数学经验：内涵、价值及启示，本文主要内容关键词为：内涵论文,启示论文,数学论文,价值论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学思维是一种高度抽象的心智活动过程，数学推理和证明并不依赖于经验事实，但这并不表明数学与经验是没有关系的。新一轮数学课程改革重视学生的数学经验，强调让学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学活动经验，并提出在解决问题的过程中，让学生积累数学经验，发展数学思维。事实上，数学经验是影响数学发展和数学学习的一个重要因素。在数学教育中，数学经验是一个不可忽视的因素。
一、数学经验的含义
（一）经验的含义
在现代汉语中，“经验”既可作名词，也可作动词。作名词意为在事件或活动中得到的知识或技能；作动词意为体验，经历。“经验”是西方哲学史中的一个重要概念，被许多哲学家广泛使用。亚里士多德用感觉论取代其师柏拉图的先天论，他认为人的知识源于对事物的感觉。在本质上，亚里士多德是一个经验论者。洛克(J.Locke)认为，每一个观念必定或者是直接来源于感觉经验，或者是由这样起源的观念组成。经验是对外的感觉活动和对内的反省活动。因此，对于洛克来说，经验是一种活动。英国唯美主义艺术运动的倡导者奥斯卡·王尔德(O.Wilde)认为：“经验即人们赋予自己错误之名称。”[1]在这里，经验是信念及态度，暗含着只有造成伤痛的事件方可称为“经验”。“经验”是杜威教育思想的核心词汇，它包含双重意义：经验的事物和经验的过程。在杜威看来，经验是活动与过程的统一。泰勒(R.W.Tyler)特别重视“学习经验”，他认为，“学习经验”既不同于一门课程所要传授的内容，也不是教师所开展的各种活动，而是指学习者与使他起反应的环境中的外部条件之间的相互作用。在泰勒看来，经验是一种相互作用。
（二）数学经验的内涵
美国数学教育家戴维斯(P.J.Davis)认为，数学经验是建构、理解、运用数学理论的经验，数学经验是在创造与发现数学概念和数学理论的活动中、在理解数学逻辑性的过程中、在解决问题的过程中获得的。[2]在他看来，数学经验无处不在，他指出：“在某种意义上，每个人都是数学家，都在有意识地做数学工作。在市场上买东西，量一张墙壁纸，或按规则图案装饰一个瓷罐，都是在做数学。”[3]张奠宙教授认为，所谓基本数学经验，是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。数学经验是人们的“数学现实”最贴近的部分。依赖所从事的数学活动具有的不同形式，数学经验可分为以下几种类型：直接数学活动经验、间接数学活动经验、专门设计的数学活动经验、意境联结性数学活动经验。[4]皮亚杰(J.Piaget)从数学教学的观点出发，认为存在两种不同的经验：物理经验和逻辑数学经验。[5]一般来说，物理经验来自物体本身，而逻辑数学经验来自主体对客体施加的动作，逻辑数学经验标志着数学抽象的开始。美国学者罗莎琳德·查尔斯沃斯(R.Charlesworth)将儿童学习中的数学经验分为以下三类：自然经验、非正式学习经验和结构化学习经验。[6]自然经验是儿童自主的选择和行为的经验；非正式经验源自儿童选择的活动和行为，但在某种程度上受到成人的干预；结构化经验是由成人为儿童选择的经验，并给予儿童行为一些指示。显然，这里的自然经验与皮亚杰的观点密切联系，而非正式和结构化经验则与维果茨基(L.Vygotsky)的观点相联系。《普通高中数学课程标准（实验）》指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，也就是说，数学教学要把学生已有知识、直接经验和生活世界作为数学教育的重要资源。这里的知识经验其实就是指数学经验。
在数学教育中，对学生来说，数学经验因人而异，涉及个人经历以及个人感受、感悟数学的水平和能力。显然，当学习发生在有意义的和熟悉的情境中时，学生就能够在他们熟悉的环境中获得经验，主动建构知识，发现新关系。教师的作用就是以这些知识为基础，支持儿童向更高层次发展。在笔者看来，数学经验是学生在数学活动过程中内化了的数学知识、技能及情感体验，既包括学生的日常生活经验，又包括在学校数学课程中获得的知识、技能，还包括在数学学习过程中的感受、体验等。数学经验是保证学生顺利掌握数学知识、形成数学思想、把握数学观念的重要条件和学生心理活动的必要前提。
二、数学经验的教学价值
（一）数学经验是数学学习的基础
所有的学习都涉及到原有经验的迁移，因为只有在经验中，理论才具有充满活力和可以证实的意义。数学教学中交往和理解的失败，常常是由于教师没有能力或者不愿意通过他们对理论知识的认识了解学生的数学经验。就数学来说，“量的概念是先于数的，以数为开端的数学教育是对概念真正起源的忽略”[7]。弗赖登塔尔(H.Freudenthal)认为，“经验的数学即为自由发现的数学，比那些为教师或教科书作者强加的、局限于公理范围的数学更为重要”[8]。这些论述都表明了数学学习中数学经验的重要价值。从数学学习的角度来看，数学学习的关键在于充分利用学生已有的数学经验。
（二）数学经验是概念教学的载体
从数学概念的形成来看，数学概念是我们从大量例子中抽象出某些具有共同性质的东西时得到的智力产物。数学概念越抽象，逻辑结构越复杂，也就越需要在初次引入时借助直觉思维。儿童形成初级的数学概念是建立在感知的经验基础上的，而高级数学概念是初级数学概念的组合。即使是较高层次的概念也不能总是通过定义由一个人交流给另一个人，学生只有接触大量合适的例子才能很好地认识这个概念。数学概念形成最常用的方式是从个别到一般和从一般到个别。从心理学来看，从个别到一般的概括方式是经验性概括。在中学数学概念教学中，学习数学概念的一个重要原则就是多样具体化原则。也就是说，学习数学概念应该尽可能地用多种例子和情境来表述，无论是学生学习数学概念的心理活动水平还是数学概念的形成过程，都离不开恰当的数学经验。
（三）数学经验是认知结构的核心
所谓数学认知结构，就是学生将头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点组合成的一个具有内部规律的整体结构。也就是说，数学认知结构就是学生头脑中已有数学知识、经验的组合。数学认知结构的形成离不开学生头脑中已有的数学经验，数学经验是形成认知结构的核心。维果茨基提出了最近发展区的概念。根据维果茨基的观点，好的数学教学应当基于学生现有数学经验，呈现稍微高于儿童当前发展水平的材料。从皮亚杰的同化和顺应理论来看，最近发展区就是原有认识结构最易同化和顺应的新认知结构，即俗话说的“跳一跳，够个桃”。
（四）数学经验是情境创设的前提
在建构主义看来，最好的教学方法是让学生在现实世界的真实环境中去感受、体验，数学教学的关键在于创设一定的数学情境。对当代数学教育影响深刻的建构主义对数学经验价值的重视是显而易见的。情境与个人经验是紧密联系的。超越了学生经验的情境是没有价值的，是不会引起学生共鸣的，是不会带给学生震撼的。对此，建构主义提出了抛锚式教学模式。抛锚式教学的“锚”是数学教学中的真实事例或真实问题，它的关键环节在于创设好问题情境，即“抛锚”。其实，从数学教育来看，抛锚式教学与情境性教学实则是同一内涵，都是基于真实情境的数学问题解决来教学。反之，在脱离情境脉络的条件下获得的数学知识，经常是呆滞的和不具备实践作用的。
三、数学经验对数学教育的启示
数学教育中，数学理解与数学思维是从数学经验开始的。只有关照数学经验的数学课程，才能进入学生的视野，才能为学生所理解，进而产生课程意义。
（一）从学生现有经验出发组织教学
学习是学习者在原有经验的基础上，在一定社会文化背景中，主动对新的经验进行加工处理，建构知识或经验的新意义的过程。事实上，只有当数学思想、数学知识和数学技能作为一个环节纳入一个人的个人经验中时，它们才能被学生理解或掌握。数学学习是在已有经验的基础上掌握新知识的，这些经验不仅在校内，也可以在校外。学生将新知识与他们已有的知识结合起来，比将每个新主题都当作要完全重新学习与先前经验不相联系的东西要容易得多，长期来看也要有效得多。现有的数学经验是学习数学的基础，是教师组织数学教学的逻辑起点。那么什么样的数学经验是适当的呢？适当的数学经验能够提供具体的、可靠的、及时的反馈，以使学生有机会面对它们蕴含的观念并确定自身还需要学习什么，还使学生有多次机会向前迈进，使自己的技能和概念得到更好的发展，直至在多种情境、多种条件下体验它们。
（二）发挥经验在教学中的积极作用
经验和知识是统一的。数学不仅具有从最简单的出发点（不定义的元素和不定义的关系）出发，经过逻辑的演绎和证明表达出整个体系，而且还具有从具体情形上升为一般的概念和结论，又从一般返回到具有情形来加以印证和应用的特征。“每个学生都有其文化背景和实践经验，教师可以在此基础上进行更深层次的数学教学。只有融入了学生实践知识和实际经验的教学，才能激发学生的自信心和能动性，同时也能够让老师的经验变得更加的丰富。”[9]学生学习新的知识正是借助头脑中已有的经验，通过新知识与原有知识经验的相互作用，把新知识纳入自身的认知结构。在数学教学中，教师应该充分发挥数学经验的积极作用，注意联系学生熟知的事例与经历，运用语言描摹唤起并组织学生头脑中的经验储备，通过复习、提示、铺垫、引申等方式在原有知识和新学知识之间架设起过渡的桥梁。就智力与经验对概念的学习影响程度来看，经验的作用更大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提。经验的缺乏会使学生死记硬背概念的定义而不能领会其内涵。
（三）避免经验在教学中的消极作用
经验因素在数学教学中的积极作用是人们能够认识到的，但是，经验因素在数学教学中的消极作用容易被人们忽视。杜威指出：“每一种经验就是一种推动力。经验的价值只能由它所推动的方向来评断。”[10]数学是一种精确的语言。有时候，日常生活中的某些语言会导致对数学语言理解的偏差。例如，在“简易逻辑”中，“或、且、非”的意义就与日常生活语言中的意义有区别。一些局部的经验性认识往往制约人们对意义更为一般性的理解。例如，在学习三角形的高时，学生往往从顶点向下作垂线并视其为高。这与日常生活中对高的理解“它是到水平或直线的距离”有关。同样，在数学方法的运用和数学思维的活动中，经验有时也起消极作用。比如，类比和直觉是一种有效的方法，但是，类比和直觉有时也起“负迁移”的作用。这些经验的消极作用在教学中是应该尽量避免的。在数学教学中，我们需要注意两种倾向。其一，过分强调数学的逻辑性和抽象性，在教学中充斥着大量间接经验而没有把间接经验作为经验生长的工具，从而阻滞了学生心灵的成长。其二，过分陶醉于学生的直接经验而忽视系统知识的学习，这就从另一方向阻碍了学生的发展。