高考数学的一个新亮点——“不动点”问题，本文主要内容关键词为：不动论文,新亮点论文,高考数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
纵观近年全国各省市高考数学模拟试题，“不动点”问题频频“闪亮登场”，常处于“压轴题”的地位，充当“把关题”的重要角色.这类问题通常以“不动点”为载体，将函数、数列、不等式、方程、解析几何等知识有机地交汇在一起，因而极富思考性和挑战性，学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜！下面笔者精选出一些典型例题并予以深刻剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.
1.“不动点”寓于方程之中
例1 （2004年湖北襄樊市高考模拟题）对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x[，0]∈D满足f（x[，0]）=x[，0]，则称x[，0]为函数f（x）在D上的一个不动点.
（1）求函数f（x）=2x+（1/x）-2在（0，+∞）上的不动点；
（2）若函数f（x）=2x+（1/x）+a在（0，+∞）上没有不动点，求a的取值范围.
解 （1）设x[，0]是f（x）=2x+（1/x）-2在（0，+∞）上的不动点，则2x[，0]+（1/x[，0]）-2=x[，0]，解得x[，0]=1，即1是f（x）=2x+（1/x）-2在（0，+∞）上的不动点.
（2）设f（x）=2x+（1/x）+a=x在（0，+∞）上有解，则x[2]+ax+1=0在（0，+∞）上有解，∴△=a[2]-4≥0，∴a≥2或a≤-2.
当a≥2时，方程的两根都是负数；
当a≤-2时，方程的两根都是正数.
因此，当且仅当a≤-2时，f（x）在（0，+∞）上有不动点.
于是，f（x）在（0，+∞）上没有不动点时，a＞-2.
2.“不动点”寓于函数之中
例2 （北京大学理科试验班入学考试题）f（x）的定义域是R，若c∈R，使f（c）=c，则称c是f（x）的一个不动点.设f（x）的不动点数目是有限多个.下述命题是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一个例子说明；
（1）f（x）是奇函数，则f（x）的不动点数目是奇数；
（2）f（x）是偶函数，则f（x）的不动点数目是偶数.
分析 由不动点的定义可知，函数f（x）的不动点个数就是函数y=f（x）与y=x的图象交点的个数.由于新情境比较陌生，我们不妨先考虑两个特殊函数（如奇函数y=x[3]及偶函数y=1）的情形.显然，y=x[3]与y=x的图象有三个交点，因而猜想（1）正确，进而考虑证明它正确：而y=1与y=x的图象仅有一个交点，故（2）不正确.
解 （1）正确.证明如下：
∵f（x）为奇函数，且x∈R，
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=0.
因此，0是f（x）的一个不动点.
假设c≠0是f（x）的不动点，则由定义知f（c）=c.因为f（x）为奇函数，所以f（-c）=-f（c）=-c，从而-c也是f（x）的不动点.又因为c≠-c，所以f（x）的非0不动点如果存在，则必以互为相反数的形式成对出现.又根据题设，f（x）只有有限个不动点，因此f（x）的不动点数目为奇数.
（2）不正确.
例如：f（x）=1是偶函数，因为f（1）=1，所以1是f（x）的一个不动点.设c是f（x）=1的不动点，则f（c）=c，又f（c）=1，所以c=1.因此f（x）=1有且只有一个不动点，故命题不正确.
3.“不动点”寓于数列之中
例3 （2004浙江杭州市高考模拟题）对于函数y=f（x），若存在实数x[，0]，满足f（x[，0]）=x[，0]，则称x[，0]为f（x）的不动点.已知f[，1]（x）=f（x），f[，2]（x）=f[F[，1]（x）]，F[，3]（x）=f[F[，2]（x）]，…，F[，n]（x）=f[F[，n-1]（x）]（n∈N[*]，n≥2）.
（1）若f（x）存在不动点，试问F[，2]（x），F[，3]（x），…，F[，n]（x）是否也存在不动点？写出你的结论并加以证明；
（2）设f（x）=2x-x[2]，求使所有F[，n]（x）＜0（n∈N[*]，n≥2）成立的所有正实数x值的集合.
解 （1）设y=f（x）存在不动点x[，0]，则f（x[，0]）=x[，0]，下面用数学归纳法证明x[，0]是F[，n]（x）的不动点.
∵F[，2]（x[，0]）=f[F[，1]（x[，0]）]=f[f（x[，0]）]
=f（x[，0]）=x[，0]，
∴x[，0]也是F[，2]（x）的不动点.
假设x[，0]是F[，k]（x）的不动点，即F[，k]（x[，0]）=x[，0]，则
F[，k+1]（x[，0]）=f[F[，k]（x[，0]）]=f（x[，0]）=x[，0]，
所以x[，0]也是F[，k+1]（x）的不动点.
综上，由数学归纳法知x[，0]是F[，n]（x）（n∈N[*]，n≥2）的不动点.这就证明了：若f（x）存在不动点，则F[，2]（x），F[，3]（x），F[，n]（x）也存在不动点.
（2）要使F[，n]（x）＜0（n≥3），即f[F[，n-1]（x）]＜0（n≥3），∵2F[，n-1]（x）-[F[，n-1]（x）][2]＜0，解得F[，n-1]（x）＜0或F[，n-1]（x）＞2.若F[，n-1]（x）＞2，则2F[，n-2]（x）-[F[，n-2]（x）][2]＞2，易知此不等式不成立，故F[，n-1]（x）＜0.
依此类推，要使F[，2]（x）＜0，即f[F[，1]（x）]＜0，即f[f（x）]＜0，即2f（x）-（[f（x）]）[2]＜0，解得f（x）＜0或f（x）＞2.
若f（x）＜0，则2x-x[2]＜0，解得x＞2或x＜0（舍去，∵x为正实数），若f（x）＞2，则2x-x[2]＞2，显见此不等式无解.
综上知所求x的取值集合为（2，+∞）.
4.“不动点”寓于不等式之中
例4 （2002年上海市春季高考题）对于函数f（x），若存在x[，0]∈R，便f（x[，0]）=x[，0]成立，则称x[，0]为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax[2]+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点.
（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+（1/2a[2]+1）对称，求b的最小值.
解 （1）当a=1，b=-2时，f（x）=x[2]-x-3.依题意可知x[2]-x-3=x，∴x[2]-2x-3=0，∴x[，1]=-1，x[，2]=3∴f（x）的不动点为-1或3.
（2）∵f（x）=ax[2]+（b+1）x+（b-1）（a≠0）恒有两个相异的不动点，∴ax[2]+（b+1）x+（b-1）=x即ax[2]+bx+（b-1）=0恒有两个相异的实数根，得△=b[2]-4ab+4a＞0（b∈R）恒成立，于是△′=（4a）[2]-16a＜0，解得0＜a＜1.故当b∈R，f（x）恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0＜a＜1.
（3）由题意，A、B两点应在直线y=x上，设A（x[，1]，x[，1]）、B（x[，2]，x[，2]）.
∵点A、B关于直线y=kx+（1/2a[2]+1）对称，∴k=-1.
设AB的中点为M（x′，y′）.∵x[，1]，x[，2]是方程ax[2]+（b-1）=0的两根，∴x′=y′=（x[，1]+x[，2]）/2）=-（b/2a）.
注意到点M在直线y=-x+（1/2a[2]+1）上，
∴-（b/2a）=（b/2a）+（1/2a[2]+1），
例5 （2004年江西南昌市高考模拟题）对于函数f（x），若存在x[，0]∈R，使f（x[，0]）=x[，0]成立，则称x[，0]为f（x）的不动点.如果函数f（x）=ax[2]+bx+1（a＞0）有两个相异的不动点x[，1]，x[，2]，
（1）若x[，1]＜1＜x[，2]＜2，且f（x）的图象关于直线x=m对称，求证：（1/2）＜m＜1；
（2）若｜x[，1]｜＜2且｜x[，1]-x[，2]｜=2，求b的取值范围.
解：（1）设g（x）=f（x）-x=ax[2]+（b-1）x+1.∵x[，1]＜1＜x[，2]＜2，∴（x[，1]-1）（x[，2]-1）＜0，即x[，1]x[，2]＜（x[，1]+x[，2]）-1.因为f（x）的图象关于直线x=m对称，故
m=-（b/2a）=（1/2）（-（b-1/a）-（1/a））
=（1/2）（x[，1]+x[，2]）-（1/2）x[，1]x[，2]
＞（1/2）（x[，1]+x[，2]）-（1/2）[（x[，1]+x[，2]）-1]
=（1/2）.
又∵x[，1]＜1＜x[，2]＜2，注意到x[，1]·x[，2]=（1/a）＞0，x[，2]＞0，∴x[，1]＞0.∴x[，1]x[，2]＞x[，1].
∴m=（1/2）（x[，1]+x[，2]）-（1/2）x[，1]x[，2]
＜（1/2）（x[，1]+x[，2]）-（1/2）x[，1]
=（1/2）x[，2]＜（1/2）×2=1.
综上可知：（1/2）＜m＜1.
（2）由方程g（x）=ax[2]+（b-1）x+1=0，可知x[，1]·x[，2]=（1/a）＞0，∴x[，1]、x[，2]同号且x[，1]≠0.因为，｜x[，1]｜＜2，所以-2＜x[，1]＜0或0＜x[，1]＜2.
1°若0＜x[，1]＜2，则由｜x[，1]-x[，2]｜=2知x[，2]-x[，1]=2或x[，2]-x[，1]=-2（应舍去，否则x[，2]=x[，1]-2＜0，与x[，1]、x[，2]同号矛盾），∴x[，2]=x[，1]+2＞2.结合二次函数g（x）的图象可知g（2）＜0，即
综上可知b的取值范围为（-∞，1/4）∪（7/4，+∞）.
5.“不动点”寓于代数推理之中
例6 （2004年河北石家庄市高考模拟题）对于函数f（x），若存在x[，0]∈R，使f（x[，0]）=x[，0]成立，则称x[，0]是函数f（x）的不动点.已知函数F（x）=f（x）-x，且函数f（x）=x[，2]+（a+1）x+b（a，b∈R）有两个相异的不动点.
（1）若这两个不动点恰好是相邻的两个整数，则有F（-a）=（1/4）（a[2]-1）；
（2）若这两个不动点在相邻的两个整数之间，则存在整数k，使得｜F（k）｜≤（1/4）；
（3）若这两个不动点不在相邻的两个整数之间，试确定当a，b满足什么条件时，一定存在整数k，使得｜F（k）｜≤（1/4）.
解 依题意，函数f（x）的两个相异的不动点是方程f（x）-x=0的两个相异的实数根.
（1）设函数f（x）=x[2]+（a+1）x+b的两个相异的不动点为x[，1]，x[，2]，则x[，1]=t，x[，2]=t+1（t∈Z）.由x[，1]，x[，2]满足方程x[，2]+（a+1）x+b=x，故x[，1]，x[，2]是方程x[2]+ax+b=0的两个相异的实根.可得：
∴b=（1/4）（a[2]-1）.
∵F（x）=f（x）-x=x[2]+ax+b，
∴F（-a）=（-a）[2]+a·（-a）+b
=a[2]-a[2]+b=b
=（1/4）（a[2]-1）
（2）设函数f（x）=x[2]+（a+1）x+b的两个相异的不动点为x[，1]，x[，2]，且t＜x[，1]、x[，2]＜t+1（t∈Z）.
由F（x）=x[2]+ax+b=（x-x[，1]）（x-x[，2]），可得：
时，有｜F（t）｜≤（1/4）或｜F（t+1）｜≤（1/4），故当0＜4a[2]-16b≤1时，一定存在整数k，使得｜F（k）｜≤（1/4）.
同理，当x[，2]＞t+1时，结论也成立.
所以当a，b满足条件0＜4a[2]-16b≤1时，一定存在整数k，使得｜F（k）｜≤（1/4）.
6.“不动点”寓于解析几何之中
例7 （2004年华中师大附中高考模拟题）记函数f（x）的定义域为D，若存在x[，0]∈D，使f（x[，0]）=x[，0]成立，则称以（x[，0]，y[，0]）为坐标的点为函数f（x）的图象上的不动点.
（1）若函数f（x）=（（3x+a）/（x+b））的图象上有两个关于原点对称的不动点，求a、b应满足的条件；
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、A′，P为函数f（x）图象上的另一点，且其纵坐标y[，p]＞3，求点P到直线AA′的距离的最小值及取得最小值时点P的坐标.
解 （1）若点（x[，0]，y[，0]）是不动点，则有
f（x[，0]）=（（3x[，0]+a）/（x[，0]+b））=x[，0]，
整理得
x[，0][2]+（b-3）x[，0]-a=0.
（*）
根据题意知方程（*）有两个根，且这两个根的绝对值相等而符号相反.
由韦达定理，得
及实数k＞0，使x=a+（t[2]-k）b,y=-sa+tb且x⊥y.
（1）求函数关系式s=f（t）；
（2）若函数s=f（t）在[1，+∞）上是单调函数，
①求证：0＜k≤3；
②设x[，0]≥1，f（x[，0]）≥1，且满足f[f（x[，0]）]=x[，0]，求证：f（x[，0]）=x[，0].
注：本题主要考查以下几个方面的内容：1°平面向量数量积的运算；2°导数的性质；3°恒成立不等式中字母参数取值范围的求法；4°关于不动点的证明问题（见第（2）问的第②小问）.
本题是一道综合性较强的试题，覆盖了中学数学中的重要知识，体现了在知识网络交汇点设计试题的高考命题思想.
8.“不动点”寓于程序运行中
例9 （2001年上海市高考题）对任意函数f（x），x∈D，可按图1所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输人数据x[，0]∈D，经数列发生器输出x[，1]=f（x[，0]）；②若x[，1]
D，则数列发生器结束工作；若x[，1]∈D，则将x[，1]，反馈回输入端，再输出x[，2]=f（x[，1]），并依此规律继续下去.现定义f（x）=（（4x-2）/（x+1））.
（1）若输入x[，0]=（49/65），则由数列发生器产生数列｛x[，n]｝.请写出数列｛x[，n]｝的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x[，0]的值；
（3）若输入x[，0]时，产生无穷数列｛x[，n]｝满足：对任意正整数n，均有x[，n]＜x[，n+1]，求x[，0]的范围.
分析：（1）只需输入x[，0]计算下去，按所给信息操作即可.（2）要求产生一个无穷常数列，即求f（x）的不动点.（3）为使对任意正整数n，均有x[，n]＜x[，n+1]，只需求x＜f（x）的解，再进行讨论，即可求得x[，0]的范围.
解 ∵f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），∴数列｛x[，n]｝只有三项：x[，1]=（11/19），x[，2]=（1/5），x[，3]=-1.
（2）∵f（x）=（（4x-2）/（x+1））=x，即x[2]-3+2=0，解得x=1或x=2，即f（x）的不动点为x[，0]=1或x[，0]=2，也即当x[，0]=1或2时，
x[，n+1]=（（4x[，n]-2）/（x[，n]+1））=x[，n]，
故当x[，0]=1时，x[，n]=1；当x[，0]=2时，x[，n]=2（n∈N[*]）.
（3）解不等式x＜（（4x-2）/（x+1））得：x＜-1或1＜x＜2.
要使x[，1]＜x[，2]，则x[，1]＜-1或1＜x[，1]＜2.
对于函数f（x）=（（4x-2）/（x+1））=4-（6/x+1），若x[，1]＜-1，则x[，2]=f（x[，1]）＞4，x[，3]=f（x[，2]）＜x[，2]，不合题意；当1＜x[，1]＜2时，x[，2]=f（x[，1]）＞x[，1]，且1＜x[，2]＜2.依次类推，可得数列｛｛x[，n]｝的所有项均满足x[，n+1]＞x[，n]（n∈N[*]）.
综上所述，x[，1]∈（1，2），由x[，1]=f（x[，0]），得x[，0]∈（1，2）.