，抓住“10年后人均粮食占有量比现在提高10％”这个关键性的数量关系，列出不等式反映实际问题的数量关系，构建数学不等式模型。
c.数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化。构建出数学模型后，要正确作出数学问题的解答，需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力。
总之，应用问题的难点是“问题情景的数学化”，因此要强化训练“理解语言能力”和“数学抽象化能力”，剥去“应用”的神秘外衣，还其数学之真面目。
3 题型特点
高考中出现的应用性问题，可以概括三种类型：一是课本和其它书籍中出现的，从实际生活中概括出来的应用题：二是与横向学科有联系的问题；三是有实际生活背景，题意新颖的数学问题。应用问题属于“非单纯练习问题”，它区别于传统习题，有三个特点：
1.应用性，即重视情景应用，给出的问题不是单纯数学化的“已知”、“求”的模式，而是给出一种情景，一种实际需求，以克服一种现实困难为标志；
2.创造性，即只靠模仿和熟练操作不能完成，需要较强的创造思维；
3.开放性，即问题不一定有解，答案不必唯一，条件可以多余或不足；模型可以自己设计，常常需要试验、讨论、研究、探索，不限定时间，不要求只由个人独立完成。
目前高考中的应用题的特点主要是“1”和“2”。
4 解题思路
1.读题 分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）；
2.建模 把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3.求解 把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
4.评价 对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或预测。
例如 1996年理（23）题：某地现有耕地10000公倾，规划10 年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有比现在提高10％。如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？
5 备考建议
首先，在高考复习训练中，必须弄清“问题解决”与“高考应用问题”的关系。所谓“问题解决”就是综合地、创造性地运用各种数学知识和方法，数学地解决“非单纯练习问题”（包括实际问题和源于数学内部的问题，它具有应用问题的三个特点）。按照创造思维的层次，可把“问题解决”化分为两个水平：初级水平——问题情景可化归为旧模型旧方法来解决；高级水平——必须创造新模型新方法才能解决。目前高考中的应用问题属于“问题解决”的初级水平，并且所用的知识和方法严格地限定在“考纲”范围之内。因此复习应用问题既要在“问题解决”的理论指导下，又必须贴近课本中的数学模型，不要“超纲”。其次，应用问题复习要注意渗透性。应用问题复习的意义已经形成共识，但应用问题复习的工作并没有落到实处，还有一个复习方法问题。现行教材中，实际应用问题较少，加之高三复习的时间紧，任务重，而应用问题的讲授和训练又很费时间，收效也不明显，不少师生只是在试卷中涉及到此类问题时才就题论题地进行一番讲练，并没有把它列入复习的全过程。有些学校甚至在复习的后期，把它作为一个专题突击。这样，学生缺乏应用数学的意识，建模能力十分薄弱，放弃应用题的考生越来越多。因此，应用题的复习应从平时抓起，把它列入复习的全过程，采取渗透的复习方式，根据教学内容，有计划、有目的地适时切入应用问题。