几何概型是一个重要的概率模型，由几何概型的概率公式可以知道，确定几何区域的测度是至关重要的。因此，我们要掌握几种常见测度的几何概型，举一反三，做到真正地掌握几何概型的概率求法。
【方法点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
(3)几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
下面我们就介绍几种常见测度的几何概型。
一、长度型
设线段I是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段I 上的点数与线段I 的长度成正比，而与线段 I在线段L上的相对位置无关，则点落在线段 I上的概率
例1.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）。
解：本题符合几何概型的条件，由几何概率公式求得
，即任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率为 
点评：解决本题的关键是把车到站的一切可能时刻转化为在
内任取一点，从而转化为测度为长度的几何概型
变式1．在区间
上随机选取一个数，若
的概率为
，则实数m 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】试题分析：由
得 
．选C
变式2．记函数
的定义域为D，在区间[-5,5]上随机取一个实数x，则x∈D的概率是()
【答案】A
【详解】
函数
的定义域为：
则在区间[-5,5]上随机取一个实数x，x∈D的概率是
．
故选：A．
二、面积型
设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上的概率
例2.已知
， ，
若向区域A上随机投一粒豆子，求豆子落入区域B的概率。
分析：首先要在坐标平面内将区域A和区域B表示出来，由于涉及的是A和B的面积问题，故可通过几何知识进行求解。
解：如图，区域A是一个三角区域，其面积为
，区域B是图中阴影部分，是一个矩形，其面积为3，所以豆子落入区域B的概率为 
变式1．若在区域
内任取一点P，则点P恰好在单位圆
内的概率为（ ）
【答案】A
【解析】
试题分析：做出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．单位圆
位于△AB0内的部分为一个圆心角为
的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率．
解：做出不等式组
表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（1，0），B（0，1），0为坐标原点∵单位圆
位于△AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为
，区域内任取一点P，点P恰好在单位圆
内的概率为扇形的面积比上三角形AOB的面积，那么可知为
，故答案为A.
变式2．已知M={(x,y)├||x|<2 ,|y|≤2}，点P的坐标为(x,y)，则当P∈M时，且满足(x-2)^2+(y-2)^2≥4的概率为__________
【答案】1-"π" /16
【分析】
集合M表示的区域为正方形，P的坐标在圆(x-2)^2+(y-2)^2=4的外部.先求得圆在M内的面积，再用总面积减去这个面积，进而求得相应的概率.
【详解】
因为M={(x,y)├||x|≤2 ,|y|≤2}，所以M表示区域为正方形，面积为4×4=16，
因为实心圆(x-2)^2+(y-2)^2≤4在M中区域为四分之一圆，所以面积为1/4×"π"⋅2^2="π" ．
因此概率为1-"π" /16
【点睛】
本小题主要考查几何概型的知识，考查圆的方程以及圆内、圆外的表示方法.属于基础题.
三、体积型
设空间区域v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点。若落在区域v上的点数
与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率
例3.正方体
中，棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于
的概率。
解：记“四棱锥M－ABCD的体积小于 
为事件A，则事件A发生，即 
，
设M到面ABCD的距离为h，则
所以只要点M到面ABCD的距离小于
所有满足点M到面ABCD的距离小于
的点组成以ABCD为底面，高为
的长方体，其体积为
，又正方体的体积为1，所以使四棱锥M－ABCD的体积小于
的概率为
变式1．如图，圆柱O_1 O_2内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱O_1 O_2的概率为______；
【答案】9/16
【分析】
设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.
【详解】
设球的半径为r，依题意可知，圆柱底面半径r^'=√(r^2-(1/2 r)^2 )=√3/2 r，故圆柱的体积为"π" 〖r^'〗^2⋅r="π"⋅3/4 r^2⋅r=3/4 "π" r^3，而球的体积为"4π" /3 r^3，故所求概率为(3/4 "π" r^3)/("4π" /3 r^3 )=9/16.
【点睛】
本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.
变式2．正方体ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1的 棱长为a，在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B_1-A_1 BC_1内的概率为______．
【答案】1/6
【分析】
由题意，本题是几何概型，以体积为测度，求出三棱锥B1﹣A1BC1的体积、正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积，即可求得概率．由题意，本题是几何概型，以体积为测度．
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，
∴三棱锥B1﹣A1BC1的体积1/3⋅1/2 a⋅a⋅a=1/6 a^3，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为a3，
∴在正方体内随机取一点M，则点M落在三棱锥B1﹣A1BC1内的概率为(1/6 a^3)/a^3 =1/6．
故答案为：1/6．
论文作者:李冬梅
论文发表刊物:《中国科技教育（理论版）》2019年2月
论文发表时间:2019/6/4
标签：概率论文; 区域论文; 几何论文; 体积论文; 棱锥论文; 线段论文; 落在论文; 《中国科技教育（理论版）》2019年2月论文;