“以方程为纲，以元素为序”：初中代数知识结构的重构--对“GX实验”教学型初中代数数学体系的探讨_数学论文

“以方程为纲，以元为序”：初中代数知识结构的重建——“GX实验”面向教学的初中代数学体系探究，本文主要内容关键词为：初中论文,代数论文,方程论文,知识结构论文,体系论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      知识理解需要概念框架，核心概念结构在使个人精通解决该领域的问题中发挥着核心作用.[1]但随着数学课程改革的深化，数学课堂教学中由于核心概念“抓不准”，知识主线“贯不穿”等教学现象大量存在，造成了教与学的负担重、效率低、质量差等问题.因此，基于改革理念构建面向教学的数学核心概念与知识体系，是数学课程改革发展的一个核心与关键.回顾数学教学改革史，挖掘与梳理我国数学教学改革中面向教学的知识结构特色与成功经验是一条重要的途径.下面拟对“GX实验”（提高初中数学教学效益的教改实验）如何基于“淡化形式，注重实质”等教学理念，按“以方程为纲，以元为序”对初中代数知识结构的重建进行探析，以期从微观的角度，挖掘与继承我国数学教学改革的成功经验与本土特色，为当下的数学教学及其改革提供借鉴与启示.

      一、“GX实验”初中代数知识结构重建的背景

      陈重穆先生、宋乃庆先生自20世纪80年代以来主编了《初中代数新编》、《四川省编初中数学教科书（内地版）》、《九年制义务教育六·三制初级中学实验课本（高层次）》以及《GX实验初中教程》等初中数学教材，主持了国内有较大影响的“GX实验”等数学教学改革，有效地提高了数学课堂教学的效益，在“GX实验”所提出的“GX32字诀”——“淡化形式，注重实质；积极前进，螺旋上升；开门见山，适当集中；先做后说，师生共作”是其数学教学思想的一个集中体现.

      当时在我国数学教学大纲的要求与规范下，初中代数主要包括有理数、多项式、因式分解、不等式、分式、二次根式与根式、一元一次方程、一元二次方程、二元方程组、指数、函数及其图象等数学内容.基于当时的教育背景，陈重穆先生、宋乃庆先生及其所带领的数学教学改革实验团队，把初中代数与几何分科设置，基本没有增减初中代数的课程内容，基于其对代数学的深度理解与把握，进一步的抽象概括，将这些基本内容归结为数、式、方程三大模块.[2]基于“GX32字诀”的数学教学思想，以方程模块为核心与脉络，按“以方程为纲，以元为序”的逻辑架构，对初中代数知识的结构体系进行了重建，在初中的数学教学实践与改革中取得了显著的教学效益，形成了颇具我国数学教育特色的初中数学知识结构体系.

      二、“以方程为纲，以元为序”的初中代数结构重建

      （一）“以方程为纲”的逻辑架构

      1.方程概念的本源性回归

      1986年陈重穆先生在《关于中学数学教材中的方程问题》的报告中，指出当时教科书中方程的定义“含有未知量的等式叫方程”不合理，存在许多逻辑上的困境.[3]另外，在数学教学实践中许多教师对这一定义进行大量的形式化练习，造成师生教与学的过重负担.陈重穆先生吸取了前苏联伯拉斯基的“方程是问题”的观点，指出“方程不是等式而是与等式有关的一个问题，因此不必正式下定义，略加说明即可.”[4]这实际上是废除了不必要的方程的定义，但不等于说方程的概念在初中数学中不重要，而是进一步强调初中代数要“以方程为中心”，[5]突出方程作为“问题”的本源与实质，返璞归真.

      对于“解方程”的概念，陈重穆先生认为这是学生能直观理解的一个概念，没有必要再下定义，并删除了方程的“同解概念”与“同解原理”，要求利用“等式的性质”以及“推出检验”的方式来解方程，要求学生用“分析法”与“观察法”等“通法”来解方程，而不是形式化的“同解理论”.[6]这种对数学的核心概念淡化形式定义，注重本质内涵的处理方式得到数学教育界的认同.有些专家、学者也从不同的角度对方程的概念进行解析，如张奠宙先生指出“方程是为了寻求未知数，而在未知数和已知数之间建立起来的一种等式关系”.[7]史宁中先生与孔凡哲教授认为，“方程概括的是一类事物普遍适用的模型.”[8]在数学课程标准中指出“方程是刻画现实世界的有效模型.”.虽然方程的概念经过众多数学家、数学教育家、数学教师的讨论，但现在仍是中小学数学教育者关注的一个话题.

      2.“以方程为纲”的认知内涵

      陈重穆先生认为代数（中学）这门学科是从研究方程而产生发展起来的，初中代数教材“以方程为纲”来带动代数的基本知识，就可以做到“使学生认知规律与学科知识结构结合起来”.“以方程带动数、式”的学习符合代数发展与形成的脉络，也切合了学生的认知规律，有利于激发学生的数学学习兴趣，培养学生的数学素质.且他进一步指出“以方程为纲”就是以“问题为纲”，要求教材中的代数知识尽可能从问题引入所学内容，又用所学内容来解决实际问题.如此形成了在情境上以“问题”为显性导引，在代数知识方面以“方程”为主线的初中代数知识的结构体系.

      学术视野下的数学一般是一个公理化、形式化的结构系统，呈现出来的是由定义、公理到命题的逻辑序列，许多数学分支结果呈现的逻辑顺序与其历史发展不一致，但人的认识过程常与历史发展相同.陈重穆先生打破了数学的形式化结构，把方程看成是实际问题所产生的一个数学问题，回归数学定义的本源，使初等数学的发展脉络与学生的认知结构相切合，实现了数学的学术形态到教育形态的有效的转化.

      3.“以方程为纲”的初中代数知识结构

      代数与几何分科设置的初中代数共有3册，基于当时的教育背景，基本不改变初中数学的知识点，陈重穆先生、宋乃庆先生及其所带领的数学教学改革实验团队，把一元二次方程提前放在代数第1册的下册，把二元方程组调到第2册，共3册的数学课程内容具体设置目录如表1所示.

      

      在相关章节的具体数学知识展开时，按数学发展逻辑的关系与数学应用问题，通过方程的内容把前面14个章节的代数内容形成一个相互联系的结构体系.如下是各主要章节之间的一条逻辑关系：通过“字母代数”从有理数引入多项式；通过“代数简明地表示出量与量之间的运算，可进而用它表示出量与量之间的相等关系.”从多项式引入一元一次方程；通过“方程的求解问题”引入等式的性质以及方程的解法；通过“等量关系到不等量关系”以及“从方程（等式）”引入不等式；通过“实际问题的方程”引入分式，后面又在该章设置了分式方程及含有字母系数的方程内容；通过“较为复杂的数学问题与未知量的增加”引入二、三元方程组，以及简单的二元二次方程组；通过“根式方程”建立方程与二次根式的逻辑关系，并引出无理方程（选学）；通过“函数图象的交点”以及“方程的图象解法”建立方程与函数内容的逻辑联系.如此把14个章节的初中代数知识按“以方程为纲”的逻辑框架形成一个结构体系.其简明关系如下页图1所示.

      （二）“以元为序”的逻辑演进

      1.“以元为序”的内涵

      “元”指方程中所含的未知数，“以元为序”是指按未知数由少到多的顺序来编排方程的内容.对初中代数方程来说，指在一元一次方程之后，把一元二次方程置前，二元一次方程组置后，这打破了多年来初中方程内容的设置顺序.陈重穆先生认为对方程及其求解而言，“次数”的增加只带来技术上的困难，增加了复杂的程度，而“元”的增加将引起概念上的提高，这对数学学习的难度更大.并且一元方程的解与二元方程组的解也大为不同.

      

      对于学生的数学学习而言，如果学生未能切实掌握所讨论的对象，尽管方法简单，学生也只能被动接受，照搬模仿，达不到通过知识培养能力的目的，再说真正要用二元方程求解的应用问题常是较难的，放得过前对学生会有困难，如果都是些容易的问题将起不到应有的培养作用.“以元为序”更符合循序渐进，由易到难的原则.

      另外，陈重穆先生认为把二元一次方程组后置，更有利于联系后续的二阶矩阵、行列式的内容，如果“二元”放在前面要作这种联系就较难了.综上分析可知，陈重穆先生基于知识的难度、学生的认知规律及能力培养、前后知识之间的联系等考量，把初中代数中方程的内容按“以元为序”的演进方式进行重新设置.

      2.“以元为序”的螺旋式设置

      在“以方程为纲”的框架下，陈重穆先生首先在“字母代数”中设置简易方程内容，在多项式加减法后正式引入一元一次方程，并在其后集中讲一次应用问题，实现了对一元一次方程通过概念提升与应用加深的循环.在一元二次方程、分式方程等处进一步设置应用问题，并进一步引入二元一次方程组，此后再集中讲一次应用问题（较多地联系物理与化学），如此不断循环上升.这样形成了初中代数中方程内容“以元为序”的纵向设置，在相关的知识点处横向复习或提升，采取集中与分散相结合的处理方式，这实质上是以方程为中心的一种螺旋式设置，充分体现了方程的“纲”与“序”的体系架构.

      对于方程解法的螺旋式设置，陈重穆先生特别强调学生远期能力的培养，如一元一次方程解法在第1册第3章的1、2、3节分别设置了三个层次：第一层——利用等式性质用推出符号“

”解方程，重点突出检验的必要性；第二层——在等式性质的基础上掌握两个最基本的等式；第三层——在学生解方程的实感的基础上，师生共同归纳步骤，使学生较熟练地掌握解法.[9]通过课时与章节的调整，避免一开始就教授学生法则步骤，虽然简捷且近期效果好，但通过知识培养学生能力的远期效果较差的现象.后面再在不同的知识模块处复习或提升，如在一元二次方程处联系一元一次方程，二元一次方程组处联系一元一次方程、一元二次方程等，其他章节的合适内容之处也进行了类似的设置，实现了数学教学中“螺旋上升”与“积极前进”有效平衡.

      （三）对数学教学改革的借鉴与启示

      初中代数“以方程为纲，以元为序”的体系重建，在陈重穆先生、宋乃庆先生所主持的“GX实验”中，对提高课堂教学效益与减负提质等均取得了较好的效果，实验在全国十几个省、市、区（县）得以实施与推广.综上分析，对当下数学课程改革有以下启示.

      1.中小学数学的核心概念及其定义具有多样性

      在义务教育阶段数学核心概念是“数学课程内容的核心，是教材的主线.”[10]是“数学课程的目标点，很多核心概念都体现着数学的基本思想.”它“有利于研究者理解课程内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键.”[11]数学核心概念往往还是教学的重点与难点，是相应数学学科发明的本源.[12]因此数学核心概念的定义就像一个“风向标”，既引导着教师的教，也预示着学生的学，隐含着一个数学知识模块的教学价值与目标.

      在数学课程改革中，许多数学教育者或教师仍受到数学形式化、公理化等学术传统的影响，追求或强调概念准确性、逻辑性与体系完备性、唯一性，这与中小学许多数学概念及其体系需经过“教育化”的处理，处于“描述化”状态，会产生一些逻辑矛盾，给学生的数学学习增加困难与不必要的麻烦.如陈重穆先生把方程作为初中代数的一个核心概念，克莱因（F.Klein，1849—1925）把函数作为中学数学的一个核心概念，义务教育数学课堂标准的实验稿与修订稿中两次所提出的数学核心概念也是不同的，等等数学教育改革事件说明中小学数学的核心概念是变动的、多样化的.

      即使对同一个核心概念，其定义也不是唯一的，如可以把方程作为含有等式的问题，作为一种数学模型，作为一个建立等量关系的桥梁等，如果过于强调学生对“方程是含有未知数的等式”的定义，类似形式化、公理化的数学逻辑体系，让学生通过定义理解概念，并以此进行性质、定理等的演绎推理，不仅会产生许多逻辑上的矛盾，而且淡化了方程的根本教育价值，带来“琐碎的麻烦”.所以在数学课程改革中认识、理解与构建中小学数学核心概念定义的多样化描述形式，借之帮助学生多角度的理解概念，关注其育人价值，从强调数学核心概念的学术性到强调其“教育性”，是理解中小学数学的一个根本立场，也是我国当下数学课程改革的一个基本价值取向.

      2.中小学的数学知识结构具有多元化的构建途径

      中小学的数学内容基本是某一数学领域较为完善的内容，在学术数学中具有严谨的数学结构体系，它是相关的数学概念与性质发展成熟后所形成的数学逻辑系统，其逻辑结构与学生的认知结构及其历史发展有许多不相符的地方，如果把中小学的数学当成学术数学的缩影，必然会导致学生数学认知上的困难.综观国内外许多著名的中小学数学教育改革，往往会涉及数学知识体系的改造或重建，如20世纪初著名的“培利—克莱因运动”，培利（John Perry，1850—1920）以数学的实践与应用为目的对当时的数学教学内容进行了重建.克莱因（F.Klein，1849—1925）提出中学数学内容应以函数概念为中心.1960年代美国的“新数运动”，对数学课程的内容进行现代化的重构.1980年代的“大众数学”促进了学校数学由强调学术性到学科性的转化.我国的“MM数学教育方式”，利用数学方法论对数学课程进行改造.[13]“情境—问题”教学实验，从数学问题的角度改造数学课程内容.[14]等等数学教育改革中数学知识结构体系的重建说明，改革理念的不同会导致知识建构方式的不同，关键是数学呈现的知识结构与学生的数学认知结构相一致.

      另一方面，某一模块数学核心概念的变化，也将会导致该模块结构体系的变化，数学教育的目的或价值取向的变化，同样将产生数学结构体系与教学侧重点的不同，如强调数学的工具价值与育人价值是两个不同层面的教育目的，前者强调数学的应用，后者强调数学对学生能力、素质的培养，这也将导致学校数学结构体系的改变或重构.因此同样的数学知识，其结构体系的构建具有多元性，不是固定不变的，要根据数学教育理念、目的与要求等的不同进行体系的改造与重建.

      3.数学教育理念的物化是一个复杂系统过程

      数学作为基础教育的一门重要学科，是进行课程与教学改革较为频繁的一个领域，教育改革理念要物化于学校的学科课程，通过教师的施教与学生的学习获得实现，在这一过程中涉及改革者的课程设计，涉及教师对改革理念的理解与教学，同时还要符合国家的课程标准，符合学校及学生的现实水平等.因此即使是单一的教育改革理念，要切实的物化于数学课程内容也是一个复杂的过程.如“GX实验”中“以方程为纲”，把一元二次方程提前，方程组的内容后置，不是简单的交换两部分内容的章节位置，不仅这两部分内容自身要进行改造，而且还涉及因式分解、不等式等课程内容如何设置，多个章节之间的逻辑关系如何建构等一系列章节内容的处理与设置.

      当下的数学课程改革从教育理念、教学目标、教学内容等各个方面均提出也新的内容与要求，每一点的变化都是复杂的，不是简单的替代或叠加.如强调学生探究能力的培养，那么什么样的数学知识适合学生进行探究性学习？如何设置学生探究学习的情境？数学的概念、定理、规则是精确的，具有客观性与一义性，如何处理它们与探究的多样化之间的矛盾？等等问题的处理不是一个简单的操作与程序可以实现的.另外，随着数学自身的发展促使学校数学的知识及其体系结构不断发生变化，而且随着社会对人才需求的变化、教育学、学习科学等基础理论研究的发展，相关的各个层面也将会不断地提出新的理念与要求，这些都会给改革理念的物化增添难度，增加改革理念物化的复杂性.

      学校数学的核心价值在于其育人价值，它是学术形态的数学经过“教育化”过滤的产物，二者在概念的定义、知识的结构体系等方面一般有很大的差别.在数学“教育化”的处理过程中概念，结构体系等表达形式灵活，更有利于培养学生的灵活性、创造性，反之则“缘木求鱼”.[15]中小学数学的一些核心概念、有效组织的结构体系在数学课程中的重要性具有世界性共识，已经引起国际数学教育界的关注、研究.[16]基于数学课程标准，根据数学教育的目标，以学生的数学认知结构为参照，对学术形态的数学进行概念的重新定义与结构体系的重建，是数学教材特色化、多样化的基础，是数学教学改革的一个关键与核心，也是数学教育改革的一个永恒的话题.

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