数学能力概念不同表述的一致性，本文主要内容关键词为：概念论文,能力论文,数学论文,一致性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
对于中小学数学教学来说，数学能力是重要的教学目标之一，历来的数学教学大纲的教学目的和数学课程标准的课程目标对此都有明确的表述.不过，一方面由于教学参考资料的需要，这种表述十分简洁而概括，免不了有产生歧义的可能；另一方面，这一表述是一种结论性陈述，并不是而且也不可能对数学能力进行全面的分析.因此无论对于教学目标的落实还是教学目标的研究都需要对数学能力的概念做进一步的解析，这一直是数学教育教学领域的重要研究课题，受到从学者到教师的一致重视和积极探索.在当下对数学核心素养的探讨中，人们认为数学能力无疑是数学核心素养的组成要素之一，这使得更多的研究者进入数学能力概念的研究行列.众多的研究者做出的数学能力概念表述表现出相当大的多元性——出现不同的表述是必然的事情. 一、数学能力概念的表述 对数学能力概念的表述包括数学能力概念的内涵和外延两个方面. 1.数学能力的内涵 主要有两种表述，一是心理学角度的探讨，二是数学活动角度的探讨. 表述一，从心理学的“能力”概念出发，演绎出关于“数学能力”概念的内涵.这样探讨的结果是相当一致的：既然数学能力是一种特殊能力，是能力的组成部分，从概念来讲数学能力是能力的种概念，能力是属概念，种差就是数学.于是数学能力就是顺利而有效地完成数学活动的个性心理特征.诸多作者都这样认为，例如文献[1]、[2]就是近年的代表. 表述二，从数学活动展开的演绎，例如文献[2]、[3]指出：掌握数学就意味着拥有数学能力，即能在不同的数学背景与情境内外理解、判断和使用数学，其中能被清晰识别的主要数学能力结构成分即数学能力成分.两文作者都指出，这源自于丹麦学者尼斯（Mogens Niss）的论述，并提供了相应的文献.这实质上说的就是：数学能力是进行数学活动——在不同的数学背景与情境内外理解、判断和使用数学——的具体操作能力. 2.数学能力的外延 就是数学能力的成分、构成或者要素，这是历来得到最多研究的问题，人们给出了各有差异的表述，不过大致可以分为两类：一类是由能力出发进行数学限定得出来的各种数学能力；另一类则是由历来的数学教学大纲和数学课程标准所逐渐积累的表述，基本上是“三大能力+解决问题的能力”. （1）第一类外延表述 从能力概念出发做出数学限定得到数学能力有各种方式，文献[3]提出并做了详尽分析的数学核心能力具有典型性和代表性，这里引述其中关于数学核心能力成分的列表（表1）. 由表中所列的数学核心能力成分和对其做的内涵分析不难看出，它们确实是由能力成分出发做数学限定得到的.
试一下将表1中两列所有的“数学”二字换成“物理”“化学”“生物”，甚至“地理”“历史”，我们会发现所有的“成分”及其“内涵”的分析基本上都是成立的.甚至最具数学话语特点的“数学建模”也不具有唯一性，物理模型、化学模型、地理模型以至于语言模型都是现成的概念.这至少表明，表1中去掉“数学”二字即限定之后，“提出问题”“表征与变换”“推理与论证”“建模”“解决问题”“交流”这六种能力正是人的能力的成分（或者说组成部分、构成要素）.因而这些数学核心能力成分就是对这六种能力成分加以数学限定得出来的. （2）第二类外延表述 对历来的数学教学大纲和数学课程标准的数学能力表述笔者做了这样的总结[4]： 培养学生正确而迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力；逐步培养学生分析问题和解决问题的能力. 其中计算能力是指：会根据法则、公式正确地进行运算、处理数据，并理解算理；能够根据问题的情境，寻求设计合理、简洁的计算途径. 分析问题和解决问题的能力是指：数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断.数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力. 在历来数学教学大纲和数学课程标准的表述中，上述话语除了空间想象能力外都有不同的变式，例如：计算能力说成运算能力，逻辑推理能力说成逻辑思维能力或者思维能力，而空间想象能力则在1952年提出后一直保持到现在.其中关于数学能力的最近一次明确的表述是在《普通高中数学课程标准（实验）》（2003）中给出的： 提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力. 数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力. 前一段话明显是把原来的“思维能力”（由逻辑推理能力变换而来）分解为“推理论证”和“抽象概括”能力，把“运算能力”分解为“运算求解”和“数据处理”能力. 在教学大纲和课程标准阐述的基础上诸多研究者提出的数学能力的外延不外乎是对计算（运算）能力和逻辑推理能力这两点提出不同的变式，例如：换成“综合运算能力、抽象概括能力、思维转换能力和逻辑推理能力”，或换成“逻辑运演能力、逻辑思维能力、思维转换能力”，或换成“运算能力、信息处理能力”等，文字变换的痕迹非常明显，因此，实际上也是属于教学大纲和课程标准提出的“三大能力”范畴之中的. 二、不同表述的一致性 现在探讨前述两种不同的内涵表述之间、两类不同的外延表述之间的关系，以及不同内涵表述和外延表述之间的对应关系. 1.两种内涵表述的协调性 前面列举的关于数学能力内涵的两种表述是互相协调的.表述一说“数学能力就是顺利而有效地完成数学活动的个性心理特征”；表述二说“掌握数学就意味着拥有数学能力，即能在不同的数学背景与情境内外理解、判断和使用数学”.这里的“数学活动”与“在不同的数学背景与情境内外理解、判断和使用数学”是同义的表述：进行数学活动无非也就是在数学背景之下，在各种情境内外理解、判断和使用数学，而在各种情境下理解、判断和使用数学当然就是进行着数学活动.“顺利而有效地完成”就是“能”；反过来，“能”做什么也就意味着“顺利而有效地完成”什么.表述一讲的是心理特征，即内部活动的特点；表述二讲的是数学活动的表现，即外部活动.而进行某一活动时人的内部活动和外部活动应该是协调的.实际上表述一说的数学能力是完成数学活动的心理特征，表述二说的是能够进行这些数学活动的具体表现，正是通过数学活动二者协调起来——其实所指是同一个事物. 2.两类外延表述的兼容性 首先明确一下，第一类外延表述对应着内涵的表述一，这也是很明显的，如前述“提出问题”“表征与变换”“推理与论证”“建模”“解决问题”“交流”都是能力，即顺利而有效地完成活动的个性心理特征的组成部分，加以数学的限定，当然就是顺利而有效地完成数学活动的个性心理特征了.第二类外延表述对应的应该是内涵的表述二，很明显，数学教学大纲和课程标准所指出的计算（运算）、逻辑推理、空间想象能力都是进行数学活动（也就是“在不同的数学背景与情境内外理解、判断和使用数学”）时的具体操作能力，无论是理解、判断还是使用数学都离不开计算（运算）、逻辑推理和空间想象，它们的速度和精度就决定着数学活动的品质.如果说两种内涵表述互相协调，那么这两类外延表述则能互相说明也就是互相兼容.列两个表来分析它们的互相说明（表2和表3）.
因此一个必然的结论就是，这两种内涵表述和两类外延表述都是表明了数学能力本质的、既合乎逻辑又能满足数学教学需要的表述，我们可以在需要的地方随便运用哪一种内涵表述和相应的那一类外延表述.当然同时叙说的内涵和外延应该是“配套”的. 不过两种表述的兼容性也表明如果不严格指出在何种内涵的情况下阐述数学能力的外延的话，运用随便哪类外延表述都是可以的.正是在这种意义下，有的作者对数学能力的外延做出两类混合的表述，在所表述的各该语境中可以说也是恰当的表述.例如：数学能力侧重如下含义：计算能力、论证能力、推理判断能力、问题解决能力、建模能力、交流能力、鉴赏能力、使用工具和技术能力[5].中小学生的数学能力主要有：运算能力、空间想象能力、信息处理能力、模式能力、逻辑思维能力、问题解决能力[6]. 虽然这里的论证能力、推理判断能力、问题解决能力、建模能力、交流能力、鉴赏能力、使用工具和技术能力、信息处理能力、模式能力、逻辑思维能力都是能力的组成部分而不能说就是数学能力的组成部分，但是相信在作者使用的语境中它们应该都是用“数学”限定的，因而就属于第一类外延表述. 其实数学教学大纲和课程标准所说的“三大能力+解决问题的能力”的前引表述也是一个混合型表述，从“解决问题的能力”的展开表述不难看出，这正是一个“数学”限定的能力.几乎包括了表1列出来的所有“数学学科核心能力成分”. 由于关于数学能力概念的不同表述中，两种内涵表述是协调的，两类外延表述是兼容的，而且可以运用两类之间的混合表述.自然可以由此得出结论：前面引述的关于数学能力概念的不同表述具有本质的一致性.
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