王艳萍[1]2000年在《两类四阶非线性波动方程的定解问题》文中研究说明本文共分两部分，第一部分研究一类拟线性双曲方程的Cauchy问题整体广义解和整体古典解的存在唯一性；第二部分研究一类四阶非线性波动方程的初边值问题解的整体存在性及blowup性质。 （一） 研究Cauchy问题其中对u（x，t）是未知函数，M（λ）（λ≥0），f（x，t），(?)（x）和ψ（x）是已知函数。为此我们首先使用Galerkin方法和紧性方法，证明了下面初边值问题的整体广义解和整体古典解的存在唯一性，其中l＞0是常数。然后通过构造初边值问题序列并取极限的方法，得到了上述Cauchy问题（1），（2）的整体广义解及整体古典解的存在性与唯一性。我们有如下结果： 定理1 假定下列条件满足： （i）M（λ）∈C~1[0，+∞）且存在常数α＞0，ρ＞0，使得M（λ）≥αλ~(1/2)+ρ； （＊）三a人）ECO［O，十①）且a人）＞0（人＞0）使【M（人）D非＜占人）M八） （A＞0）成立； （ill）f（x，t），人（x，t）6 C〔0，T二；W一‘ co，＋co》；中（x），中（x）6 W co， ＋co），m 6 Z”坝u当 n；2 2时，huChy问题（l），（2）存在唯一的整体广义解 u（x，t）； 当nl＞4时，huchy问题（二）、（2）存在唯一的整体古典解． （二） 研究如下四阶非线性波动方程的初边值问题u。＊u。＝（on”＋du’bu。）。＋（fit）。＋（gu）。， 0 ＜ x＜l．t ＞ 0，（） In（0，t）＝u（二，t）＝u＿（0，t）＝＝ u＿（l，t）＝几 t＞0，（4） u（x，0） ＝＝ 9（），ut（，0）＝gb（），0＜x＜1，（5 其中C（C，L）是末知函数，C，b／丫J是常数，b＞0，g＞0，户＞q并且尸，qe二”， Z（x人）（x）是已知函数．我们用压缩映射原理和解的延拓方法证明了问题臼LN人 （5）的整体广义解和整体古典解的存在性与唯一性以及解的爆破性质．结果如下： 定理2 假定户（工） 6 H’二0，l］，）土＊） 6 H210，fi，？‘（0）二户‘（1）二 ）（0）二 ）（l）＝0，并且 c，d＞0小和q都是奇数或者c＞0J是奇数仔是偶数，p ＝＝ Zq－1 ，则问题（3），（4），（5）存在唯一的整体广义解 u（x，t）e CV0，＋co）；L‘IO，1」）n CV0，＋o）； 旷【0，1」）nC（卜，＋co）；W IO，11）． 定理3 假定户 6 H’［0，1］，） 6 H’［0，1］，习’（0）二户’（1）二）”（0）二7（1） 二 0，c，d＞00和q都是奇数或者c＞0J是奇数，q是偶数，p ＝＝ Zq－1，则问题（3）， （4），（5）存在唯一的整体古典解 u（x，t）E C＊0，＋co）以‘卜，1」）n CV0，＋co）； H’IO，1〕）n C（〔0，＋co）；H【0，1］）． 定理 4 假定 f＝g ＝＝ 0，c，d＞0，且 p和 q都是偶数，即存在人＞0，a j 2并且 0是偶数满足csP十 ds。3 A＊c．、（J）占i＊7md t 二（士义卜汹．门（工）五i＊7md＜ ———‘『”——”‘””———一 一’”－’j””—““”’”’”——一 冗”人”’｝””—”“”’”””—— 0，则问题臼XkX6）的解必在有限时刻于＜＋一爆破，即当t～于时， 一2 一 — — DI l·．C JI】一十OO，】 t工．【J SSS ；nr；nr——一口口． 定理 5 假定 f—g＝0，c，d＜0，p，q都是偶数，即 3 A＜0，a J 2并且 a是偶 数，满足c／＋ds。＜人s。，且门（工）si一Z（立上上二）n．门（工）si一＞0。则 一’””””———一—”－’一J””一””’””“——一 冗”A”’I””—”“”“”””———－’＊”“ 问题oLOL临）的解必在有限时刻于＜＋co爆破，即当 t一于时， 11u《·，t）11 －． ＋ OO．In lx．t）sin ；mr；mr、＋OO．
任全伟[2]2013年在《两类四阶微积分方程的数值解研究》文中提出自然科学和工程技术等领域的许多问题都可用微积分方程模型来刻画.随着计算机的出现和计算技术的发展,微积分方程在各领域得到了广泛而有效的应用.然而在大多数情况下,微积分方程的解不能以解析的形式表达出来.因此,研究微积分方程的数值求解是有意义的.本文首先对由吊桥模型所建立的四阶微分方程的数值解法进行探究.给出了吊桥模型的有限差分逼近、有限元逼近和Legendre-Galerkin谱逼近.分别利用Newton型迭代法和简单迭代方法处理方程中的积分项.并对各求解方案进行了误差分析,数值算例说明了算法的可行性.其次,对铰链梁横向振动模型所建立的四阶微分方程的数值解法进行了探究.考虑了该方程的紧差分逼近和Legendre-Galerkin谱逼近.分别利用Newton型迭代算法和简单迭代法处理方程中的积分项,还对求解方案进行了误差分析,数值算例说明了算法的可行性.
参考文献：
[1]. 两类四阶非线性波动方程的定解问题[D]. 王艳萍. 郑州大学. 2000
[2]. 两类四阶微积分方程的数值解研究[D]. 任全伟. 华侨大学. 2013