重视参与建设培养认知策略--“平面向量概念”的教学实践与思考_平行向量论文

重视参与建构，培养认知策略——“平面向量概念”的教学实践与思考，本文主要内容关键词为：向量论文,认知论文,教学实践论文,平面论文,重视论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      让学生主动参与数学概念的建构过程、培养学生的认知策略，是数学教育所要实现的重要的教学目标之一.笔者在执教“平面向量概念”时，进行了以下的探索与思考，与同行们交流、分享.

      一、内容解析

      从认知基础看，学生对力、位移等向量原型很熟悉，虽然本课中的概念较多，但较易理解，所以如何调动学生的积极性则成为教学的一个难点.此外，对于平行向量即共线向量的理解也是教学难点.

      从全章结构来看，本课位于一章开端，倘若引入得当，可起到先行组织者的作用，进而引领全章，达到事半功倍的效果.如：类比数、集合、函数的教学，促使学生掌握教材书写的一条明线：定义→表示→关注特殊元→两元关系及分类（尤其是相等）→构造运算及性质→应用，这是教学的重点.

      从课型种类看，本课是概念课，对以后教学中的概念课具有一定的借鉴和指导意义.如：本课涉及多个概念的形成、同化、命名；概念定义之前应鼓励学生充分地参与概念的形成过程以增加对概念的认同感；鼓励学生在定义概念以后，自觉地通过类比、特殊化等方法去赏玩新概念等，这些都带有元认知的特点，具有普适性，是教学的又一重点.

      二、教学过程

      （一）引入概念原型

      师：上一章，我们从成语“周而复始”谈起，讨论了周期.今天，我们仍然从一个成语谈起.

      （展示动画：一个写有“此”的圆向着“彼”圆沿着有向线段移动，学生立刻就想出：由此及彼.）

      问题1 能否从数学角度谈谈如何从“此”位置确定“彼”位置？

      设计意图：体会概念产生的必要性，引出概念原型——位移，适当兼顾趣味性、适切性、探究性，有利于创造性思维的发展，锻炼学生的口头表达.

      师生活动：绝大多数学生都能把实际问题抽象成具体数学问题，即“在平面上，如何从一个点A确定另一个点B？”

      生1：可建立直角坐标系，用两点坐标刻画；

      生2：以点A为坐标原点建立直角坐标系，用点B相对于原点的距离、方向刻画；

      生3：以点A为圆心，线段AB的长为半径作圆，利用半径和角度刻画.

      学生圆满完成了教师的预期，且谈到了向量与坐标的关系.

      教师引导学生回顾物理中的位移，并追问：位移和距离有没有不同？

      生众：位移有方向，距离没有.

      （二）逐步形成概念

      问题2 类似位移这样既有大小，又有方向的量，你能再举几个例子吗？

      设计意图：教师引导学生参与举例，观察、概括对象的共同属性（聚类），得到本质属性，最终水到渠成地形成概念.

      师生活动：学生举出如下例子，如力、速度、加速度等等.

      举例过程中，教师有意提出“速度越大，到达目的地越早？”的疑问，目的让学生重视速度具有方向这一事实，体会两个本质属性的同等重要、缺一不可.

      举例后，学生归纳概括出两个公共属性，并尝试命名.

      教师追问：有没有只有大小、没有方向的量？

      师：得到一个新概念，接下来做什么呢？

      停顿片刻，先让学生独立思考，再展示PPT的下一问，对完全没有头绪、能力稍弱的学生适当铺垫.

      （三）深化理解概念

      问题3 结合前面学习的经验，请谈谈应从哪些方面研究一个新概念？

      设计意图：类比数、集合的教学，希望学生能建立一张“数学常用导游图”：定义→表示→关注特殊元→两元关系及分类（尤其是相等）→构造运算及性质→应用，既为本课乃至全章接下来的讨论明确方向，又为今后的学习起到一定的“导游”作用，从而帮助学生形成认知结构，发展元认知.

      问题4 回顾开头的例子，你认为应如何表示一个向量？

      设计意图：数学符号是人的主观创造，是数学概念的过程与对象的缩记，好的符号有利于数学思想的交流与传播.让学生参与符号创造，既巩固了对概念的理解，强化了概念与符号的对应，又锻炼了学生的创造能力.

      师生活动：学生上黑板书写，然后师生一起讨论并完善.

      师：看来这几位同学都想到用有向线段来表示一个向量，那它如何体现向量的方向和大小？它能表示所有向量吗？

      看到有学生用，

，

，A→B表示向量，教师请他谈谈想法.

      生：因为线段用符号AB，a表示，有向线段就加个箭头.

      师：很好，说明你已经自觉地把向量和线段作类比，这种类比方法对我们的学习是有帮助的.线段AB和线段BA表示同一线段，那么

和

表示同一向量吗？

      适当的变式，可以帮助深化概念的理解.

      生：起点和终点反了.

      师：看来向量

的书写要注意从左到右，再加个箭头.可是向量

的方向有了，大小怎么表示呢？

      引出模的概念和表示：｜

｜、｜

｜.

      师：有没有特殊模长的向量？

      意图让学生类比数，引出零向量、单位向量.

      师：零向量、单位向量的方向怎么规定？

      师：如果把平面上所有的单位向量平行移动到同一个起点，则它们终点轨迹是什么？

      生：单位圆.

      师：有特殊模长的向量，那么有特殊方向的向量吗？

      充分发挥类比的作用，不完全拘泥于教材，兼顾思维的严谨.

      生：水平向量、竖直向量.

      师：如何研究两个向量之间的关系呢？

      教师虽意在渗透数学思想方法，但指向不明确，不易回答，但学生却说出“从特殊到一般、具体到抽象”的研究方法，出人意料.

      （四）典型例题

      例1 在1×2的方格纸中，利用图中的6个格点为起点和终点作向量，并就你作出来的向量谈谈两个向量之间的关系.

      

      设计意图：在学生已经掌握了与向量相关的一些概念后，如相等向量、平行向量、共线向量、相反向量等，例1起到深化理解的作用.意在学生已经有直观感知的前提下，先体会概念产生的必要，再观察，后归纳，最后给出严格定义和对应的名称，以期更符合大多数学生自然认知的特点.

      师生活动：课堂上，生1用符号表示了两向量平行，四个向量模相等；生2用文字表达了长度相同、方向相反；长度相同，方向相同；生3画了四幅图，据她自己补充描述，图中的两个向量主要关系是起点与起点重合、起点与终点重合.前两幅图中两向量是共线的，后两幅图中两向量是垂直的.

      师：三位同学都介绍了自己的想法，在他们的启发下，你能否按照一定的条理来梳理下两个向量的关系？

      生：模的关系有：模相等，模不等；

      方向的关系有：平行向量、垂直向量；

      特殊的有：相等向量（方向相同、大小相等）、相反向量（方向相反、大小相等）；

      师：零向量和别的向量什么关系？（补充规定：零向量和任何向量都平行、零向量的相反向量仍是零向量.）

      师：类比两直线的关系，除了平行、相交（特殊垂直），还有两直线重合.如果把两个平行向量平行移动到同一个起点，则成了共线向量.但由于在平行移动中，向量的大小、方向皆没有发生变化，所以又把平行向量称为共线向量.

      师追问：一共能作出多少个不等的向量？（涉及模与方向的分类，考查学生思维的条理和严谨.）

      （五）巩固与检测

      例2 判断下列说法是否正确，并说明理由.

      （1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（向量可平移，自由向量）

      （2）任意两个单位向量是相等向量；（巩固单位向量的概念）

      （3）互为相反向量的两向量平行；（巩固相反向量的概念）

      （4）平行于同一向量的两个向量平行；（注意零向量平行于任何向量）

      （5）模相等的两个向量是相等向量；（巩固相等向量的概念）

      （6）共线向量是平行向量.（与线段有区别，共线向量与平行向量是一致的）

      设计意图：概念精致，针对可能发生的理解错误进行讨论和辨析.

      （六）回顾与总结

      问题5 本节课我们学习了什么知识？如何研究一个新的数学概念？研究中应用了哪些数学思想方法？接下来研究什么呢？

      设计意图：明确总结的脉络，帮助学生梳理所学，为引入向量的运算作铺垫.

      （七）作业布置

      （1）阅读课本第59～61页；

      （2）课本第62页习题2.1第3、4题.

      三、几点思考

      （一）设计“好”问题，让概念教学从“快讲多练”变成“参与建构”

      问题是数学的心脏.好的问题要有一定的开放性，给学生以思维的空间；也要有针对性，直击教学目标；更要调动学生参与建构概念的兴趣，才能增加学生的认同感、成就感.

      本课设计的问题1，请你从数学角度谈谈如何从“此”位置确定“彼”位置？指向明确，引入向量的原型——位移.问题处于学生的最近发展区，激发学生利用已有的数学知识建模解决的欲望，同时又具有相当的开放性，三个学生的观点，暗含了直角坐标、向量、极坐标的关联，为本章乃至以后的学习起到铺垫作用.

      让学生认识到“数学符号是人的主观创造”，鼓励他们自己想办法表示向量，激发了学生的创造潜能.但最终又要易于理解、简洁通用，可以方便数学思想的交流和传播.在不经意间就渗透了数学历史与数学文化的教育功能.

      （二）加强概念的联系，让概念理解从“孤立存在”变成“体系存在”[1]

      现代认知心理学认为，概念学习的关键是建立关系，形成概念的网络.当回忆和运用某概念时，实际是对概念网络的激活，而不仅是激活某个单独概念.在优秀学生头脑中，数学概念往往不是“孤立无援”的，从不同的角度连接越多，记忆越牢靠，激活起来越快；概念的内涵越丰富，应用越得心应手.

      本课涉及多个概念的形成、同化、命名，通过类比“两直线关系”来理解两个向量的平行、垂直关系，以体系存在的形式把新概念纳入到学生已有的认知结构，同时达到“跳一跳摘果子”的效果.

      （三）发展学生的认知策略，让概念学习从“被动学习”变成“主动体悟”[2]

      认知策略具有支配个体自身学习、记忆和思维行为的功能，在一个情境中获得的概念学习策略有时可以迁移至另一个情境中新概念的学习.

      在本课中，对比已有的“数量”、“数、集合的学习过程”确定向量的学习内容是：定义→表示→关注特殊元→两元关系及分类（尤其是相等）→构造运算及性质→应用，既为接下来的讨论指明方向，又为以后的学习起到一定的指导作用，这些都带有本源性质的意义.

      （四）吸收新鲜的理论，推动教学设计从“因循守旧”变成“推陈出新”

      心理学中的“宜家效应”[3]是指参与和付出劳动，可以增加人们对获得结果的认同感、成就感.应用到概念教学中，教师就要尽可能争取把学生卷入到概念的建构过程，以增加学生对概念的理解和认同，重视概念的应用.

      课后看到IB部的教材[4]，对比美版教材的设计之后，笔者开始意识到自己在本课中的“几何味”有点淡.而对于初学者，几何直观有利于更形象地理解概念.如在例2的辨析过程中，恰当应用画图举例，可能效果更佳.

标签：平行向量论文;  平面向量论文;  方向向量论文;  数学论文;