数学抽象性的研究与思考，本文主要内容关键词为：抽象性论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
抽象一词，来源于拉丁文“abstractio”，原意为“排出”、“抽出”之意。数学很抽象，不管是学数学的，还是非学数学的，这一认识是一致的。但如果再问，数学如何抽象呢？从教学实践中得知，即使学数学专业的学生，也难回答出个所以然来，本文想谈谈这个问题，以期对数学学习者有所启迪。
1 数学界对数学抽象的认识
数学作为一门科学或学科，我们说它抽象，首先应对其内容与对象加以界定，学科的内容与对象，决定了这门学科的特点。然而数学界、学术界对这一问题却很难达成统一的认识。或许正因为如此，数学抽象性的特点也就更明显、更突出了。
1.1 数学家们的主要观点
古希腊毕达哥拉斯把“数”看成万物的本质，因而数学的研究对象与内容就是“数”；亚里士多德把数量区分为离散的和连续的；笛卡儿把数量解释为“顺序”和“度量”，他们的观点是：数学是研究数量的科学；美国数学家R.柯朗与H.罗宾斯认为：数学的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性；英国数学家怀特海说：数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究，对此，美国数学家斯蒂恩持相同观点；前苏联的亚历山大洛夫把数学看成“关于与内容相脱离的形式和关系的科学”；我国数学家丁石孙先生认为“数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数量关系和结构关系”；关肇直先生认为“数学是研究现实世界中量的科学”；徐利治先生认为“数学是研究广义的量（即模式结构形式）的学科”[1]。比较经典的、 经常引用的有恩格斯对数学的定义：纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，等等。
1.2 主要学派的观点
逻辑主义把数学等同于逻辑，认为数学的对象就是逻辑的对象；直觉主义强调构造，把数学定义为“纯粹心智的构造”；形式主义则认为数学就是一串没有实际内容的且在逻辑上又不互相矛盾的符号；布尔巴基学派研究数学的结构——顺序结构，代数结构，拓扑结构，从而把数学定义为“研究结构的科学”；1994～1995年美国数学会的国家政策报告中指出：“数学是一门研究度量、形式、图形和变化的学科。 ”[2]
1.3 各种观点的启示
数学的内容与对象，在不同的历史阶段，具有特定的内涵，并随着数学本身的不断向前发展而赋于新的含义；数学的对象离不开客观世界的现实原型，但不一定是直接用现实原型来反映的，当用数学来反映现实空间形式和关系时，几乎脱离了具体的内容，而是经过了理性思维之后的抽象结果；数学所研究的各种不同对象领域，可以用公理化方法把它们统一起来，使各种不同的对象领域具有某种相同的结构，如康托建立集合论以后、几乎整个数学的研究对象的基础就可以用集合论来统一了。总之，数学研究的是社会各领域共同的本质问题，具有高度的概括性。
因而对数学所反映的空间形式和关系，可作如下理解：从现实中抽象出来的形式和关系，如欧氏几何的研究对象；在已知的形式和关系的基础上定义出来的逻辑上可能的形式和关系，如由实数的定义及运算关系到复数的定义和运算关系；在各种性质的集合中由非数量关系产生并且可以导致不同于通常理解的空间形式，如拉格朗日研究二次型时引入了n个变量，黎曼研究n维流型，从而产生了n维空间，但n维空间里的“图形”与我们所理解的现实空间里的图形是不同的；甚至几乎脱离了空间形式和数量关系的那种形式和关系，如数理逻辑的研究对象。
2 数学抽象性的思考与启发
2.1 数学抽象的主要表现形式
层次性：由感性的、直观的、现实的问题上升为数学抽象，往往需要经历多个层次，这就是常说的数学的再抽象问题，徐利治教授对此提出了抽象度的概念。“数学抽象概念的发展是具有层次性的”[3]， 抽象的层次越多，概括性越强，难度越大，应用就越广泛。可以说，数学的不断向前发展过程，就是数学的一次次再抽象过程。比如，由欧氏几何的距离概念，通过一次次逐级抽象， 直到下列形式化的表述：设A为一非空集合，任给x，y，z属于A，存在f（x，y）∈R，若f（x，y ）≠0，且f（x，y ）＝f（y，x ）；f（x，y ）≤f（x，z）＋f（y， z），则称f（x，y ）为x与y之间的距离。抽象层次就较高了。
数学的逐级抽象，需要“经过概念间的嫁接与引进”[3]， 在原有的认知基础上建立新的理论结构。如在函数概念中引进连续性，可以构成连续函数，在线性空间中引进拓扑结构，建立线性拓扑空间。另外，数学各学科之间，彼此独立，自成体系，但如果互相借鉴，互相渗透，则会产生新的学科。如中学代数与几何相结合，产生了解析几何，抽象代数与拓扑结合产生拓扑群，代数几何促进微分几何的发展等。
模型化：数学抽象离不开模型化。但数学研究的不是现实世界事物的直接模型本身，而是这些模型的一般模型，它没有任何实物的具体特征，而是处于数量关系、空间关系和类似这些关系的关系之中。广义的说，一切数学概念、定理、公式、法则、方程式等，以及由它们构成的序列或算法系统都可称为数学模型。通常的理解，数学模型就是对于现实世界的一个特定对象，为了某个确定的目的，根据它的内在规律，作出若干必要的简化与假设，运用适当的数学工具，而得到的一个数学结构。
数学的模型化表现在2个方面：一是数学知识本身的结构模型， 如从数与字母的运算到向量的运算到集合的运算到几何的运算到微积分的运算；这种结构模型还表现在数学的公理化，各种类型的公理体系的建立，如最早的平面几何学的5套22条公理，代数运算的群、环、 域分别蕴含着一系列的基本假设——代数公理，自然数的序数理论用4 条公理来定义自然数等。另一方面，数学的模型化表现在现实生活中一些具体问题，需要通过建立数学模型来解决，这就是我们通常所说的数学建模。比如：由骰子到概率，由行星运动到常微分方程，由波到偏微分方程等，无不体现了自然现象与数学模型之间的关系；解析式：α（1＋x）[b]，（α＞0，x＞0，b∈Z[＋]）就代表了计算利息、细菌繁殖等一类具体问题的数学模型；甚至海湾战争能否开战，美国求助于太平洋—赛拉公式，该公式也是利用Navier—stokes方程等作为计算模型而解决的[4]。
理想化：数学家庞加莱说：“数学研究的不是物体，而是物体间的关系，因此，对于它来说，这些物体是不是换成别的什么了，是完全没有关系的，只要不改变它们之间的关系就可以了。”于是，数学中的点没有大小，线没有宽度，面没有厚度，然而线段的长又可理解为点的集合，这样的点线面，在现实生活中显然是找不到的，这就是理想化的基本概念。数学的研究必须借助于理想化，没有理想化，数学自身的向前发展将是难以想象的，有了理想化，数学的抽象才能达到高层次，这种理想化既依赖客观现实中的物体，又完全脱离了它们，如几何中研究的球体，现实生活中是找不到表面绝对光滑的球体的，必然存在着相对凹凸，如果不理想化，就得不到球的表面积公式和体积公式，而这些理想化的公式却可以用来解决各种有关球的问题。微分方程：Φ" ＋（g /l ）sinΦ＝0描述了单摆的运动规律，但必须在不考虑摩擦及空气阻力的理想前提条件下。
形式化、符号化：数学符号是数学思维活动的载体，是交流数学思想的媒介，数学中使用大量的数学符号，使得对数学对象的研究转化为纯形式的分析，这是数学抽象性的外在表现，也是严谨性数学的客观要求，有了数学的形式化与符号化，数学显得简洁、准确、有序，人们的数学思维清晰通畅，秩序井然，事实上，当数学的抽象达到较高层次时，符号的形式化描述大大优于自然语言的描述，如数列极限的概念，完全可形式化如下：
数学符号形形色色，表示的范围相当广泛：表示数量、运算、对象、关系、规律、思维过程以及特定的含义等。如用“1＋1”表示哥德巴赫猜想。数学抽象的形式化与符号化，充分揭示了数学对象的基本结构和内在联系，是推动数学自身向前发展的重要因素，如希尔伯特通过形式化的工作消除了欧氏几何中的逻辑缺陷；魏尔斯特拉斯发明的“ε—δ”语言，奠定了数学分析的形式化工作。
2.2 数学抽象的合理性
首先，“数学抽象仅抽取事物对象量的关系和空间形式”[5]。 任何事物都具有质和量2个方面， 其它自然科学研究的是事物对象的质，数学研究的则是量，数学抽象的目的意向只是数量关系和空间形式，这种抽象构成了数学的特殊内容及认识客观世界的独特方式，从对象的形式结构和数量特征出发达到解决问题的目的。如欧拉解决哥尼斯堡七桥问题，其过程可概括为：客观对象—形式结构—数量特征—问题解决。
其次，数学抽象的合理性还表现为抽象的确定性：从“确定”出发，以“确定”结果。数学的抽象是建立在明确无误的概念（原始概念与公理或自明的假设或“确定”的现实原形）之上的，服从明确无误的推理规则，这种抽象的结果是合理的，不用怀疑的，譬如，公理化方法等；这种确定性还包括从已认知的对象关系中抽取或建构新的对象关系（再抽象），只要新的结构“是无矛盾的并且和先前由确切定义引进的关系结构相协调”[5]，如等置抽象、强抽象、弱抽象等。
另外，各种数学符号体系，提供给人们科学思维的智力工具，使得人们的逻辑思维、数学思想方法的表述形式化，使得数学各分支之间能够建立起统一的内在联系，也使得数学抽象具备了独立性与完整性，如代数学的产生与发展。
2.3 数学抽象性的作用与感悟
就数学教育而言，研究数学的抽象性，旨在更科学地把握数学，提高认识数学并用其解决实际问题的能力。
（1）数学抽象的层次性给我们的启示是：“从最简单、 最容易认识的对象开始，一点一点逐步上升到对复杂对象的认识”[6]， 遵循数学发展从简到繁的认识规律，注重知识结构体系与知识间的相互联系，不断激活已有的认知结构，建构新的认识结构，才能温故而知新，本质是最简单的，以简驭繁，这是一种重要数学思想方法。
（2）“数学地思考”实际问题， 培养数学观念和数学思想是数学抽象性的客观要求，数学抽象的模型化、理想化表明，现实问题的解决已经脱离了现实本身，而被完全数学化，这一过程没有数学的思想和方法是难以实现的，借助于对理想化模式的研究可以简化对现实原形的研究，现实对象和过程的合理理想化是人们认识现实的有利手段，当现实情况或思维过程的复杂性给研究工作带来很大困难时，理想化将起决定作用。但对理想化模式的研究不能完全脱离现实直观，因此，数学教学中既要注意贯彻具体与抽象相结合的原则，也要注意培养学生的辩证思维，如有了“极限”、“无穷”、“无限”这些理想化概念，才得以解释数学上的悖论，消除数学上的危机，下列结论也可接受了：集合的元素个数可以与其子集的元素个数一样多，整体可以等于其部分等。
（3）“数学教育必须重视形式化”[6]，从某种意义上说，数学就是一个符号化、形式化的系统。皮亚诺指出：“数学中的一切进步都是引入符号后的反响。”人们认识数学是从符号开始的，我们在教学中常常强调数学语言，其内涵就是指形式化的数学，数学教育中重视形式化，要力求做到以下转换：将基本概念转化为初始符号，数学命题转化为符号公式，推演规则转化为公式间的变形关系，证明转化为公式的有穷序列。