重在探索 贵在发展——记一节相似三角形复习课，本文主要内容关键词为：角形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
比例线段在平面几何计算和证明中，应用十分广泛，相对于已学的两条线段相等关系而言，四条线段成比例关系对学生分析问题的能力、综合解题的能力要求更高.在学生学完“相似三角形”一章后，我们及时组织了两节复习课，第一节课着重复习比例线段的基本知识及基本技能，第二节课则采取“探究式教学”，培养学生的实践能力、探索能力，收到了较好的效果.
我们认为“探究式教学”注重学生自己提出问题或自己提出解决问题的方法、寻找问题解决的途径、体验解决问题的过程，从而提高解决问题的能力，逐步改变学生的学习方式.在初中数学教学中，开展探究式教学活动，既是对教师的教学观念和教学能力的挑战，也是培养学生创新意识和实践能力的重要途径.下面是这节课的过程描述及课后反思.
一、复习
请同学们用符号语言结合图形整理以线段成比例为结论的定理，并交流上节课的作业（上节课的作业：通过对整章的学习，你发现用比例线段可以进行哪些计算或证明，并用你自编的题目加以说明.学生交流：（1）可求线段的长；（2）可求线段的比；（3）可证线段成比例；（4）可证两直线平行；（5）可证线段相等；（6）可证三角形相似；（7）可求函数解析式；（8）可作第四比例项）.
二、提出原问题并解决原问题
问题 将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与射线DA相交于E点.请大家实际操作一下，画出图形.
学生动手实验操作一些时间后，请一个女生上黑板画出图形.
学生画出图1，问她是否一次就画对？答：一开始把E点交到BC上了，是同组的同学提醒后才画对的.
（教师鼓励后继续提出要求.）
请大家探索发现：运动过程中，线段PE与PB间有怎样的大小关系.
学生思考探索后交流（教师要求学生说明用什么方法发现它们的大小关系，大小关系是什么？）.
S[，1]：我用观察的方法猜想PB可能等于PE.
S[，2]：我用测量的方法发现PB=PE.
S[，3]：我用证明的方法证到了PB=PE.
S[，4]：我也用测量的方法，但不是刻度尺，是用圆规测量的，也发现了PB=PE.
教师：你取了几个点测量的？
S[，4]：我取了三个点.
教师：为什么？
S[，4]：我就怕无意中取了一个特殊点，不能说明问题，所以多取了两点.
教师：很好！这是从特殊到一般的归纳，要注意多取几点，不要犯以偏盖全的错误.既然大部分同学都采用实验操作的方法发现或猜想结论，那么我们请电脑也实验操作一下，一起来观察.
（打开几何画板，展示P点在AC上运动，PB、PE的值一直保持相等.）
教师：我们获得了PB=PE的猜想，但它究竟是否正确，最终还是要严格证明的.
教师：请大家先独立思考证法，然后小组讨论交流，并在练习本上写出证明.
（教师巡视，适当给予点拨，几分钟后请刚才已证出来的S[，3]上黑板板演.）
S[，3]演示图2，并说明证法：利用AAS证明△PBH≌△PEG即可.
教师：还有其他证法吗？
S[，5]：我用相似的方法证，先利用两角对应相等得△PBH∽△PEG，再证BH=PG得相似比为1.从而证得.
S[，6]：我作了两条垂线，如图3，利用ASA证△PBH≌△PEG即可.
教师：好的.其实此题证法有很多，希望大家课后继续思考、讨论.
三、教师评价
刚才大家经历了“实验操作”到“探索发现”，最后通过“科学论证”得到了结论，这是我们获得知识的一个过程.
四、原问题的发展
问题 我们把问题发展一下，将正方形ABCD变成矩形ABCD，AD=4，DC=3，其他条件不变.结果会怎样呢？请画出图形（如图4）.
学生动手、思考后交流：
S[，1]：通过观察发现PB不等于PE.
S[，2]：通过测量发现PB不等于PE，且PB总大于PE.
S[，3]：通过测量并计算了几次，发现PB∶PE的值约为4∶3.
S[，4]：通过证明的方法，已得出PB∶PE的值为4∶3.
S[，5]：通过点的运动得到当P点运动到C点时，PB∶PE的值就是CB∶CD的值，所以猜想PB∶PE的值为4∶3.
教师：通过P点运动到特殊位置的比值去推测P点在其它位置的比值，这是由特殊到一般的猜想，这种思考方法很值得大家借鉴.刚才大家自己选用不同的方法发现PB∶PE的值，但有的同学还来不及得到结论，因为画图、取点、计算花了不少时间，我请电脑帮忙也做了实验（演示动画）.看！电脑做实验又快又准确.
教师：通过电脑实验进一步验证了PB∶PE的值就是AD∶CD的值.和刚才一样，经过“实验操作”和“探索发现”得到的结论，究竟正确与否，还应该进行科学论证.你能和S[，4]一样把它证明出来吗？
学生先独立思考，然后小组讨论交流证明方法.
教师巡视，适当点拨.并注意发现不同的证法.稍后请学生上讲台交流证法.
S[，1]：我是根据刚才全等的思路考虑的，先证明△PBH∽△PEG，得PB/PE=BH/PG，再证BH/PG=AD/DC=4/3即可（如图5）.
请学生写出完整的推理过程.
S[，2]：我作了两条垂线如图6，容易证得△PBH∽△PEG，PB/PE=PH/PG，再由四个角相等，四条边成比例证得两个矩形相似，得PH/PG=AD/DC=4/3，从而证得结论.
教师：很好！其实此题的证法也很多，可参照前一题的添线方法考虑不同的证法，希望大家课后继续探讨.
五、提炼
提问：在矩形的边长之比为4/3时，PB/PE=AD/DC成立，若将边长之比改为2/3、6/5、…时，PB/PE=AD/DC还成立吗（学生容易想到成立）？
结论：不管矩形边长之比为多少，PB/PE=AD/DC总成立.
教师：那正方形时呢？
学生：也成立.因为正方形是矩形的一个特例.
提炼：由此我们把这两个题目提炼成这样一个问题：将一把三角尺放在矩形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与线段DA相交于E点.
提法1：求证：PB/PE=AD/DC；
提法2：猜想并证明：PB、PE、AD、DC四条线段的数量关系.
六、小结
教师：通过这堂课我想大家肯定会有自己的体会和想法，先请大家小组讨论，最后请小组代表发言交流.
小组甲：我们小组发现通过“实验操作”和“探索发现”得到的结论，必须经过“科学论证”才能判断它的正确性.
小组乙：我们小组得到一个启发：遇到题目，解出来后，还可以进一步考虑有没有其他解法？往往题目都可以一题多解.从而提高我们的思维能力.
小组丙：我们小组感到题目常常可以进一步发展，我们以后也要试着把手中的题目发展一下，不过其可行性还得老师把关.
小组丁：考虑问题经常可以从特殊入手，再归纳猜想到一般.
教师：大家谈得很好.最后再提一点：通过本课的学习，大家体验“实验操作—探索发现—科学论证”的学习过程，这和逻辑推理一样，也是一种有效的获得知识的方法.
七、问题的延伸
一边演示动画P点在直线AC上运动，一边对同学提出要求：看了动画，能否把这道题目作进一步的发展，把你想到的写在作业本上，明天交给我.
在学生观察动画中结束本课.
课的设计意图：
在数学课堂中开展探究式学习是接受性学习的补充，它有效地促进了学生学习方式的改变，学生从被动的接受性学习变为主动的探究性学习.本案例力争在以下三个方面有所体现：
1.尊重学生主体地位
本课以学生的自主探究为主线：课前学生自己对比例线段的运用进行整理.这样不仅复习了所学知识，而且可以使学生逐渐学会反思、总结，提高自主学习的能力；课堂上学生亲身体验“实验操作—探索发现—科学论证”获得知识（结论）的过程，体验科学发现的一般规律；解决问题时学生自己提出探索方案，学生的主体地位得到了尊重；课后学有余力的学生继续挖掘题目资源，用发展的眼光看问题，观察运动中的“形异实同”，提高学习效率，培养学生思维的深刻性.
2.教师发挥主导作用
在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新，哪怕是微小的进步或幼稚的想法都给予热情的赞扬.备课时思考得更多的是学生学法的突破，上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充.三次恰到好处的电脑演示，向学生展示了电脑的省时、高效以及对数学实验的巨大帮助，推荐给他们运用电脑技术的学习研究方法.教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围，促进教学相长.
3.提升学生课堂关注点
学生在体验了“实验操作—探索发现—科学论证”的学习过程后，从单纯地重视知识点的记忆、复习变为有意识关注学习方法的掌握，数学思想的领悟.如在原问题的取点中教师小结了从特殊到一般的归纳，学生在探究矩形PB/PE的比值时就能有意识地把解决特殊问题的策略、方法迁移到解决一般问题中去.在课堂小结中，学生也谈到了这点体会，而且还感悟了一题多解、一题多变等数学学习方法.
点评 数学复习课怎么上？本案例探讨了这样一个问题.当学生经过一段时间的学习，初步掌握了有关知识点后，如何指导学生通过自我小结、归纳，构建新的知识体系，是教师十分关注的.现行的数学复习课，往往演变为单纯的习题课，一味地解题训练，学生的思维能力、学习能力没有得到发展，学生学会的只是一些定理、公式.学生的模仿能力强了，而研究问题、自主探索问题的意识和能力弱了.遇到新的问题时，学生仍然束手无策，更不用说创新了.
本案例所呈现的数学复习课，以探索为主线，旨在引导学生通过对一个问题逐渐深入的探索，建立知识之间的联系，完善知识结构.更重要的是，学生通过自主的“操作—发现—论证”，体验解决数学问题的过程，了解了看起来显而易见的结论，并不是现成的，而是需要探索才能得到.同时也了解了从特殊到一般、猜想、归纳也是研究问题的重要方法.学生在这样的复习课上，思维的空间被拓展了，自主探究的意识被激发了，探究的能力有所提高.
教师不仅在学生的探究过程中，引导他们尝试从特殊到一般的研究方法.而且在呈现问题时，给予学生的也是从特殊到一般的过程.教师在教学环节中，也能注意学生的学习、体验，这是很重要的.