刁文惠 湖北省孝感外国语学校 432100
【摘要】在解答初中数学题目时，有部分与几何相关的题是很难用普通思路解决的，可以针对题目中的实际情况，根据圆的特点，以此来解决难以论证的几何题。基于圆的特点来构建辅助圆，本文将浅析辅助圆在初中数学解题中的运用，以供相关人士参考与交流。
【关键词】构建辅助圆；初中数学；具体运用
中图分类号：G633.67文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2019）08-184-01
圆是初中数学学科中必学的内容，圆有着不同寻常的特点，能够促使学生有效解决几何问题，圆是一种独特的曲线图，它的特点在初中数学学科中是一项重要的知识点，初中生在解答数学题时，经常会碰到一些难以解答的问题，那些问题表面和圆没有多大关联，但只要利用圆的特点构建辅助圆就可以让困难的问题变得简单，让抽象的问题变得具体，也就是说，辅助圆是解决初中数学难题的媒介。
一、借助圆解答初中数学题
（一）以圆的释义为基础建立辅助圆解答
部分平面几何论证题，如果使用普通的方法解决困难性很大，而且需要很高的技巧、难以正确解出，如果能利用圆的定义结合实际题目，构建辅助圆，就能把问题简单化，在同一个圆及等圆中，如果所含圆周角和弧线相同，就能够使用辅助圆来解答许多难题[1]。
（二）使用圆周角来构建辅助圆
在许多学者研究了圆以后，提出圆周角有许多特性，换句话说，这些特性就是课本中的“圆周角定律”：同一条弧或者半径一样弧长相等的弧对着的圆周角角度是其对应圆心角的二分之一；圆的直径对着的圆周角是一个直角，同理直角对应的弦就是圆的直径；假如一个圆中存在一个多边形，且这个多边形的顶点都在圆上，那么这是一个“圆内接多边形”。以圆周角为基础构建辅助圆，以此来帮助初中生解决几何难题。当初中生遇到难以解决的几何题时，可以打开思路，利用圆周角的特性结合题目来解答，这样就能减少做题时长。
二、借助圆内角和外角与圆周角的联系构建辅助圆
圆上有顶点，该顶点的两侧有与圆交汇的点，这些点构成的角就是圆周角。由于弧对着的圆周角是该角所对圆周角的二分之一，且圆周角角度和其相应的弧的度数相等，因此，圆周角角度是其相应弧度的一半。例如：圆C上有个顶点Q，圆C内有一点P，并且P、Q两点在弧线AB的同一方位，AP与BP相交于点P，构成一个角∠APB，AC与BC相交于C，构成∠ACB，试论证∠APB的度数大于∠ACB。证明：延长线段BP和圆心相交于点G，再把点A点G相连。由于同弧所对角的度数一样，所以角ACB和角AGP的度数相等。因为角APB是圆外角，∠APB的度数是∠AGB和∠Gap的度数之和，因此，∠APB的度数是∠AQB和∠GAP的度数之和，由此可证：角APB的角度大于角ACB。通过具体例子可以看出，在一个圆中，同弧所对的圆周角度数小于同弧所对的圆内角度数[2]。
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三、借助圆幂定律构建辅助圆(初中课本没有学)
初中数学课本中的圆幂定律属于概括性定律，总结了切割线定律及其推理、相交弦定律。由于和圆交汇的线的位置不同，定律也不同，所以可以简单归纳为下面两种定律：第一条是相交弦定律：同一个圆中的两条弦交汇，构成一个交点，由交点分开的两线段长度相同。第二条是切割线定律：园外存在一点O，从点O做割线和圆相交，交点分别为P、W、Z、Q，则OP.OW=OZ.OQ。由此可知，割线的位置不管是在圆内还是圆外，都能得到一样的结论，这些推理过程和推理结果，就是数学学科中的圆幂定律。比如：AB是直角三角形PLM斜边上的高，C是PM上的点，已知CP=CL=d，论证：CB的平方加AB的平方等于B?的平方。这一论证题就可以利用圆幂定律来解答。初中数学中有很多几何论证题是难以用普通方法解答的，这是初中生就可以拓展思路，充分发挥圆幂定律的作用，构建辅助圆，以此来解决几何题[3]。
四、利用辅助圆求解直线方程
初中数学学科中，对直线方程的教学也是教师十分重视的。初中的直线方程和高中的二元一次方程相比较，虽然没有很难，但是如果初中生依然选择常见的解答方法，就会浪费大量时间，打击学生的学习热情，所以，借助辅助圆可以把繁杂的问题变得更简洁，有助于初中生更好的解决问题。比方：圆外有个点O（1，2），过该点作圆p：（a－1）²+（b－1）²=1的切线ON、OM，且MN是切点，求解直线MN的方程。如果初中生先求出切点的坐标，再根据坐标求直线方程，这种求解方法较为困难，这时学生就可以构建辅助圆，过点O作切线，两圆方程相减，这样的解题思路会使学生解题时更轻松[4]。
五、构建辅助圆论证三角形具有相似性
初中数学中有很多关于三角形的知识点，三角形知识的掌握有利于教学其余平面图。论证两个三角形是相似三角形在初中数学中是很常见的论题，学生能够论证出部分简易的三角形，却很难用基础的方法证明两个三角形相似。基于此，教师应该教给学生构建辅助圆的方法，让学生可以借助辅助圆，凭借圆心角和圆周角的相互关系，为论证两个三角形相似提供理论依据，有助于学生能够轻松解决难题。
六、利用辅助圆确定符合条件的点数
在初中数学中，确定点的个数是常见的数学问题，同时这也是个让学生、教师头疼的问题。大部分学生在做求点数这个问题时，通常都找不到解题思路，丧失了学习数学的兴趣，特别是初中生刚从小学升学，逻辑思维能力较低，教师要在教学中逐渐传授一些解答的技巧，以供学生解决问题。譬如：有一条线段MN，该线段上有一点A，已知MA=NA，一条直线l过点N和MN形成60º的角，直线l上有一点p，且角MPA是30度，请问符合条件的p点有几个？通常学生看到这类题目就不想思考，教师可以教会学生构建辅助圆，利用圆的特性找出符合条件的p点。
七、结束语
圆是最简单的平面图，在解决初中数学题时构建辅助圆，能够化繁为简，可以减少不必要的时间浪费，还能激发学生的学习兴趣，增强信心，从而提高初中生的做题效率。
参考文献
[1]周佳敏.微课在数学教学中的辅助作用[J].中国现代教育装备,2018(04):72-73+77.
[2]马燕.“四能”理念下几何画板软件在数学复习课教学设计中的辅助运用——以中考复习课“圆”教学设计为例[J].数学学习与研究,2018(04):109-110.
[3]董伟伟.多媒体在数学教学中的辅助作用[J].初中数学教与学,2016(08):31-32.
论文作者:刁文惠
论文发表刊物:《中小学教育》2019年8月1期
论文发表时间:2019/7/19
标签：圆周角论文; 角形论文; 定律论文; 度数论文; 初中数学论文; 初中生论文; 几何论文; 《中小学教育》2019年8月1期论文;